Exercícios Resolvidos de Tensões Principais

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 333-9.13.

O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine ( a ) as tensões principais e ( b ) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto. Especifique a orientação do elemento em cada caso.

Passo 1

O que está acontecendo?

O exercício nos fornece um estado plano de tensões em que:

σ x = 45   M P a

σ y = - 60   M P a

&

τ x y = 30   M P a

Lembrando que σ y tem um valor negativo nesse caso pois a sua direção no desenho está no sentido oposto da convenção:

E o que é que o exercício quer?

No item ( a ) , ele quer saber as tensões principais σ 1 e σ 2 e as orientações θ p 1 e θ p 2 correspondentes.

Então lembra aí!

Para encontrar essas tensões principais, devemos usar:

Onde:

σ m é d = σ x + σ y 2

&

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Já para encontrar as orientações θ p , podemos usar:

Lembrando que nós vamos ter que substituir o primeiro θ p que encontrarmos na fórmula da transformação de tensões para σ x ' :

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos 2 θ + τ x y sen 2 θ

...para descobrirmos se esse θ p encontrado corresponde à primeira ou à segunda tensão principal.

E no item b?

Já no item ( b ) , o exercício quer saber a tensão de cisalhamento máxima τ m á x nesse elemento, além da tensão normal média σ m é d = σ x ' = σ y ' e da orientação θ τ m á x correspondente.

Para tanto, podemos aproveitar que já calculamos R = τ m á x e σ m é d durante a resolução do item anterior.

Enquanto que uma ou mais orientações θ τ m á x podem ser obtidas somando OU subtraindo 45 ° de θ p 1 ou θ p 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Depois de já termos definido o estado plano de tensões no passo anterior:

σ x = 45   M P a

σ y = - 60   M P a

&

τ x y = 30   M P a

Já estamos prontos para iniciar a determinação das tensões principais para o item ( a ) !

Começamos calculando σ m é d :

σ m é d = σ x + σ y 2 = 45 + - 60 2 = - 7,5   M P a

E R :

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 = 45 - ( - 60 ) 2 2 + 30 2 = 60,467   M P a

Em seguida, já calculamos σ 1 e σ 2 :

σ 1 = σ m é d + R = 53,0   M P a

&

σ 2 = σ m é d - R = - 68,0   M P a

Passo 3

Agora, para complementar a resposta do item ( a ) , precisamos determinar as orientações θ p 1 e θ p 2 .

Começamos aplicando:

tg 2 θ p = 2 τ x y σ x - σ y = 2 ( 30 ) 45 - ( - 60 ) = 0,57143

Aí, utilizando a função a r c t g da calculadora, encontramos:

2 θ p = 29,745 °

O que significa que:

θ p = 14,9 °

Passo 4

Agora, precisamos testar esse valor de θ p para descobrirmos qual é a tensão principal que ele causa.

Para tanto, empregamos a fórmula da transformação de tensões para σ x ' :

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos 2 θ p + τ x y sen 2 θ p

Substituindo todos os valores, temos:

σ x ' = 45 + - 60 2 + 45 - ( - 60 ) 2 cos 29,745 ° + 30 sen 29,745 °

O que dá:

σ x ' = 53,0   M P a

O que é igual à σ 1 .

Dessa forma, concluímos que θ p = 14,9 ° é na realidade o ângulo θ p 1 :

θ p 1 = 14,9 °

E o ângulo θ p 2 ?

Podemos encontrar ele somando ou subtraindo 90 ° de θ p 1 .

Normalmente, evitamos encontrar ângulos fora do intervalo - 90 ° < θ < 90 ° , então vamos subtrair 90 ° de θ p 1 para encontrarmos que:

θ p 2 = 14,9 ° - 90 ° = - 75,1 °

E pronto!

Resolvemos o item ( a ) por completo.

Passo 5

Em seguida, para o item ( b ) , podemos aproveitar os valores “ R ” e “ σ m é d ” que já calculamos para o item ( a ) , conforme vimos lá no passo 1.

Para saber a tensão de cisalhamento máxima τ m á x , podemos aproveitar que τ m á x = R para encontrarmos que:

τ m á x = R = 60,467   M P a = 60,5   M P a

Enquanto que para σ m é d , podemos aproveitar diretamente o valor que já calculamos lá no passo 2 ( a ) :

σ m é d = - 7,5   M P a

Por fim, para encontramos orientações θ τ m á x em que essa tensões τ m á x e σ m é d ocorrem, podemos somar OU subtrair 45 ° de θ p 1 OU θ p 2 .

Evitando encontrar ângulos fora do intervalo - 90 ° < θ < 90 ° , encontramos dessa forma que:

θ τ m á x = 14,9 ° + 45 ° = 59,9 °

ou…

θ τ m á x = - 75,1 ° + 45 ° = - 30,1 °

E assim completamos nossa resposta para o item ( b ) !

Resposta

a       σ 1 = 53,0   M P a ;       σ 2 = - 68,0   M P a ;       θ p 1 = 14,9 °       &       θ p 2 = - 75,1 ° .

b       τ m á x = 60,5   M P a ;       σ m é d = - 7,5   M P a ;       θ τ m á x = 59,9 °   ou - 30,1 ° .

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