Quádricas com Rotação

Teoria Completa

Já vimos cônicas com rotação, mas e as Quádricas???

Vamos te explicar direitinho agora. Mas já adianto que é bem parecido com o que fizemos para as cônicas!

Também já vimos que no espaço, ou seja, no R ³ , as quádricas são superfícies definidas por equações do tipo :

A x 2 + B y 2 + C z 2 + D x y + E x z + F y z + G x + H y + I z + J = 0

Daí temos os óides: parabolóides, elipsoides e por ai vai.

Se você pegou a ideia não é difícil estender o conceito para o R 4 , R 5 e o R 24153 mas felizmente nós vamos nos ater a dimensões mais amigáveis.

Mas galera, se vocês ficam com essa cara aqui:

Quando vêem uma equação desse tamanho:

A x 2 + B y 2 + C z 2 + D x y + E x z + F y z + G x + H y + I z + J = 0

Saiba que é completamente normal e os matemáticos também se sentem assim. Por isso, vamos aprender a domar isso ai pra aparecer uma coisa mais mansa. Dá uma olhada como fazemos.

Quádricas com rotação

A ideia de todas as contas que vamos fazer é achar um novo sistema de coordenadas legal pra gente poder olhar a quádrica. A equação só tá feia porque estamos olhando por um sistema de coordenadas ruim, mas se escolhermos um novo de forma que fique tipo assim:

As coisas vão ficar show de bolinhas!

O que fazemos é pegar uma quádrica rotacionada e, provavelmente, transladada e achar um novo eixo de coordendas “desrotacionado” e “destransladado”. No final das contas você vai sacar do que eu to falando!

Cara vou ser direto com você: nosso objetivo aqui é pegar

A x 2 + B y 2 + C z 2 + D x y + E x z + F y z + G x + H y + I z + J = 0

E transformar em algo desse tipo

A ' x 2 + B ' y 2 + C ' z 2 + K = 0

Pra vocês sacarem como tudo funciona, nós vamos trabalhar tentando simplificar uma quádrica aqui:

2 x 2 + 2 y 2 + z 2 + 2 x z + 2 y z + 2 x - 2 y + 6 z + 14 = 0

Primeiro, vamos escrever isso aí na forma matricial, ou seja:

Substituindo tudo, ficamos com:

x     y     z 2 0 1 0 2 1 1 1 1 x y z + 2   - 2     6 x y z + 14 = 0

Onde   K = 2 0 1 0 2 1 1 1 1

Agora, partiu calcular os Autovalores   ( λ ) !

Se você não lembra a formulinha, é essa aqui ô: K - λ I = 0

Substituindo os valores,

K - λ I = 2 - λ 0 1 0 2 - λ 1 1 1 1 - λ = 0

Calculando esse determinante, achamos:

2 - λ 2 - λ 1 - λ - 2 - λ + 2 - λ = 0

λ λ 2 - 5 λ + 6 = 0

Logo, λ 1 = 0 ,   λ 2 = 3 ,   λ 3 = 2

Partiu calcular os Autovetores agora!

A formulinha é K - λ I v = 0

Para λ 1 = 0 , temos:

2 0 1 0 2 1 1 1 1 x y z = 0 0 0

2 x + z = 0 2 y + z = 0 ⇒ y = x z = - 2 x

Podemos escolher qualquer valor para x ,   y ou z desde de eles satisfaçam a relação aí de cima!

Vou escolher x = 1 . Logo, z = - 2   e y = 1

Com isso, achamos o vetor ( 1 ,   1 ,   - 2 ) ! Mas não esquece que o vetor precisa ser unitário, então vamos dividir pela norma!

E achamos o autovetor v 1 = ( 6 6 , 6 6 , - 2 6 6 )

Para λ 2 = 3

- 1 0 1 0 - 1 1 0 1 - 2 x y z = 0 0 0

- x + z = 0 - y + z = 0 ⇒ x = z y = z

Se x = 1 , então y = z = 1

Logo o autovetor é v 2 = ( 3 3 , 3 3 , 3 3 )

Para λ 3 = 2

0 0 1 0 0 1 1 1 - 1 x y z = 0 0 0

z = 0 x + y - z = 0 ⇒ z = 0 x = - y

Se x = 1 , então z = 0 e y = - 1

Logo o autovetor é v 3 = ( 2 2 , - 2 2 , 0 ) .

Com isso, conseguimos montar nossa matriz dos autovalores ( M ) e dos autovetores ( N ) e substituir em uma nova fórmula matricial:

x '     y '     z ' M x ' y ' z ' + G     H     I N x ' y ' z ' + J = 0

Sendo M = λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3 e N = ↑ ↑ ↑ v 1 v 2 v 3 ↓ ↓ ↓

CUIDADO: A ordem dos autovalores e autovetores importa, então cuidado para não trocar eles!!

Substituindo os valores:

Nessa nova fórmula, o que fizemos foi eliminar a rotação criando outros eixos coordenados x ' ,   y ' ,   z ' .

Bem, agora precisamos sair da forma matricial.

Resolvendo a parte 1, ficamos com:

λ 1 x ' 2 + λ 2 y ' 2 + λ 3 z ' 2

3 y ' 2 + 2 z ' 2

Resolvendo a parte 2:

A relação entre x y z e x ' y ' z ' é:

x y z = N x ' y ' z '

Então:

2 x - 2 y + 6 z = 2 - 2 6 6 6 3 3 2 2 6 6 3 3 - 2 2 - 2 6 6 3 3 0 x ' y ' z '

2 x - 2 y + 6 z = - 2 6 2 3 2 2 x ' y ' z ' = - 2 6 x ' + 2 3 y ' + 2 2 z '

Ufa! A equação depois disso tudo ficou:

3 y 2 + 2 z 2 - 2 6 x + 2 3 y + 2 2 z + 14 = 0

Aqui nós pegamos um caso meio atípico, não poderemos eliminar todos os termos lineares como podemos na maioria das vezes. Peguei esse exemplo só pra vocês não se assustarem se isso acontecer depois.

Ainda falta uma coisinha só!

Eu sei que é longo, mas daqui a pouco você se acostuma!

Fizemos isso tudo para “desrotacionar” a quádrica, mas ela pode estar transladada também! Reparem que nesse caso ela está transladada, porque os termos não estão bonitinhos ainda, ou seja, não conseguiríamos identificar essa quádrica do jeito que ela tá.

Para resolver essa marimba é só completarmos os quadrados (lembra lá do Ensino Médio) pra tirar os termos lineares que conseguirmos:

3 y 2 + 2 3 y + 1 + ( 2 z 2 + 2 2 z + 1 ) - 2 6 x + 14 = 2

3 y + 1 2 + 2 z + 1 2 - 2 6 x + 12 = 0

3 y 2 + 1 3 2 + 2 z 2 + 1 2 2 - 2 6 x 2 + 12 = 0

Fazendo agora:

x 3 = x 2

y 3 = y 2 + 1 3

z 3 = z 2 + 1 2

A equação da quádrica finalmente chega em:

3 y 2 + 2 z 2 - 2 6 x + 12 = 0

Bem mais simples essa equação aí, né.