Exercícios Resolvidos de Álgebra linear e Autovalores

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Enunciado

Ache autovalores e autovetores, se possível:

A = 2 1 - 1 0 1 1 0 0 2

Passo 1

Vamos achar os autovalores, primeiro, para isso, calculamos o polinômio característico:

det ⁡ A - λ I = 2 - λ 1 - 1 0 1 - λ 1 0 0 2 - λ

Você pode saber, lá da álgebra linear, que o determinante dessa matriz será: 2 - λ 1 - λ 2 - λ , por ela ser uma matriz diagonal. Mas, caso não saiba disso, sem problemas! Vamos calcular esse determinante. Primeiro, aumentamos a matriz repetindo as duas primeiras colunas:

2 - λ 1 - 1 0 1 - λ 1 0 0 2 - λ = 2 - λ 1 - 1 0 1 - λ 1 0 0 2 - λ 2 - λ 1 0 1 - λ 0 0

Agora, vamos pegar o produto das diagonais que vêm da esquerda para a direita e somar:

2 - λ 1 - λ 2 - λ + 1 1 0 + - 1 0 0 = 2 - λ 1 - λ 2 - λ

Agora, vamos pegar o produto das diagonais que vêm da direita para a esquerda e somar:

- 1 1 - λ 0 + 2 - λ 1 0 + 1 0 2 - λ = 0

E, por último, fazer a primeira menos a segunda:

2 - λ 1 - λ 2 - λ - 0 = 2 - λ 1 - λ 2 - λ

Então:

det ⁡ A - λ I = 2 - λ 1 - λ 2 - λ

Passo 2

Tendo o polinômio característico, 2 - λ 1 - λ 2 - λ , os autovalores serão as raízes desse polinômio. Então:

2 - λ 1 - λ 2 - λ = 0

Como o polinômio já está fatorado. As raízes serão:

λ 1 = λ 3 = 2

λ 2 = 1

Passo 3

Agora, vamos achar os autovetores, usando:

A - λ I x = 0

Para cada autovalor que achamos no passo anterior.

Para λ 1 e λ 3 :

A - 2 I x = 0

2 1 - 1 0 1 1 0 0 2 - 2 0 0 0 2 0 0 0 2 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

0 1 - 1 0 - 1 1 0 0 0 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Dessa forma, fazendo a multiplicação das matrizes:

- x 2 + x 3 = 0

x 2 - x 3 = 0

Logo, x 2 = x 3 para todo x 3 e x 1 pertencente aos reais.

E o autovetor associado ao autovalor 2 é:

x 1 x 3 x 3 , para qualquer valor de x 1 e x 3 pertencente aos reais.

Passo 4

Para o autovalor λ 2 :

A - I x = 0

2 1 - 1 0 1 1 0 0 2 - 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

1 1 - 1 0 0 1 0 0 1 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Dessa forma, fazendo a multiplicação das matrizes:

x 1 + x 2 - x 3 = 0

x 3 = 0

Resolvendo esse sistema:

x 1 = - x 2 x 3 = 0 , para todos os valores de x 2 pertencente aos reais.

E o autorvetor associado ao autovalor 1 é:

- x 2 x 2 0 , para qualquer valor de x 2 pertencente aos reais.

Resposta

Autovalores:

λ 1 = λ 3 = 2

λ 2 = 1

Autovetores:

x 1 x 3 x 3 , para qualquer valor de x 1 e x 3 pertencente aos reais.

E

- x 2 x 2 0 , para qualquer valor de x 2 pertencente aos reais.