Coordenadas Polares

Teoria Completa

Desde o colégio usamos o sistema cartesiano. Assim, para localizar um ponto precisamos do valor das coordenadas x ,   y e z . Mas, se tivermos o gráfico a seguir como faremos para localizar o ponto P ?

Não faço ideia de como localizar o ponto!! E nunca vi essa representação antes!!

Calma!! Vamos te ensinar tudo o que precisas saber para localizar o ponto certinho!! Blz?!

Para conseguirmos identificar o ponto P da figura teremos que utilizar as coordenadas polares. Mas, quais são essas coordenadas?

Hahaha! Não são bem essas aí não!

Vou mostrar como a gente encontra elas (de verdade)!

Bem, para localizar um ponto por meio das coordenadas polares precisamos saber qual a distância desse ponto até a origem e também precisamos saber o ângulo entre a reta que o ponto forma com a origem e o eixo polar. Não entendi nada!! Vamos analisar então uma outra figura!!

A reta que liga o ponto P ao centro possui um comprimento r que pela figura vemos que vale 1.5 , então esse valor é a distância do ponto P até a origem. O ângulo que precisamos saber está também indicado na figura, e que equivale a θ = 60 ° . Como você pode observar o círculo mais externo possui o valor dos ângulos formados pelas linhas, então, por meio deles conseguimos o ângulo que queremos. Assim, nosso ponto P = ( 1.5 ,   60 ° ) . Pronto, achamos as coordenadas do nosso ponto!

Agora que já entendemos como faz, podemos colocar para um caso genérico!!

Obs: O r é um valor positivo, mas ele pode aparecer como ( - r , θ ) , essa representação é equivalente à ( r ,   θ + π ) . Assim, ( - r , θ ) é o simétrico de ( r , θ ) em relação ao polo.

Já sabemos as coordenadas polares!! Mas, e se eu estiver no sistema cartesiano e quiser passar para coordenadas polares, ou vice e versa?! Vamos ver isso agora!!

Para passar de um sistema para outro devemos ter sempre a figura acima em mente!!

Na figura temos os dois sistemas juntos, ou seja, a representação cartesiana x e y e a representação polar por meio de r e θ . Da figura, conseguimos tirar as seguintes relações:

Assim, por meio delas conseguimos passar de polar para cartesiana, e o contrário é só rearranjar as relações e teremos:

Agora sim!! Sabemos tudo o que precisamos saber de coordenadas polares!! Lembre-se: tudo o que você precisa saber sobre coordenadas polares você consegue olhando para a figura acima e observando as relações entre x ,   y ,   r e θ .

Um resuminho para tus

Agora é só partir para o exercício!

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Apresentar as equações em coordenadas polares:

  1. Das retas x = a , x = - a , y = a e y = - a sendo a = c o n s t a n t e
  2. Da circunferência de centro no pólo e raio a > 0
  3. Da circunferência de centro ( x 0 ,   y 0 ) e raio a > 0
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Passo 1

Neste exercício temos que passar as equações de coordenadas cartesianas para polares. Para isso, vamos utilizar as seguintes relações que vimos na teoria:

x = r . cos ⁡ θ               ( 1 )

y = r . sin ⁡ θ               ( 2 )

x 2 +   y 2 = r 2       ( 3 )

Bora colocar a mão na massa!! ;)

Passo 2

a) Nesse item devemos escrever as equações das retas x = a , x = - a , y = a e y = - a em coordenadas polares. Vamos começar com a reta x = a .

Para x = a vamos substituir a expressão ( 1 )

x = a →   r . cos ⁡ θ = a

Como a é uma constante então achamos a expressão da reta em coordenadas polares:

r . cos ⁡ θ = a

Agora, para x = - a , o procedimento é o mesmo e atente que o que muda para a expressão anterior é o sinal de menos no a , então a expressão ficará no lado esquerdo igual e no lado direito com - a .

r . cos ⁡ θ = - a

Para y = a , agora, vamos utilizar a expressão ( 2 ) . Substituindo, temos:

y = a → r . sin ⁡ θ = a  

E para terminar esse item, para y = - a , teremos a expressão acima, mas com o lado direito com - a .

r . sin ⁡ θ = - a  

Passo 3

b) Devemos escrever em coordenadas polares a expressão da circunferência de centro no pólo e raio a > 0 .

Centro no pólo é o mesmo que dizer que o centro está na origem, assim, sabemos que C ( 0 ,   0 ) . E, pelo enunciado o raio é a . Quando vimos cônicas degeneradas e mesmo no colégio vimos que a equação geral de uma circunferência é:

x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2

Sendo, x 0 ,   y 0 as coordenadas do centro da esfera e r o raio. CUIDADO: O r na expressão acima representa o raio da esfera e não é o mesmo r das coordenadas polares.

Assim, nossa esfera em coordenadas cartesianas fica:

x 2 + y 2 = a 2

Para passar para as coordenadas polares vamos utilizar expressão ( 3 ) , então teremos:

r 2 = a 2

Uhulll!! Mais um item pronto!!

Passo 4

c) Para terminar vamos escrever a expressão em coordenadas polares da circunferência de centro ( x 0 ,   y 0 ) e raio a > 0 .

No item anterior vimos que a expressão geral em coordenadas cartesianas de uma circunferência é:

x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2

Sendo, x 0 ,   y 0 as coordenadas do centro da esfera e r o raio. Substituindo as informações que temos:

x - x 0 2 + y - y 0 2 = a 2

Agora, devemos usar as relações 1 ,   ( 2 ) e ( 3 ) para achar a equação em coordenadas polares:

x 2 - 2 x x 0 + x 0 2 + y 2 - 2 y y 0 + y 0 2 = a 2

Substituindo as relações temos que:

r 2 - 2 r . cos ⁡ θ . x 0 +     x 0 2 - 2 r . sin ⁡ θ . y 0 + y 0 2 =   a 2

Pronto chegamos na nossa expressão, lembrando que x 0 ,   y 0 e a são constantes.

Resposta

a )     x = a → r . cos ⁡ θ = a , x = - a → r . cos ⁡ θ = - a , y = a → r . sin ⁡ θ = a ,

y = - a → r . sin ⁡ θ = - a

b )     r 2 = a 2

c )   r 2 - 2 r . cos ⁡ θ . x 0 +     x 0 2 - 2 r . sin ⁡ θ . y 0 + y 0 2 =   a 2

Exercício Resolvido #2

Unicamp, 2ª Chamada – Geometria Analítica, 20/06/2013 (manhã), pág. 1, Questão 5 – item c.

Verificar se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. (Respostas sem justificativa não serão consideradas)

c) A equação (em coordenadas polares) r = - 4 cos ⁡ θ representa uma parábola.

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Passo 1

O exercício faz uma afirmação em relação à expressão r = - 4 cos ⁡ θ que está em coordenadas polares. Ele afirma que a expressão representa uma parábola. Será que isso é verdade?

Para verificar, vamos passar para as coordenadas cartesianas e verificar!! Blz?

Passo 2

Como a expressão está escrita em coordenadas polares e queremos passar para as coordenadas cartesianas vamos utilizar as seguintes relações:

x 2 +   y 2 = r 2 → r = x 2 +   y 2   ( 1 )

x = r . cos ⁡ θ → cos ⁡ θ = x x 2 +   y 2   ( 2 )

y = r . sin ⁡ θ → sin ⁡ θ = y x 2 +   y 2   ( 3 )

Substituindo as relações, temos:

r = - 4 cos ⁡ θ →   x 2 +   y 2 = - 4 x x 2 +   y 2  

Escrevendo de um jeito diferente a expressão acima, temos:

x 2 +   y 2 = - 4 x

( x + 2 ) 2 + y 2 = 4

Essa é a expressão de uma circunferência de raio 2 e centro ( - 2 ,   0 ) .

Portanto, a afirmativa é FALSA. A nossa justificativa é o próprio desenvolvimento para achar a expressão!!

Resposta