Exercícios Resolvidos de Vetor Binormal

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pp, 270 – 15, 16

Encontre o valor do vetor binormal no valor dado de t

  1. r t = cos t i ^ + sen t j ^ - k ^ ,     t = π 4
  2. r t = cos t i ^ + sen t j ^ + t k ^ ,     t = 0

Passo 1

  1. Encontrar o vetor tangente unitário:
  2. v t = r ' t = - s e n   t , cos t , 0

    v t = - s e n   t 2 + cos t 2 + 0 2 = 1

    T ( t ) = v t v t = - s e n   t , cos t , 0 1 = - s e n   t , cos t , 0

    Passo 2

    Encontrar o vetor normal principal unitário

    Para isso, precisamos derivar esse vetor e depois dividi-lo pelo seu módulo:

    T ' t = - cos t ,   - s e n   t , 0

    T ' t = - cos t 2 + - s e n   t 2 + 0 2 = 1

    Agora temos:

    N = T ' t T ' t

    N = - cos t ,   - s e n   t , 0 1 = - cos t ,   - s e n   t , 0

    Passo 3

    Encontrar o vetor binormal

    Para isso, vamos fazer o produto vetorial:

    B = T × N

    Vamos ter

    B = i ^ j ^ k ^ - s e n   t cos t 0 - c o s   t - sen t 0 = 0   i ^ - 0 j ^ + 1 k ^ = 0,0 , 1

    Passo 4

    Portanto, percebemos que o vetor binormal a essa curva independe do instante t .

    B = 0,0 , 1

    Passo 5

  3. Encontrar o vetor tangente unitário:

v t = r ' t = - s e n   t , cos t , 1

v t = - s e n   t 2 + cos t 2 + 1 2 = 2

T ( t ) = v t v t = - s e n   t , cos t , 1 2 = - s e n   t 2 , cos t 2 , 2 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar o vetor normal principal unitário

Para isso, precisamos derivar esse vetor e depois dividi-lo pelo seu módulo:

T ' t = - c o s   t 2 , - s e n   t 2 , 0

T ' t = - c o s   t 2 2 + - s e n   t 2 2 + 0 2 = 2 2

Agora temos:

N = T ' t T ' t

N = - c o s   t 2 , - s e n   t 2 , 0 2 2 = - cos t ,   - s e n   t , 0

Passo 3

Encontrar o vetor binormal

Para isso, vamos fazer o produto vetorial:

B = T × N

Vamos ter

B = i ^ j ^ k ^ - s e n   t 2 cos t 2 2 2 - c o s   t - sen t 0 = 2 2 s e n   t i ^ - 2 2 cos t j ^ + 2 2 k ^ =

2 2 s e n   t , - 2 2 cos t , 2 2

Passo 4

Já sabemos que

B = 2 2 s e n   t , - 2 2 cos t , 2 2

Agora vamos calcular seu valor no instante t = 0 . Temos

B = 2 2 s e n   0 , - 2 2 cos 0 , 2 2 = 0 , - 2 2 , 2 2  

Resposta

  1. B = 0,0 , 1
  2. B = 0 , - 2 2 , 2 2

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas