Teoria Completa
Acabamos de ver como descobrir se uma matriz ou uma são diagonalizáveis ou não. Mas existe um caso particular no qual é muito mais fácil descobrirmos isso. E é sobre esse caso que trata o Teorema Espectral.
OBS: tanto faz falarmos de matrizes ou transformações lineares, pois afinal um é a mesma coisa que o outro. Se é diagonalizável, sabemos que existe alguma que é essa em alguma base, e, portanto, se ela é diagonalizável todas as outras são também.
Vejamos a matriz abaixo:
Observe que ela é simétrica (é como se a diagonal principal fosse um espelho!). Além disso, repare que os autovetores são ortogonais mas não estão normalizados!!
Assim, vamos finalmente enunciar o teorema:
O que esse segundo item do teorema quer dizer?!
Basicamente, isso quer dizer que podemos escolher uma base de vetores ortonormais. Lembra que normalizar é só escolher um múltiplo desse vetor, só que com a norma ? Então, no nosso exemplo poderíamos ter normalizado nossos autovetores. Mas NÃO É OBRIGATÓRIO!!
Tá mas pra que eu vou querer ter mais trabalho, e normalizar os autovetores? Se eles agora são ortonormais podemos botá-los em coluna na nossa matriz !!! Tá, e daí?? Você lembra qual a definição de matriz ortogonal?
É aquela que possui suas colunas ortonormais! E é exatamente isso que vai acontecer com a nossa , não é??
Tá, mas eu ainda não estou entendendo. A parada é que quando uma matriz é ortogonal, sabemos que sua inversa é igual a sua transposta!
Assim, se é uma matriz ortogonal, e, portanto, seus vetores coluna são ortonormais, então:
E assim, fica muito mais fácil de resolver as contas na mão! Visto que inverter uma matriz é um processo muito chato, enquanto transpor não xD.
Nesse caso, nossa matriz diagonal se torna:
E nossa matriz pode ser escrita por:
Resumindo o teorema espectral:
- é diagonalizável;
- PODEMOS (não é necessário), ortonormalizar os autovetores;
- Se fizermos isso, é ortogonal agora, e portanto, .
Outra coisa muito interessante sobre matrizes simétricas é que os autovetores associados a autovalores diferentes são sempre ortogonais!
OBS: Se desde o começo seus autovetores não são ORTOGONAIS (pode acontecer), você além de normalizá-los terá que ORTOGONALIZÁ-LOS! Para isso, utilize ou o processo de Gram-Schimdt ou o Produto Vetorial para vetores do . Se isso não cai na sua prova, ou seja, os seus vetores serão sempre ortogonais, não ligue para essa observação haha.
Exercício Resolvido #1
Determinar uma matriz que diagonaliza ortogonalmente e calcular .
Passo 1
Bom, o primeiro passo é achar os autovalores:
Passo 2
Agora precisamos encontrar os autovetores:
Logo, o autoespaço associado é .
:
Logo o autoespaço associado é
Passo 3
Ele quer uma matriz que diagonaliza ortogonalmente. Ou seja, ele quer que seja ortogonal (possua colunas ortonormais). Como os vetores que obtivemos e já são ortogonais, temos apenas que normalizá-los. Logo:
Podemos então escrever nossa matriz como:
Passo 4
Por fim, poderíamos calcular , que nesse caso seria equivalente a já que é ortogonal. No entanto, sabemos que essa é uma matriz diagonal com os autovalores de . Autovalores esses que já calculamos! Então, obedecendo à ordem que escolhemos para os autovetores em , temos:
Passo 5
Novamente, achamos os autovalores:
Beleza, temos então três autovalores , e .
Passo 6
Agora precisamos encontrar os autovetores:
Logo, o autoespaço associado é .
:
Logo o autoespaço associado é
:
Temos então que:
Como não temos nenhuma condição para ele pode assumir qualquer valor!
Logo o autoespaço associado é
Passo 7
Novamente temos vetores ortogonais, mas ainda precisamos normalizá-los! Logo:
Podemos então escrever nossa matriz como:
Passo 8
Por fim, poderíamos calcular , que nesse caso seria equivalente a já que é ortogonal. No entanto, sabemos que essa é uma matriz diagonal com os autovalores de . Autovalores esses que já calculamos! Então, obedecendo à ordem que escolhemos para os autovetores em , temos:
Resposta
e
e
Exercício Resolvido #2
Seja
Determine de é diagonalizável.
Se ela for, apresente uma e que satisfaça a diagonalização.
Considere:
Passo 1
Bom, existem dois jeitos de fazer essa questão. Um deles é o no pau e pedra e achar os autovetores e verificar se existe ou não uma base de autovetores. Nesse caso, você teria que achar o domínio da transformação que representa essa .
Por outro lado, podemos ver que a matriz é simétrica, e pelo teorema espectral sabemos que ela é diagonalizável.
Passo 2
Um jeito fácil e rápido para montar a nossa e é usar o teorema espectral. Por que se a nossa for ortogonal, teremos . No entanto como estamos trabalhando com matrizes , inverter a matriz fica bem fácil! É só fazer isso oh:
Então primeiro vamos calcular os autovalores.
ou
Passo 3
Vamos calcular os autovetores para :
Para :
Passo 4
Então podemos definir nossa como:
Invertendo:
Agora pra ver se se satisfaz é só multiplicar:
Resposta
Sim, pois é simétrica.
e
Exercício Resolvido #3
Para cada real, considere a transformação dada por:
Existe um valor de para qual não seja diagonalizável?
Passo 1
Não, pois como podemos observar a matriz abaixo em função de :
A matriz acima é sempre simétrica independente do valor de e, por isso, de acordo com o teorema espectral, é diagonalizável.
Também sabemos que se uma representação de em uma base for diagonalizável, todas as outras serão e, portanto, é diagonalizável.
Logo, não existe nenhum valor para , tal que, não seja diagonalizável.
Resposta
Não existe.
Exercício Resolvido #4
Considere dada por , onde . Denotamos por a base canônica de .
Calcule a matriz e determine se é diagonalizável para qualquer valor . (Dica: não tente calcular os autovetores)
No caso em que , ache uma base de constituída de autovetores de .
Passo 1
Bom, para começar vamos construir a matriz antes de tudo.
Calculando os produtos vetoriais:
Passo 2
E assim:
Calculando a matriz:
Como podemos ver a matriz é simétrica, então de acordo com o teorema espectral, a matriz é diagonalizável, então todas as outras representações também são, e portanto, é diagonalizável.
Passo 3
Agora substituindo na matriz:
Agora para achar os autovalores:
Passo 4
Para achar os autovetores:
Para :
Sabemos que , mas pode ser qualquer coisa!!
Para :
Para
Assim uma possível base de pode ser:
Resposta
É diagonalizável.
Uma possível base de é: