Exercícios Resolvidos de Tensões Principais

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 511-7.161.

O tubo de aço A B tem 102   m m de diâmetro externo e uma espessura de parede de 6   m m . Sabendo que o braço C D está rigidamente fixado ao tubo, determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no ponto K .

Passo 1

O que está acontecendo?

O tubo A B tem:

  • Um diâmetro externo d e x t = 102   m m e consequentemente um raio externo r e x t = 51   m m ;
  • E uma parede de espessura e = 6   m m , e consequentemente um raio interno r i n t = r e x t - e = 51 - 6 = 45   m m .

A força de 10   k N é aplicada no braço C D , resultando no aparecimento de vários esforços internos ao longo do tubo A B .

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber as tensões principais σ 1 e σ 2 e a tensão máxima de cisalhamento τ m á x no ponto K .

Daí que, para encontramos isso, vamos ter que:

1. Realizar uma análise dos esforços internos na seção em que se encontram os pontos H e K , com o objetivo de descrever os esforços internos nessa seção.

2. Para cada um dos esforços internos encontrados no passo anterior, calcular e verificar o sentido da tensão causada por esses esforços interno.

3. Juntar os resultados dos passos anteriores para desenhar o estado plano de tensões para o ponto K , definindo assim as tensões σ x , σ y e τ x y nele.

E finalmente, 4. Calcular σ m é d e R utilizando as fórmulas:

σ m é d = σ x + σ y 2

&

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Para depois determinarmos as tensões principais σ 1 = σ m é d + R , σ 2 = σ m é d - R e a tensão de cisalhamento máxima τ m á x = R nesse ponto!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos começar pela análise dos esforços internos.

Precisamos secionar o tubo A B na seção em que se encontram os pontos H   e K .

Fazendo o uso de um desenho simplificado do conjunto e fazendo essa seção, vamos ter:

Aí, agora, temos que nos lembrar dos possíveis esforços internos que podem existir nessa seção:

  • Força Normal N ;
  • Força Cortante V , que para essa seção em um conjunto em 3 D como esse, pode existir tanto ao longo do eixo x quanto ao longo do eixo z ;
  • Torque Interno T , que também pode ser chamado de momento torsor M T ou de momento em volta do eixo y , M y ;
  • E momentos fletores M ou M F l , que para essa seção em um conjunto em 3 D como esse, pode existir tanto em volta do eixo x quando em volta do eixo z .

Mas aí...

Percebendo que a única força externa na nossa peça é a força de 10   k N , percebemos que ela não vai gerar:

  • Nenhuma força normal N ;
  • Nenhuma força cortante ao longo do eixo z ;
  • & nenhum momento fletor em volta do eixo x .

Então os nossos esforços internos na nossa seção vão ficar assim:

Passo 3

Agora, podemos aplicar o equilíbrio no desenho que fizemos no passo anterior para encontrarmos o valor de cada esforços interno.

Começando pelo equilíbrio de forças no eixo x , temos:

F x = 0

V + 10   k N = 0

O que significa que:

V = - 10   k N

Seguindo com o equilíbrio de torques para o nosso tubo A B , temos:

T A B = 0

Aí aqui, vamos ter dois torques no nosso tubo:

  • o torque interno T , que desenhamos de forma a estar no sentido oposto do eixo y (sentido negativo);
  • e o torque gerado pela força de 10   k N com um braço de 200   m m , que pela regra da mão direita vai estar no sentido do eixo y (sentido positivo).

Dessa forma, o nosso somatório de torques fica assim:

- T + 10   k N 200   m m = 0

O que significa que:

T = 10 * 200   k N * m m = 2000   k N * m m

Ou, em N * m m :

T = 2 * 10 6   N * m m

Para finalizar, utilizamos o equilíbrio de momentos em relação ao ponto da seção:

M H , K = 0

Aqui, vamos ter o momento fletor M no sentido anti-horário ( + ) e um momento gerado pela força de 10   k N com um braço de 150   m m no sentido horário ( - ).

Então, nosso somatório fica assim:

M - 10   k N 150   m m = 0

Isolando M , encontramos:

M = 10 * 150   k N * m m = 1500   k N * m m

Ou, em N * m m :

M = 1,5 * 10 6   N * m m

Passo 4

Chegou a hora de calcular e avaliar o sentido de cada tensão causada por cada um desses esforços internos.

Começando pela força de cisalhamento V :

Sabemos que a tensão de cisalhamento τ causada por uma força de cisalhamento V é nula no topo e na base de uma seção.

E, nesse nosso caso, nós temos uma força de cisalhamento ao longo do eixo x .

E, ao longo do eixo x , o nosso ponto K está efetivamente no topo da seção:

Então...

A tensão de cisalhamento τ devido a força de cisalhamento V é nula no ponto K .

Passo 5

Seguindo com o torque interno T = 2 * 10 6   N * m m .

Pelo que estudamos lá em torção, sabemos que ele vai causar uma tensão de cisalhamento τ nos pontos da nossa seção de acordo com a fórmula:

τ = T ρ J

Onde:

  • ρ é a distância entre o centro da seção e o ponto em que queremos avaliar a tensão (no nosso caso, o ponto K , que está na superfície externa do tubo de tal forma que ρ = r e x t );
  • & J é o momento polar de inércia, que podemos calcular para um tubo vazado como:

J = π 2 r e x t 4 - r i n t 4

Sendo que, substituindo r e x t = 51   m m e r i n t = 45   m m , isso dá:

J = π 2 51 4 - 45 4 = 4,1855 * 10 6   m m 4

Aí, aplicando a fórmula da torção para o nosso ponto K , temos:

τ K = T r e x t J

E substituindo T = 2 * 10 6   N * m m , r e x t = 51   m m e J = 4,1855 * 10 6   m m 4 , encontramos que:

τ K = 2 * 10 6 51 ( 4,1855 * 10 6 )   N / m m 2

Finalmente, calculando tudo e sabendo que N / m m 2 é o mesmo que M P a , encontramos que:

τ K = 24,37   M P a

Passo 6

Agora, antes de seguir para a tensão causada pelo momento fletor M , temos que entender o sentido dessa tensão τ K causada pelo torque interno K .

Para tanto, podemos olhar para a forma como desenhamos nosso torque interno lá no passo 2, mas dessa vez também olhando para o posicionamento de K em relação à esse torque:

Aí, usando a regra da mão direita:

...conseguimos visualizar como é o sentido desse torque e da tensão τ causada por ele:

Assim, percebemos que o cisalhamento τ causado pelo torque T no ponto K aponta para a esquerda na aresta inferior do elemento K :

Mas aí, nós já estudamos também como um cisalhamento em uma aresta tem que ser equilibrado por cisalhamentos em outras arestas, de forma a não provocar um movimento do ponto K .

Dessa forma, o cisalhamento no ponto K fica assim:

Passo 7

Por fim, chegamos a tensão causada pelo momento fletor M .

Sabemos que um momento fletor M causa em uma seção tensões normais σ de acordo com a fórmula da flexão:

σ = - M y I

Onde:

  • y é a posição do ponto em que se quer medir a tensão (nesse caso, o nosso ponto K ) em relação à linha neutra/centróide da seção;
  • & I é o momento de inércia da área da seção, que para uma seção circular vazada é dado pela fórmula:

I = π 4 r e x t 4 - r i n t 4

Dessa forma, substituindo r e x t = 51   m m e r i n t = 45   m m , vamos encontrar que:

I = 2,0927 * 10 6   m m 4

Aí, na hora de aplicarmos a fórmula da flexão para o nosso ponto K , podemos aplicá-la em módulo:

σ K = - M y K I = M y K I

Isso porque, como estamos lidando com um problema 3D, a fórmula da flexão não é confiável para fornecer o sinal da tensão σ .

É mais seguro calcular a intensidade de σ e depois olhar com calma para a forma que desenhamos o momento M para descobrirmos se ele causa tração ou compressão no ponto K .

Então vamos lá!

Aplicando a fórmula da flexão para K , temos:

σ K = M y K I

Aí, substituindo:

  • M = 1,5 * 10 6   N * m m ;
  • y K = r e x t = 51   m m , uma vez que a linha neutra/centroide da nossa seção circular vazada está bem no meio da seção enquanto que o nosso ponto K está na superfície externa da seção;
  • & I = 2,0927 * 10 6   m m 4 ,

Vamos ter que:

σ K = 1,5 * 10 6 51 2,0927 * 10 6   N / m m 2

Finalmente, calculando tudo isso e sabendo que N / m m 2 é o mesmo que M P a , encontramos que:

σ K = 36,56   M P a

Passo 8

Falta entendermos o sentido dessa tensão σ K , então vamos olhar para a forma como desenhamos nosso momento fletor M :

Olhando para essa figura, percebemos que o momento M comprime o ponto K ao longo da vertical (eixo y ).

Dessa forma, temos que:

σ K = - 36,56   M P a       ( Na v ertical)

Sendo que o sinal de negativo indica que essa tensão é uma compressão.

Passo 9

Agora, podemos desenhar e definir o estado plano de tensões para o ponto K .

Pegando o desenho que tínhamos feito no final do passo 6 e adicionando a compressão na vertical de 36,56   M P a , obtemos nosso estado plano de tensões para K :

Aí, a partir desse desenho, conseguimos definir as nossas tensões σ x , σ y e τ x y para o ponto K :

σ x = 0

σ y = - 36,56   M P a

&

τ x y = 24,37   M P a

Passo 10

FINALMENTE, chegamos ao último passo desse exercício.

Chegou a hora de calcular as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no ponto K .

Para tanto, começamos calculando σ m é d e R :

σ m é d = σ x + σ y 2 = 0 + - 36,56 2 = - 18,28   M P a

&

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 = 0 - - 36,56 2 2 + 24,37 2 = 30,46   M P a

E em seguida, aplicamos que:

σ 1 = σ m é d + R

σ 2 = σ m é d - R

&

τ m á x = R

Para encontrarmos nossas respostas:

Resposta

σ m á x = 12,18   M P a

σ m í n = - 48,7   M P a

&

τ m á x = 30,5   M P a

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas