Exercícios Resolvidos de Tensões Principais

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Enunciado

O elemento mostrado na figura está rotacionado de 30° no sentido horário. Sabendo disso determine o valor das tensões principais e suas respectivas orientações.

Passo 1

Sabemos pela teoria quais fórmulas nos auxiliam nisso, sendo essas fórmulas dadas por

t g   2 θ = 2 τ x y σ x - σ y

Que nos fornece o plano em que as tensões principais ocorrem

σ m e d = σ x + σ y 2

Que nos fornece a média das tensões

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Que nos da o cisalhante máximo que o nosso elemento foi submetido

A ultima fórmula é dada por

σ 1 = σ m e d + R

σ 2 = σ m e d - R

Que de fato nos fornece o valor das tensões principais

Passo 2

Assim como temos as fórmulas, também temos os dados necessários para resolver a questão, que são dados por

τ x y = + 230

σ x = - 100

σ y = - 310

Vamos resolvendo agora cada fórmula passo a passo

Primeiro vamos determinar a orientação em que ocorre as tensões principais

t g   2 θ = 2 τ x y σ x - σ y

t g   2 θ = 2 ( + 230 ) ( - 100 ) - ( - 310 )

t g   2 θ = 2,19

2 θ = a r c t g 2,19

θ 1 = 33 °

Isso é uma das orientações dos planos, mas também pode-se encontrar o outro subtraindo 90° do que encontramos

θ 2 = 33 ° - 90 ° = - 57 °

Passo 3

Agora que já sabemos qual é a orientação do plano, vamos determinar os valores necessários para encontrarmos os valores das tensões principais.

Sabemos que

σ m e d = σ x + σ y 2

Então

σ m e d = - 100 - 310 2 = - 205

Também sabemos que

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Logo

R = - 100 - ( - 310 ) 2 2 + 230 2 = 252,8

Passo 4

Como já temos esses valores, podemos facilmente determinar os valores das tensões máximas pelas fórmulas

σ 1 = σ m e d + R

σ 2 = σ m e d - R

Substituindo

σ 1 = - 205 + 252,8 = 47,8

σ 2 = - 205 - 252,8 = - 457,8

O cisalhante máximo é muito simples, é o próprio valor do R que já calculamos

τ m a x = 252,8

Passo 5

Agora devemos descobrir qual a orientação de cada plano. Com relação as tensões principais sabemos que

θ 1 = 33 °

θ 2 = - 57 °

E sabemos que

σ 1 = 47,8

σ 2 = - 457,8

Agora precisamos usar a fórmula

σ x ' = ( σ x + σ y ) 2 + ( σ x - σ y ) 2 cos ⁡ 2 θ + τ x y s e n 2 θ

Substituiremos os nossos valores dado no elemento e escolheremos um dos ângulos para testar, assim saberemos a qual tensão cada ângulo pertence

Fazendo θ 1 = 33 °

Teremos que

σ x ' = ( - 100 + ( - 310 ) ) 2 + ( - 100 - ( - 310 ) ) 2 cos ⁡ ( 2.33 ° ) + 230 s e n ( 2.33 ° ) = 47,8

então

θ 1 = 33 °

E

σ 1 = 47,8

Se já descobrimos a quem pertence um dos ângulos, com certeza o outro pertence a outa tensão.

θ 2 = - 57 °

σ 2 = - 457,8

Desenhando esse elemento teremos que

Logo

Resposta

θ 1 = 33 °

σ 1 = 47,8

θ 2 = - 57 °

σ 2 = - 457,8

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