Exercícios Resolvidos de Tensões Principais

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Enunciado

O elemento infinitesimal abaixo sujeito a um determinado carregamento, apresentou o seguinte estado de tensões

Sabendo que o fator de segurança usado para essa peça tanto para a tensão Normal quanto para a tensão Cisalhante foi de 1,567, determine os valores de σ a d m e τ a d m .

Passo 1

Nessa questão sabemos que devemos determinar o valor das tensões admissíveis, para isso vemos na fórmula abaixo que precisamos do valor do fator de segurança que é dado no enunciado e do valor das tensões máximas tanto cisalhante quanto normal, que já veremos como determinar. Sabemos que

F S = τ a d m τ m á x

Ou

F S = σ a d m σ m á x

Que nos fornece o fator de segurança para cada tensão

σ m e d = σ x + σ y 2

Que nos fornece a média das tensões

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Que nos da o cisalhante máximo que o nosso elemento foi submetido

A última fórmula é dada por

σ 1 = σ m e d + R

σ 2 = σ m e d - R

Que de fato nos fornece o valor das tensões principais que serão usadas no nosso fator de segurança como as tensões máximas.

Passo 2

Assim como temos as fórmulas, também temos os dados necessários para resolver a questão, que são dados por

τ x y = - 700

σ x = - 200

σ y = - 900

Vamos resolvendo agora cada fórmula passo a passo

Passo 3

Agora que já sabemos os dados, vamos determinar os valores necessários para encontrarmos os valores das tensões principais.

Sabemos que

σ m e d = σ x + σ y 2

Então

σ m e d = - 200 - 900 2 = - 550

Também sabemos que

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Logo

R = - 200 - ( - 900 ) 2 2 + 70 0 2 = 782,6

Passo 4

Como já temos esses valores, podemos facilmente determinar os valores das tensões máximas pelas fórmulas

σ 1 = σ m e d + R

σ 2 = σ m e d - R

Substituindo

σ 1 = - 550 + 782,6 = 232,6

σ 2 = - 550 - 782,6 = - 1332,6

O cisalhante máximo é muito simples, é o próprio valor do R que já calculamos

τ m a x = 782,6

Passo 5

Olhando a nossa fórmula teremos que

F S = τ a d m τ m á x

Ou

F S = σ a d m σ m á x

Sabemos que

F S = 1,567

E com relação as tensões máximas teremos que

τ m a x = 782,6   M P a

σ m á x =   1332,6 M P a

Substituindo na nossa fórmula teremos que

1,567 = τ a d m 782,6

1,567 = σ a d m 1332,6

Fazendo isso teremos que

τ a d m = 1226,3   M p a = 1,23   G p a

σ a d m = 2088,2   M p a = 2,1 0   G p a

Resposta

τ a d m = 1226,3   M p a = 1,23   G p a

σ a d m = 2088,2   M p a = 2,10   G p a

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