Exercícios Resolvidos de Álgebra linear e Autovalores

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Enunciado

Verdadeiro e Falso:

a.O autovalor λ indica apenas o quanto o vetor irá "encolher" ou "esticar" ao sofrer a transformação A;

b.Se λ = 1, o vetor permanece inalterado (mas, é afetado pela transformação);

c. A transformação I sob a qual um vetor x permanece inalterado, Ix = x é definida como transformação identidade.

d.A transformação A aumenta a magnitude do vetor x, não muda somente sua direção, como também o sentido. Logo, x é um autovetor de A, e λ um autovalor de A.

e.Subtrair um escalar λ de cada entrada na diagonal de A é o mesmo que subtrair λ vezes a matriz identidade I de A. Portanto, λ é um autovalor se, e somente se, a matriz for singular.

Passo 1

a.O autovalor λ indica apenas o quanto o vetor irá "encolher" ou "esticar" ao sofrer a transformação A.

VERDADEIRO

Passo 2

b.Se λ = 1, o vetor permanece inalterado (mas, é afetado pela transformação).

FALSO

O vetor não é afetado pela transformação.

Passo 3

c. A transformação I sob a qual um vetor x permanece inalterado, Ix = x é definida como transformação identidade.

VERDADEIRO

Passo 4

d.A transformação A aumenta a magnitude do vetor x, não muda somente sua direção, como também o sentido. Logo, x é um autovetor de A, e λ um autovalor de A.

FALSO

A transformação muda apenas a magnitude e não a direção.

Passo 5

e.Subtrair um escalar λ de cada entrada na diagonal de A é o mesmo que subtrair λ vezes a matriz identidade I de A. Portanto, λ é um autovalor se, e somente se, a matriz for singular.

VERDADEIRO

Resposta

a. V

b.F

c. V

d. F

e. V

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