Potenciação de Matrizes

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Teoria

E aí, tudo bem? Se eu te der uma matriz e pedir pra você elevar ela à décima potência, como você faria?!

Matriz ao Quadrado

Vamos começar aprender Potência de Matriz do mais simples…bora ver como elevar uma matriz ao quadrado! Se liga nesse exemplo:

Essa continha é relativamente simples, ela funciona como uma multiplicação de matrizes normal, a única diferença é que você vai multiplicar a matriz por ela mesma!

Como Calcular a Potência de uma Matriz?

Agora vamos pegar a mesma matriz e elevar ela ao cubo! Pra a gente fazer esse cálculo a gente vai pegar a nossa matriz e multiplicar ela por ela mesma três vezes. Assim:

Sim, essa conta é bem chatinha, principalmente se quiséssemos elevar uma matriz a um expoente grande! A boa notícia é que esse método funciona sempre!

Existe um outro método…que não vai funcionar sempre, mas quando funcionar vai facilitar MUITO a nossa vida! Bora conhecer?

📢 Clique para ver mais:

Potência de uma Matriz Simétrica

Esse método que eu vou te ensinar agora só vai funcionar pra matrizes simétricas. Em uma matriz simétrica a diagonal principal vai funcionar como uma espécie de espelho, saca só:

Matriz simétrica
Matriz simétrica

Entendeu o espirito da coisa?! Agora vamos ver como funciona esse truque, vamos pegar a nossa matriz , que é simétrica, e elevar ela a décima potência!

Você também pode conferir esse exemplo em vídeo:

Exemplo: Calcule

Vamos começar calculado as matrizes e . Pra isso, precisamos encontrar os autovalores de .

Fazendo algumas contas achamos que os autovalores são =0 e e seus respectivos autoespaços são:

Ou seja, agora já sabemos os valores de , e :

E agora ta tudo só no ponto de elevar!

Substituímos os valores:

Vamos efetuar potenciação da matriz :

E agora é só resolver as multiplicações matriciais:

E prontinho! Resolvido!

Potência de uma Matriz Simétrica

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Calcule:

a   A 10 para A = 1 0 - 1 2

b   A para A = 13 14 4 14 24 18 4 18 29

Passo 1

a   Para elevar uma matriz a um expoente precisamos diagonalizar ela, então vamos lá.

A - λ I = 1 - λ 0 - 1 2 - λ

det ⁡ A - λ I = p λ = 1 - λ 2 - λ = 0 ⇒

λ = 1   o u   λ = 2

Dazendo algumas contas achamos que os autoespaços são:

Para λ = 1 :

V λ = 1 = s p a n 1,1

E para λ = 2 :

V λ = 2 = s p a n 0,1

Passo 2

Assim, a matriz diagonal fica:

D = 1 0 0 2

E a matriz dos autovetores e a sua inversa:

P = 1 0 1 1

P - 1 = 1 0 - 1 1

Agora fica fácil de elevar a matriz a 10 :

A 10 = P D 10 P - 1 ⇒

A 10 = 1 0 1 1 ⋅ 1 10 0 0 2 10 ⋅ 1 0 - 1 1 ⇒

A 10 = 1 0 - 1023 1024

Passo 3

b   Caramba, raíz quadrada de uma matriz?? Como assim??? Lembre-se que calcular a raiz quadrada de qualquer coisa é elevar a 1 2 , logo estamos elevando a matriz a um expoente e assim podemos aplicar a mesma ideia da letra a .

Vamos calcular os autovalores de A :

A - λ I = 13 - λ 14 4 14 24 - λ 18 4 18 29 - λ

det ⁡ A - λ I = - λ 2 3 + 66 × λ 2 - 849 × λ + 784 = 0

λ = 1   o u   λ = 16   o u   λ = 49

Fazendo algumas contas podemos ver que os autoespaços são:

Para λ = 1 :

V λ = 1 = s p a n 2 , - 2,1

Para λ = 16 :

V λ = 16 = s p a n - 1 , - 1 2 , 1

Para λ = 49 :

V λ = 49 = s p a n 1 2 , 1,1

Passo 4

Antes de avançar vamos botar aqui a matriz dos autovalores e dos autovetores:

P = 2 - 1 1 2 - 2 - 1 2 1 1 1 1

D = 1 0 0 0 16 0 0 0 49

P - 1 = 2 9 - 2 9 1 9 - 4 9 - 2 9 4 9 2 9 4 9 4 9

A = P D P - 1 ⇒

A = 2 - 1 1 2 - 2 - 1 2 1 1 1 1 ⋅ 1 0 0 0 16 0 0 0 49 ⋅ 2 9 - 2 9 1 9 - 4 9 - 2 9 4 9 2 9 4 9 4 9 ⇒

A = 3 2 0 2 4 2 0 2 5

Resposta

a   A 10 = 1 0 - 1023 1024

b   A = 3 2 0 2 4 2 0 2 5

Exercício Resolvido #2

Sejam P = 5 7 2 3 , D = 2 0 0 1 e A = P D P - 1 . Calcule A 8

Passo 1

Sabemos que A 8 = P D 8 P - 1 . Logo, a primeira coisa que vamos fazer é calcular P - 1 que ainda não conhecemos!

P = 5 7 2 3

P - 1 = 1 det ⁡ P ⏟ 1 3 - 7 - 2 5 = 3 - 7 - 2 5

Passo 2

Agora podemos resolver: A 8 = P D 8 P - 1 = 5 7 2 3 2 8 0 0 1 8 3 - 7 - 2 5

A 8 = 3826 - 8925 1530 - 3569

Resposta

A 8 = 3826 - 8925 1530 - 3569

Exercício Resolvido #3

Calcule - 1 7 - 1 0 1 0 0 15 - 2 100

Passo 1

Bom, se alguém quiser multiplicar essa matriz 100 vezes fique a vontade. Pessoalmente eu prefiro fazer de um jeito que não leve minha vida toda haha. Vamos diagonalizar ela!

Primeiro passo, achar os autovalores:

det ⁡ - 1 - λ 7 - 1 0 1 - λ 0 0 15 - 2 - λ = 0

- 1 - λ 1 - λ - 2 - λ = 0

Logo, temos como autovalores λ = - 1 , λ = 1 e λ = - 2 .

Passo 2

Agora encontramos os autovetores:

λ = - 1 :

0 7 - 1 0 2 0 0 15 - 1 x y z = 0 0 0

7 y - z = 0 ⇒ z = 0 2 y = 0 ⇒ y = 0 15 y - z = 0

Como não temos nenhuma condição para x , ele pode assumir qualquer valor. Assim, um autovetor que possui autovalor λ = - 1 é:

1,0 , 0

λ = 1 :

- 2 7 - 1 0 0 0 0 15 - 3 x y z = 0 0 0

- 2 x + 7 y - z = 0 ⇒ - 2 x + 2 y = 0 ⇒ x = y 15 y - 3 z = 0 ⇒ z = 5 y

Assim, um autovetor que possui autovalor λ = 1 é:

1,1 , 5

λ = - 2 :

1 7 - 1 0 3 0 0 15 0 x y z = 0 0 0

x + 7 y - z = 0 ⇒ x = z 3 y = 0 ⇒ y = 0 15 y = 0 ⇒ y = 0

Assim, um autovetor que possui autovalor λ = - 2 é:

1,0 , 1

Passo 3

Já temos nossa P e nossa D :

D = - 1 0 0 0 1 0 0 0 - 2

P = 1 1 1 0 1 0 0 5 1

Vamos achar a P - 1 agora:

1 1 1 0 1 0 0 5 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 → L 3 ← L 3 - 5 L 2 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 - 5 1 → L 1 ← L 1 - L 2 - L 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 4 - 1 0 1 0 0 - 5 1

Beleza, achamos nossa P - 1 :

P - 1 = 1 4 - 1 0 1 0 0 - 5 1

Passo 4

Agora podemos resolver: - 1 7 - 1 0 1 0 0 15 - 2 100 = P D 100 P - 1 = 1 1 1 0 1 0 0 5 1 - 1 100 0 0 0 1 100 0 0 0 - 2 100 1 4 - 1 0 1 0 0 - 5 1

Obviamente não vamos resolver 2 100 , então podemos escrever o resultado como:

- 1 7 - 1 0 1 0 0 15 - 2 100 = 1 1 1 0 1 0 0 5 1 1 0 0 0 1 100 0 0 0 2 100 1 4 - 1 0 1 0 0 - 5 1

Resposta

1 1 1 0 1 0 0 5 1 1 0 0 0 1 100 0 0 0 2 100 1 4 - 1 0 1 0 0 - 5 1

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Um operador T é chamado nilpotente se T k = 0 , a transformação linear nula, para algum inteiro positivo k. Demonstre que se T e nilpotente, então o único autovalor de Te0 .
Seja T : V → V um operador linear. Mostre que se w é um subespaço T-invariante, então 𝕨 é:a) T k -invariante, para todo inteiro positivo k e b) p ( T ) -invariante, para todo polinômio p ( T ) .