Teorema Espectral

Teoria Completa

Acabamos de ver como descobrir se uma matriz ou uma T L são diagonalizáveis ou não. Mas existe um caso particular no qual é muito mais fácil descobrirmos isso. E é sobre esse caso que trata o Teorema Espectral.

OBS: tanto faz falarmos de matrizes ou transformações lineares, pois afinal um é a mesma coisa que o outro. Se A é diagonalizável, sabemos que existe alguma T que é essa A em alguma base, e, portanto, se ela é diagonalizável todas as outras são também.

Vejamos a matriz abaixo:

A = 1 1 1 1

Observe que ela é simétrica (é como se a diagonal principal fosse um espelho!). Além disso, repare que os autovetores γ = 1,1 , 1 , - 1 são ortogonais mas não estão normalizados!!

1,1 , 1 , - 1 = 0

( 1,1 ) ≠ 1

( 1 , - 1 ) ≠ 1

Assim, vamos finalmente enunciar o teorema:

O que esse segundo item do teorema quer dizer?!

Basicamente, isso quer dizer que podemos escolher uma base de vetores ortonormais. Lembra que normalizar é só escolher um múltiplo desse vetor, só que com a norma 1 ? Então, no nosso exemplo poderíamos ter normalizado nossos autovetores. Mas NÃO É OBRIGATÓRIO!!

Tá mas pra que eu vou querer ter mais trabalho, e normalizar os autovetores? Se eles agora são ortonormais podemos botá-los em coluna na nossa matriz P !!! Tá, e daí?? Você lembra qual a definição de matriz ortogonal?

É aquela que possui suas colunas ortonormais! E é exatamente isso que vai acontecer com a nossa P , não é??

Tá, mas eu ainda não estou entendendo. A parada é que quando uma matriz é ortogonal, sabemos que sua inversa é igual a sua transposta!

Assim, se P é uma matriz ortogonal, e, portanto, seus vetores coluna são ortonormais, então:

P - 1 = P T

E assim, fica muito mais fácil de resolver as contas na mão! Visto que inverter uma matriz é um processo muito chato, enquanto transpor não xD.

Nesse caso, nossa matriz diagonal se torna:

D = P T ⋅ A ⋅ P

E nossa matriz A pode ser escrita por:

A = P ∙ D ∙ P T

Resumindo o teorema espectral:

  • A é diagonalizável;
  • PODEMOS (não é necessário), ortonormalizar os autovetores;
  • Se fizermos isso, P é ortogonal agora, e portanto, P - 1 = P T .

Outra coisa muito interessante sobre matrizes simétricas é que os autovetores associados a autovalores diferentes são sempre ortogonais!

OBS: Se desde o começo seus autovetores não são ORTOGONAIS (pode acontecer), você além de normalizá-los terá que ORTOGONALIZÁ-LOS! Para isso, utilize ou o processo de Gram-Schimdt ou o Produto Vetorial para vetores do R 3 . Se isso não cai na sua prova, ou seja, os seus vetores serão sempre ortogonais, não ligue para essa observação haha.

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Exercício Resolvido #1

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 318. – 14

Determinar uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e calcular P - 1 A P .

a   A = 5 3 3 5

b   A = 0 0 2 0 - 1 0 2 0 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a   Bom, o primeiro passo é achar os autovalores:

det ⁡ 5 - λ 3 3 5 - λ = 0

5 - λ 2 - 9 = 0

λ 2 - 10 λ + 16 = 0

Δ = 100 - 4 ∙ 1 ∙ 16

Δ = 100 - 64 = 36

λ = 10 ± 6 2 = 8   o u   2

Passo 2

Agora precisamos encontrar os autovetores:

λ = 8 :

- 3 3 3 - 3 x y = 0 0

- 3 x + 3 y = 0 ⇒ x = y 3 x - 3 y = 0 ⇒ x = y

Logo, o autoespaço associado é s p a n 1,1 .

λ = 2 :

3 3 3 3 x y = 0 0

3 x + 3 y = 0 ⇒ x = - y 3 x + 3 y = 0 ⇒ x = - y

Logo o autoespaço associado é s p a n 1 , - 1

Passo 3

Ele quer uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente. Ou seja, ele quer que P seja ortogonal (possua colunas ortonormais). Como os vetores que obtivemos 1,1 e 1 , - 1 já são ortogonais, temos apenas que normalizá-los. Logo:

1,1 1,1 = 1,1 2 = 1 2 , 1 2

1 , - 1 1 , - 1 = 1 , - 1 2 = 1 2 , - 1 2

Podemos então escrever nossa matriz P como:

P = 1 2 1 2 1 2 - 1 2

Passo 4

Por fim, poderíamos calcular P - 1 A P , que nesse caso seria equivalente a P T A P já que P é ortogonal. No entanto, sabemos que essa é uma matriz diagonal com os autovalores de A . Autovalores esses que já calculamos! Então, obedecendo à ordem que escolhemos para os autovetores em P , temos:

P - 1 A P = 8 0 0 2

Passo 5

b   Novamente, achamos os autovalores:

det ⁡ 0 - λ 0 2 0 - 1 - λ 0 2 0 0 - λ = 0

0 - λ - 1 - λ 0 - λ - 4 - 1 - λ = 0

λ 2 - 1 - λ - 4 - 1 - λ = 0

λ 2 - 4 - 1 - λ = 0

λ - 2 λ + 2 - 1 - λ = 0

Beleza, temos então três autovalores λ = 2 , λ = - 2 e λ = - 1 .

Passo 6

Agora precisamos encontrar os autovetores:

λ = 2 :

- 2 0 2 0 - 3 0 2 0 - 2 x y z = 0 0 0

- 2 x + 2 z = 0 ⇒ x = z - 3 y = 0 ⇒ y = 0 2 x - 2 z = 0

Logo, o autoespaço associado é s p a n 1,0 , 1 .

λ = - 2 :

2 0 2 0 1 0 2 0 2 x y z = 0 0 0

2 x + 2 z = 0 ⇒ x = - z y = 0 ⇒ y = 0 2 x + 2 z = 0

Logo o autoespaço associado é s p a n 1,0 , - 1

λ = - 1 :

1 0 2 0 0 0 2 0 1 x y z = 0 0 0

x + 2 z = 0 ⇒ x = - 2 z 2 x + z = 0 ⇒ x = - z 2

Temos então que:

- 2 z = - z 2 ⇒ z = 0 ⇒ x = 0

Como não temos nenhuma condição para y ele pode assumir qualquer valor!

Logo o autoespaço associado é s p a n 0,1 , 0

Passo 7

Novamente temos vetores ortogonais, mas ainda precisamos normalizá-los! Logo:

1,0 , 1 1,0 , 1 = 1,0 , 1 2 = 1 2 , 0 , 1 2

1,0 , - 1 1,0 , - 1 = 1,0 , - 1 2 = 1 2 , 0 , - 1 2

Podemos então escrever nossa matriz P como:

P = 1 2 0 1 2 0 1 0 1 2 0 - 1 2

Passo 8

Por fim, poderíamos calcular P - 1 A P , que nesse caso seria equivalente a P T A P já que P é ortogonal. No entanto, sabemos que essa é uma matriz diagonal com os autovalores de A . Autovalores esses que já calculamos! Então, obedecendo à ordem que escolhemos para os autovetores em P , temos:

P - 1 A P = 2 0 0 0 - 1 0 0 0 - 2

Resposta

a   P = 1 2 1 2 1 2 - 1 2 e P - 1 A P = 8 0 0 2

b   P = 1 2 0 1 2 0 1 0 1 2 0 - 1 2 e P - 1 A P = 2 0 0 0 - 1 0 0 0 - 2

Exercício Resolvido #2

Lista 1 para a P3, exercício 15-a)-b), Álgebra Linear I, PUC-rio, Adaptado.

Seja A = 1 - 1 - 1 1

a   Determine de A é diagonalizável.

b   Se ela for, apresente uma P e P - 1 que satisfaça a diagonalização.

Considere:

A = P D P - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a   Bom, existem dois jeitos de fazer essa questão. Um deles é o no pau e pedra e achar os autovetores e verificar se existe ou não uma base de autovetores. Nesse caso, você teria que achar o domínio da transformação que representa essa A .

Por outro lado, podemos ver que a matriz A é simétrica, e pelo teorema espectral sabemos que ela é diagonalizável.

Passo 2

b   Um jeito fácil e rápido para montar a nossa P e P - 1 é usar o teorema espectral. Por que se a nossa P for ortogonal, teremos P - 1 = P T . No entanto como estamos trabalhando com matrizes 2 × 2 , inverter a matriz fica bem fácil! É só fazer isso oh:

A = a b c d

A - 1 = 1 det ⁡ A d - b - c a

Então primeiro vamos calcular os autovalores.

A - λ I = 1 - λ - 1 - 1 1 - λ ⇒

det ⁡ A - λ I = p λ = 1 - λ 2 - 1

1 - λ 2 - 1 = 0 ⇒   1 - λ 2 = 1 ⇒

1 - λ = ± 1 ⇒

λ = 0 ou λ = 2

Passo 3

Vamos calcular os autovetores para λ = 0 :

1 - 1 - 1 1 x y = 0

x - y = 0 ⇒ x = y - x + y = 0