Exercícios Resolvidos de Vetor Binormal

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pp 270 – 1 modificado

Encontre o vetor binormal da curva

r t = 3 s e n t   i ^ + 3 c o s t   j ^ + 4 t k ^

Passo 1

Encontrar o vetor tangente unitário:

v t = r ' t = 3 c o s t ,   - 3 s e n t , 4

v t = 3 c o s t 2 + - 3 s e n t 2 + 4 2 = 9 ( s e n t 2 + - c o s t 2 ) + 16 = 5

T ( t ) = v t v t = 3 c o s t ,   - 3 s e n t , 4 5 = 3 5 c o s t ,   - 3 5 s e n t , 4 5

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar o vetor normal principal unitário

Para isso, precisamos derivar esse vetor e depois dividi-lo pelo seu módulo:

T ' t = - 3 5 s e n t ,   - 3 5 c o s t , 0

T ' t = - 3 5 s e n t 2 + - 3 5 c o s t 2 + 0 2 = 9 25 = 3 5

Agora temos:

N = T ' t T ' t

N = - 3 5 s e n t ,   - 3 5 c o s t , 0 3 5 = ( - s e n t , - c o s t , 0 )

Passo 3

Encontrar o vetor binormal

Para isso, vamos fazer o produto vetorial:

B = T × N

Vamos ter

B = i ^ j ^ k ^ 3 5 c o s   t - 3 5 s e n t 4 5 - s e n   t - cos t 0 = 4 5 c o s   t   i ^ - 4 5 s e n   t j ^ - 3 5 k ^ = 4 5 c o s   t , - 4 5 s e n   t , - 3 5

Resposta

B = 4 5 c o s   t , - 4 5 s e n   t , - 3 5

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