Elevando Matrizes a Expoentes Reais

Resumo Completo

Bom, até agora eu disse um monte de coisas sobre diagonalização: matrizes de autovalores, autovetores, teorema espectral. Mas... pra que serve isso tudo?

Você deve saber como elevar matrizes a um expoente não? Por exemplo se:

A = 1 2 2 4

Então:

A 2 = A A = 1 2 2 4 1 2 2 4 = 5 10 10 20

Tá, mas e se eu quisesse elevar essa matriz a 10 ??? Você iria multiplicar ela 10 vezes no braço??? Acho que não né?

Mas olha pra matriz ali em cima, nós sabemos que ela é simétrica né? Então pelo teorema espectral sabemos que a matriz é diagonalizável e portanto podemos escrevê-la da forma:

A = P D P - 1

Mas se eu elevar ao quadrado dos dois lados:

A 2 = A A = P D P - 1 P D P - 1 = P D P - 1 P I D P - 1

A 2 = P D D P - 1 = P D 2 P - 1

Caramba então só foi necessário elevar a matriz diagonal ao quadrado!!! E isso não funciona só quando elevamos ao quadrado, podemos dizer que se uma matriz é diagonalizável, essa mesma matriz elevada à um expoente é igual a:

A k = P D k P - 1

Po legal, mas ainda temos que multiplicar k a matriz diagonal... Bom, vamos voltar pro exemplo e antes de tudo vamos calcular os autovalores e autovetores:

Fazendo algumas contas achamos que os autovalores são λ = 0 ,   λ = 5 e seus respectivos autoespaços são:

V λ = 0 = s p a n - 2,1

V λ = 5 = s p a n 1 2 , 1

Assim podemos dizer que:

D = 0 0 0 5

P = - 2 1 2 1 1

P - 1 = - 2 5 1 5 2 5 4 5

Tá beleza, até ai tudo bem. Vamos então elevar ao quadrado a matriz diagonal:

D 2 = 0 0 0 25

Repare que ela deu exatamente cada um dos autovalores ao quadrado!!

0 2 = 0

5 2 = 25

E isso não é por acaso! Sempre que tivermos uma matriz diagonal elevada a um expoente, basta elevar cada um dos seus elementos da diagonal ao mesmo expoente:

D k = λ 1 k 0 0 0 0 λ 2 k 0 0 0 0 λ n - 1 k 0 0 0 0 λ n k

Assim, vamos tentar elevar a matriz a 10 !!

A 10 = - 2 1 2 1 1 0 0 0 5 10 - 2 5 1 5 2 5 4 5

A 10 = 1953125 3906250 3906250 7812500

Pode confiar, dá isso aí mesmo haha. Relaxa que nos exercícios não vão ter valores bizarros assim não xD

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Exercício Resolvido #1

Enunciado

Curso Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações Terceira Edição, Marco Cabral e Paulo Goldfeld, página 214 e 211 Prob. 7.15 a), Prob. 7.15 c)

Calcule:

a   A 10 para A = 1 0 - 1 2

b   A para A = 13 14 4 14 24 18 4 18 29

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a   Para elevar uma matriz a um expoente precisamos diagonalizar ela, então vamos lá.

A - λ I = 1 - λ 0 - 1 2 - λ

det A - λ I = p λ = 1 - λ 2 - λ = 0

λ = 1   o u   λ = 2

Dazendo algumas contas achamos que os autoespaços são:

Para λ = 1 :

V λ = 1 = s p a n 1,1

E para λ = 2 :

V λ = 2 = s p a n 0,1

Passo 2

Assim, a matriz diagonal fica:

D = 1 0 0 2

E a matriz dos autovetores e a sua inversa:

P = 1 0 1 1

P - 1 = 1 0 - 1 1

Agora fica fácil de elevar a matriz a 10 :

A 10 = P D 10 P - 1

A 10 = 1 0 1 1 1 10 0 0 2 10 1 0 - 1 1

A 10 = 1 0 - 1023 1024

Passo 3

b   Caramba, raíz quadrada de uma matriz?? Como assim??? Lembre-se que calcular a raiz quadrada de qualquer coisa é elevar a 1 2 , logo estamos elevando a matriz a um expoente e assim podemos aplicar a mesma ideia da letra a .

Vamos calcular os autovalores de A :

A - λ I = 13 - λ 14 4 14 24 - λ 18 4 18 29 - λ

det A - λ I = - λ 2 3 + 66 × λ 2 - 849 × λ + 784 = 0

λ = 1   o u   λ = 16   o u   λ = 49

Fazendo algumas contas podemos ver que os autoespaços são:

Para λ = 1 :

V λ = 1 = s p a n 2 , - 2,1

Para λ = 16 :

V λ = 16 = s p a n - 1 , - 1 2 , 1

Para λ = 49 :

V λ = 49 = s p a n 1 2 , 1,1

Passo 4

Antes de avançar vamos botar aqui a matriz dos autovalores e dos autovetores:

P = 2 - 1 1 2 - 2 - 1 2 1 1 1 1

D = 1 0 0 0 16 0 0 0 49

P - 1 = 2 9 - 2 9 1 9 - 4 9 - 2 9 4 9 2 9 4 9 4 9

A = P D P - 1

A = 2 - 1 1 2 - 2 - 1 2 1 1 1 1 1 0 0 0 16 0 0 0 49 2 9 - 2 9 1 9 - 4 9 - 2 9 4 9 2 9 4 9 4 9

A = 3 2 0 2 4 2 0 2 5

Resposta

a   A 10 = 1 0 - 1023 1024

b   A = 3 2 0 2 4 2 0 2 5

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 213 – Ext 7.16

Sejam P = 5 7 2 3 , D = 2 0 0 1 e A = P D P - 1 . Calcule A 8

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Sabemos que A 8 = P D 8 P - 1 . Logo, a primeira coisa que vamos fazer é calcular P - 1 que ainda não conhecemos!

P = 5 7 2 3

P - 1 = 1 det P 1 3 - 7 - 2 5 = 3 - 7 - 2 5

Passo 2

Agora podemos resolver: A 8 = P D 8 P - 1 = 5 7 2 3 2 8 0 0 1 8 3 - 7 - 2 5

A 8 = 3826 - 8925 1530 - 3569

Resposta

A 8 = 3826 - 8925 1530 - 3569

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 214 – Ext 7.23 – b)

Calcule - 1 7 - 1 0 1 0 0 15 - 2 100

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Bom, se alguém quiser multiplicar essa matriz 100 vezes fique a vontade. Pessoalmente eu prefiro fazer de um jeito que não leve minha vida toda haha. Vamos diagonalizar ela!

Primeiro passo, achar os autovalores:

det - 1 - λ 7 - 1 0 1 - λ 0 0 15 - 2 - λ = 0

- 1 - λ 1 - λ - 2 - λ = 0

Logo, temos como autovalores λ = - 1 , λ = 1 e λ = - 2 .

Passo 2

Agora encontramos os autovetores:

λ = - 1 :

0 7 - 1 0 2 0 0 15 - 1 x y z = 0 0 0

7 y - z = 0 z = 0 2 y = 0 y = 0 15 y - z = 0

Como não temos nenhuma condição para x , ele pode assumir qualquer valor. Assim, um autovetor que possui autovalor λ = - 1 é:

1,0 , 0

λ = 1 :

- 2 7 - 1 0 0 0 0 15 - 3 x y z = 0 0 0

- 2 x + 7 y - z = 0 - 2 x + 2 y = 0 x = y 15 y - 3 z = 0 z = 5 y

Assim, um autovetor que possui autovalor λ = 1 é:

1,1 , 5

λ = - 2 :

1 7 - 1 0 3 0 0 15 0 x y z = 0 0 0

x + 7 y - z = 0 x = z 3 y = 0 y = 0 15 y = 0 y = 0

Assim, um autovetor que possui autovalor λ = - 2 é:

1,0 , 1

Passo 3

Já temos nossa P e nossa D :

D = - 1 0 0 0 1 0 0 0 - 2

P = 1 1 1 0 1 0 0 5 1

Vamos achar a P - 1 agora:

1 1 1 0 1 0 0 5 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L 3 L 3 - 5 L 2 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 - 5 1 L 1 L 1 - L 2 - L 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 4 - 1 0 1 0 0 - 5 1

Beleza, achamos nossa P - 1 :

P - 1 = 1 4 - 1 0 1 0 0 - 5 1

Passo 4

Agora podemos resolver: - 1 7 - 1 0 1 0 0 15 - 2 100 = P D 100 P - 1 = 1 1 1 0 1 0 0 5 1 - 1 100 0 0 0 1 100 0 0 0 - 2 100 1 4 - 1 0 1 0 0 - 5 1

Obviamente não vamos resolver 2 100 , então podemos escrever o resultado como:

- 1 7 - 1 0 1 0 0 15 - 2 100 = 1 1 1 0 1 0 0 5 1 1 0 0 0 1 100 0 0 0 2 100 1 4 - 1 0 1 0 0 - 5 1

Resposta

1 1 1 0 1 0 0 5 1 1 0 0 0 1 100 0 0 0 2 100 1 4 - 1 0 1 0 0 - 5 1

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