Construindo Matrizes e TLs

Teoria Completa

Fala galera, lembra de quando vimos como os autovalores e autovetores podem nos dizer o que uma matriz faz?

Por exemplo, se um autoespaço estava associado ao autovalor 0 e seu complemento ortogonal estivesse associado ao autovalor 1 , nós teríamos uma projeção. Então, os autovalores e autovetores nos permitiam de fato entender o que está por trás de um monte de números em uma matriz.

Tá, mas onde eu quero chegar com isso? Agora que temos a diagonalização não precisamos mais nos limitar a dizer o que alguma matriz faz! Agora nós podemos montar a matriz ou T L que quisermos!!

Vamos ver um exemplo de como fazemos isso.

Vamos construir a matriz reflexão em torno do plano 3 x - y + 2 z = 0 no R 3

Bom, como fazemos isso? Primeiro devemos lembrar que uma reflexão sempre terá dois autovalores: λ = - 1 e λ = 1 .

Se estamos refletindo em torno do plano 3 x - y + 2 z = 0 , então os vetores desse plano não serão alterados. Logo, estarão associados ao autovalor 1 . Vamos descobrir quais são eles xD

3 x - y + 2 z = 0 y = 3 x + 2 z

Então os vetores do plano tem essa cara aqui:

x , 3 x + 2 z , z = x 1,3 , 0 + z 0,2 , 1

Então uma base para esse autoespaço são os autovetores 1,3 , 0 e 0,2 , 1 .

Por fim, o complemento ortogonal desse plano será o autoespaço associado ao autovalor - 1 . Como estamos no R 3 ele será uma reta. Uma base para essa reta é o vetor cujas coordenadas são dadas pelos coeficientes da equação do plano:

3 x - y + 2 z = 0

3 , - 1,2

Opa, então resumindo tudo, temos os autovetores 1,3 , 0 e 0,2 , 1 associados ao autovalor λ = 1 . E o autovetor 3 , - 1,2 associado ao autovalor λ = - 1 .

Agora vem a parte da diagonalização. Vamos jogar essas informações na nossa fórmula A = P D P - 1 :

D = 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1

P = 1 0 3 3 2 - 1 0 1 2

P - 1 = 5 14 3 14 - 3 7 - 3 7 1 7 5 7 3 14 - 1 14 1 7

Agora calculamos nossa matriz:

A = 1 0 3 3 2 - 1 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1 5 14 3 14 - 3 7 - 3 7 1 7 5 7 3 14 - 1 14 1 7 = 2 7 3 7 - 6 7 3 7 6 7 2 7 - 6 7 2 7 3 7

E está aí a matriz que faz o que a gente queria!! Ah e seu eu quisesse a T L ? Aí é só aplicar o vetor x , y , z na matriz:

T x , y , z = 2 7 3 7 - 6 7 3 7 6 7 2 7 - 6 7 2 7 3 7 x y z = 1 7 2 x + 3 y - 6 z 3 x + 6 y + 2 z - 6 x + 2 y + 3 z =

= 1 7 2 x + 3 y - 6 z , 3 x + 6 y + 2 z , - 6 x + 2 y + 3 z

E é isso aí galera. Maneiro né? ;)

Expandir

Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 211 – Fix 7.13

Determine a decomposição espectral de T se:

a   T : R 3 R 3 uma projeção ortogonal no plano x - 2 y - z = 0

b   T : R 4 R 4 uma projeção ortogonal em H = 1,2 , 3,4 , 2,3 , 4,5

Obs.: Não precisa calcular as inversas.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a   Bom a decomposição espectral é simplesmente escrever uma matriz na forma P D P - 1 . Para isso, temos que achar os autovalores e autovetores da T L .

Uma projeção ortogonal possui autovalores 0 e 1 . O autovalor 1 estará associado aos autovalores que fazem parte do plano em que estamos projetando. Os vetores do plano tem essa cara:

x = 2 y + z

2 y + z , y , z = y 2,1 , 0 + z 1,0 , 1

Logo, temos os autovetores 2 , 1,0 e 1,0 , 1 associados ao autovalor 1 .

Quando ao autovetor associado ao autovalor 0 , será o vetor gerador da reta ortogonal ao plano. Este tem suas coordenadas dadas pelos coeficientes da equação do plano:

x - 2 y - z = 0

1 , - 2 , - 1

Logo, 1 , - 2 , - 1 é autovetor associado ao autovalor 0 .

Passo 2

Agora vamos montar as matrizes:

D = 1 0 0 0 1 0 0 0 0

P = 2 1 1 1 0 - 2 0 1 - 1

E a decomposição espectral é:

P D P - 1 = 2 1 1 1 0 - 2 0 1 - 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 1 1 1 0 - 2 0 1 - 1 - 1

Passo 3

b   Beleza, vamos achar os autovalores e autovetores.

Uma projeção possui autovalores 0 e 1 . Como estamos projetando no plano gerado pelos vetores 1 , 2,3 , 4 e 2,3 , 4,5 , eles serão autovetores associados ao autovalor 1 .

Já o autoespaço associado ao autovalor 0 será o plano ortogonal à esse plano (lembre-se que estamos no R 4 . Para gerar esse plano precisamos de dois vetores L I que sejam ortogonais a 1,2 , 3,4 e a 2,3 , 4,5 . Chamando esse vetor que queremos achar de x , y , z , w , temos:

x + 2 y + 3 z + 4 w = 0 2 x + 3 y + 4 z + 5 w = 0       I I I

Fazendo 2 I - I I :

y + 2 z + 3 w = 0 y = - 2 z - 3 w

Substituindo em I :

x + 2 - 2 z - 3 w + 3 z + 4 w = 0

x - z - 2 w = 0 x = z + 2 w

Logo, os vetores desse plano são desse tipo:

z + 2 w , - 2 z - 3 w , z , w = z 1 , - 2,1 , 0 + w 2 , - 3,0 , 1

Então temos os autovetores 1 , - 2,1 , 0 e 2 , - 3,0 , 1 associados ao autovalor 0 .

Passo 4

Agora vamos montar nossas matrizes:

D = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

P = 1 2 1 2 2 3 - 2 - 3 3 4 1 0 4 5 0 1

Então a decomposição espectral fica:

P D P - 1 = 1 2 1 2 2 3 - 2 - 3 3 4 1 0 4 5 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 2 3 - 2 - 3 3 4 1 0 4 5 0 1 - 1

Resposta

a   2 1 1 1 0 - 2 0 1 - 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 1 1 1 0 - 2 0 1 - 1 - 1

b   1 2 1 2 2 3 - 2 - 3 3 4 1 0 4 5 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 2 3 - 2 - 3 3 4 1 0 4 5 0 1 - 1

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Encontre a matriz que produz as transformações abaixo:

a   Uma reflexão em torno da reta x = 3 y no R 2

b   Uma projeção na reta gerada pelo vetor 1 , - 1,0

c   Uma projeção no plano x + y - w = 0 y - z = 0 no R 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a   Beleza, vamos achar os autovalores e autovetores que queremos e então construímos a matriz usando a fórmula A = P D P - 1 .

Uma reflexão possui autovalores - 1 e 1 . Como estamos refletindo em torno da reta cuja equação é x = 3 y , o autovetor associado ao autovalor 1 será um vetor gerador da reta.

Os vetores dessa reta são da forma:

3 y , y = y 3,1

Logo, temos o autovetor 3,1 associado ao autovalor 1 .

Já o autovetor associado ao autovalor - 1 é algum vetor perpendicular à 3,1 . Vamos usar o - 1,3 .

Passo 2

Agora vamos montar nossas matrizes pra jogar na fórmula:

D = 1 0 0 - 1

P = 3 - 1 1 3

P - 1 = 1 det P 3 1 - 1 3 = 1 10 3 1 - 1 3

Então nossa matriz é:

A = 1 10 3 - 1 1 3 1 0 0 - 1 3 1 - 1 3 = 1 5 4 3 3 - 4

Passo 3

b   Beleza, vamos achar os autovalores e autovetores que são pedidos.

Uma projeção possui autovalores 0 e 1 . Como estamos projetando na reta gerada por 1 , - 1,0 , ele será um autovetor associado ao autovalor 1 .

Já o autoespaço associado ao autovalor 0 será o plano ortogonal à reta. Para gerar esse plano precisamos de dois vetores L I que sejam ortogonais a 1 , - 1,0 .

1 , - 1,0 , x , y , z = 0 x - y = 0 x = y

Então podemos usar os vetores 1,1 , 0 e 0,0 , 1 como autovetores associados ao autovalor 0 .

Como os vetores são ortogonais entre si, vamos normalizá-los pra facilitar a inversão:

1 , - 1,0 1 , - 1,0 = 1 , - 1,0 2 = 1 2 , - 1 2 , 0

1,1 , 0 1,1 , 0 = 1,1 , 0 2 = 1 2 , 1 2 , 0

Passo 4

Agora vamos montar nossas matrizes pra jogar na fórmula:

D = 1 0 0 0 0 0 0 0 0

P = 1 2 1 2 0 - 1 2 1 2 0 0 0 1

P - 1 = P T = 1 2 - 1 2 0 1 2 1 2 0 0 0 1

Então nossa matriz é:

A = 1 2 1 2 0 - 1 2 1 2 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 - 1 2 0 1 2 1 2 0 0 0 1 = 1 2 - 1 2 0 - 1 2 1 2 0 0 0 0

Passo 5

c   De novo, vamos achar os autovalores e autovetores que fazer o que e enunciado está pedindo.

Como é uma projeção temos os autovalores 1 e 0 . Estamos refletindo em torno do plano abaixo:

x + y - w = 0 w = x + y y - z = 0 y = z

Então os vetores desse plano tem essa cara:

x , y , y , x + y = x 1,0 , 0,1 + y 0,1 , 1,1

Chegamos então aos autovetores 1,0 , 0,1 e 0,1 , 1,1 associados ao autovalor λ = 1 .

Agora os vetores que geram o plano ortogonal (lembre-se que estamos no R 4 ) podem ser dados pela equação do plano:

x + y - w = 0 1,1 , 0 , - 1

y - z = 0 0,1 , - 1,0

Então temos os autovetores 1,1 , 0 , - 1 e 0,1 , - 1,0 associados ao autovalor λ = 0 .

Passo 6

Agora vamos ajeitar esses valores nas matrizes:

D = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

P = 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 - 1 1 1 - 1 0

Agora precisamos achar a inversa de P :

1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 - 1 1 1 - 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 L 4 L 4 - L 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 - 1 0 1 - 2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 - 1 0 0 1 L 3 L 3 - L 2 L 4 L 4 - L 2

L 3 L 3 - L 2 L 4 L 4 - L 2 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 - 1 - 2 0 0 - 3 - 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 - 1 1 0 - 1 - 1 0 1 L 4 L 4 - 3 L 3

L 4 L 4 - 3 L 3 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 - 1 - 2 0 0 0 5 1 0 0 0 0 1 0 0 0 - 1 1 0 - 1 2 - 3 1 L 3 - L 3

L 3 - L 3 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 2 0 0 0 5 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 - 1 0 - 1 2 - 3 1 L 4 L 4 5

L 4 L 4 5 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 2 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 - 1 0 - 1 5 2 5 - 3 5 1 5 L 3 L 3 - 2 L 4 L 2 L 2 - L 4

L 3 L 3 - 2 L 4 L 2 L 2 - L 4 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 5 3 5 3 5 - 1 5 2 5 1 5 1 5 - 2 5 - 1 5 2 5 - 3 5 1 5 L 2 L 2 - L 3 L 1 L 1 - L 3

L 2 L 2 - L 3 L 1 L 1 - L 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 3 5 - 1 5 - 1 5 2 5 - 1 5 2 5 2 5 1 5 2 5 1 5 1 5 - 2 5 - 1 5 2 5 - 3 5 1 5

Ufa! Finalmente encontramos nossa matriz inversa:

P - 1 = 1 5 3 - 1 - 1 2 - 1 2 2 1 2 1 1 - 2 - 1 2 - 3 1

Agora é só fazer o produto:

A = 1 5 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 - 1 1 1 - 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 - 1 - 1 2 - 1 2 2 1 2 1 1 - 2 - 1 2 - 3 1 = 1 5 3 - 1 - 1 2 - 1 2 2 1 - 1 2 2 1 2 1 1 3

Resposta

a   1 5 4 3 3 - 4

b 1 2 - 1 2 0 - 1 2 1 2 0 0 0 0  

c   1 5 3 - 1 - 1 2 - 1 2 2 1 - 1 2 2 1 2 1 1 3

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