Teoria Completa
Você deve saber como elevar matrizes a um expoente não? Por exemplo, se:
Então:
Tá, mas e se eu quisesse elevar essa matriz a ??? Você iria multiplicar ela vezes no braço??? Acho que não né? Seria muito fácil errar as contas…
Mas olha pra matriz ali em cima, ela é simétrica né? Lembra do teorema espectral? Ele diz que se uma matriz é simétrica então ela é diagonalizável!
Já que a matriz e simétrica, pelo teorema espectral também é diagonalizável logo, existe uma matriz (invertível) e (diagonal) sendo que:
Mas se eu elevar ao quadrado dos dois lados:
Percebeu que ao elevar apenas a matriz diagonal ficou ao quadrado! E isso não funciona só quando elevamos ao quadrado, podemos dizer que se uma matriz é diagonalizável, essa mesma matriz elevada à um expoente é igual a:
Po legal, mas ainda temos que multiplicar a matriz diagonal... Na verdade não é bem assim! Vamos tentar entender com um exemplo:
Calcular a matriz com:
Primeiro vamos encontrar os autovalores através do :
e
Fazendo algumas contas achamos que os autovalores são e e seus respectivos autoespaços são:
Ok , já sabemos que é diagonalizável, então vamos encontrar as matrizes através dos autovalores e autovetores:
Tá beleza, até ai tudo bem. Queremos calcular , então se colocarmos na fórmula:
Precisamos calcular … Eu sei que parece muito trabalhoso mas confia em mim, vamos começar com .
Repare que ela deu exatamente cada um dos autovalores ao quadrado!!
E isso não é por acaso! Sempre que tivermos uma matriz diagonal elevada a um expoente, basta elevar cada um dos seus elementos da diagonal ao mesmo expoente:
Com isso, ao invés de fazer as contas na mão (o que levaria muito tempo e muita paciência), podemos calcular muito mais rapidamente!
Agora podemos calcular diretamente a matriz :
Resumindo:
- Sempre que tivermos que calcular uma matriz diagonalizável elevada a um expoente podemos usar a fórmula:
- Para calcular utilizamos:
Pode confiar, dá isso aí mesmo haha. Relaxa que nos exercícios não vão ter valores bizarros assim não xD
Exercício Resolvido #1
Calcule:
para
para
Passo 1
Para elevar uma matriz a um expoente precisamos diagonalizar ela, então vamos lá.
Dazendo algumas contas achamos que os autoespaços são:
Para
E para :
Passo 2
Assim, a matriz diagonal fica:
E a matriz dos autovetores e a sua inversa:
Agora fica fácil de elevar a matriz a :
Passo 3
Caramba, raíz quadrada de uma matriz?? Como assim??? Lembre-se que calcular a raiz quadrada de qualquer coisa é elevar a , logo estamos elevando a matriz a um expoente e assim podemos aplicar a mesma ideia da letra .
Vamos calcular os autovalores de :
Fazendo algumas contas podemos ver que os autoespaços são:
Para :
Para :
Para :
Passo 4
Antes de avançar vamos botar aqui a matriz dos autovalores e dos autovetores:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Sejam , e . Calcule
Passo 1
Sabemos que . Logo, a primeira coisa que vamos fazer é calcular que ainda não conhecemos!
Passo 2
Agora podemos resolver:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Calcule
Passo 1
Bom, se alguém quiser multiplicar essa matriz vezes fique a vontade. Pessoalmente eu prefiro fazer de um jeito que não leve minha vida toda haha. Vamos diagonalizar ela!
Primeiro passo, achar os autovalores:
Logo, temos como autovalores , e .
Passo 2
Agora encontramos os autovetores:
Como não temos nenhuma condição para , ele pode assumir qualquer valor. Assim, um autovetor que possui autovalor é:
Assim, um autovetor que possui autovalor é:
Assim, um autovetor que possui autovalor é:
Passo 3
Já temos nossa e nossa :
Vamos achar a agora:
Beleza, achamos nossa
Passo 4
Agora podemos resolver:
Obviamente não vamos resolver , então podemos escrever o resultado como:
Resposta