Coordenadas Cilíndricas

Teoria Completa

Até agora vimos as coordenadas polares que é uma representação bidimensional. E, se eu quiser tridimensional? Aí, veremos as coordenadas cilíndricas e depois as coordenadas esféricas!! Mas primeiro, vamos aprender as cilíndricas 😊

Coordenadas Cilíndricas

As coordenadas cilíndricas você vai tirar de letra!!

As coordenadas cilíndricas são as coordenadas polares, mas tridimensionais!! Mas, como?

HAHAHA! Ok, parei (hihi)

Continuaremos tendo as coordenadas r e θ , mas agora, além dessas teremos a coordenada z . Quem é z ? Essa coordenada é uma velha conhecida nossa! Hehe... a coordenada z é a mesma do sistema cartesiano. Então, se pegarmos um ponto qualquer teremos a seguinte representação:

Em coordenadas cilíndricas teremos o ponto P representado por P = ( r ,   θ ,   z ) .

Podemos também ter as relações com as coordenadas cartesianas, que são dadas pela seguinte figura:

Pela figura temos as seguintes relações:

Então se temos um ponto com coordenadas cilíndricas P = ( r ,   θ ,   z ) conseguimos encontrar o mesmo ponto P em coordenadas cartesianas P = ( x ,   y ,   z ) . O contrário também é possível P = ( x ,   y ,   z ) →   P = ( r ,   θ ,   z ) , para isso usamos as seguintes relações que derivam das anteriores:

Pronto!! Já conhecemos mais um sistema de coordenadas!!

Para ficar tudo “tinindo” e você entender bem, partiu exercícios!!

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Exercício Resolvido #1

Unicamp, Lista 3 – Geometria Analítica (MA141), 2014, pág 1, ex. 10

Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas da superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada:

  1. x 2 + y 2 + z 2 = 9 z
  2. x 2 + y 2 = 9
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Passo 1

Vamos colocar em prática o que aprendemos sobre coordenadas cilíndricas na teoria!! Como queremos encontrar as equações em coordenadas cilíndricas vamos utilizar as seguintes relações:

x = r . cos ⁡ θ   ( 1 )

y = r . sin ⁡ θ     ( 2 )

z = z       3

x 2 + y 2 = r 2   ( 4 )

Bora, achar as equações!!

Passo 2

  1. x 2 + y 2 + z 2 = 9 z
  2. Pela relação (3), o z das coordenadas cartesianas é o mesmo das coordenadas cilíndricas, então não vamos mexer nele.

    Mas vamos precisar trocar o x 2     e o y 2 .

    Elevando as expressões (1) e (2) ao quadrado:

    x 2 = r 2 cos 2 ⁡ θ

    y 2 = r 2 s e n 2 θ  

    Substituindo na expressão dada:

    r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ + z 2 = 9 z

    r 2 cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ + z 2 = 9 z

    Opa, mas sabemos que:

    cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 1

    Então temos:

    r 2 + z 2 = 9 z

    r 2 + z - 9 2 2 = 81 4

    Essa foi rápida!! Uhuull!!

    Vamos para a próxima!!

    Passo 3

  3. x 2 + y 2 = 9

Substituindo a relação ( 4 ) , temos:

r 2 = 9

De curiosidade, essa é a expressão de um círculo de centro na origem e raio 3 .

Resposta

a )   r 2 + z - 9 2 2 = 81 4

b )   r 2 = 9

Exercício Resolvido #2

Unicamp, Lista 3 – Geometria Analítica (MA141), 2014, pág 1, ex. 11

Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação em coordenadas cilíndricas é dada:

  1. r = 3 cos ⁡ θ
  2. z 2 sin ⁡ θ = r 3
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Passo 1

Agora, temos as expressões em coordenadas cilíndricas e queremos achar as expressões em coordenadas cartesianas.

Passo 2

  1. Temos a expressão r = 3 cos ⁡ θ e queremos obtê-la em coordenadas cartesianas. Para isso, vamos usar as seguintes relações:
  2. r = x 2 +   y 2   ( 1 )

    x = r cos ⁡ θ → cos ⁡ θ = x r → cos ⁡ θ = x x 2 +   y 2     ( 2 )

    z = z       ( 3 )

    Substituindo as relações ( 1 ) ,   ( 2 ) e ( 3 ) na expressão do enunciado, temos:

    r = 3 cos ⁡ θ →   x 2 +   y 2 = 3 cos ⁡ θ   ( 4 )

    Assim, substituindo a relação ( 5 ) em ( 4 ) , temos:

    x 2 +   y 2 = 3 x x 2 +   y 2

    Rearanjando a expressão:

    x 2 +   y 2 = 3 x

    x - 3 2 2 + y 2 = 9 4

    Chegamos na expressão que queríamos. O enunciado não nos pediu para identificar a cônica, mas por motivo de curiosidade essa é a expressão de uma cíircunferência de centro C 3 2 ,   0 e raio r = 3 2 .

    Passo 3

  3. z 2 sin ⁡ θ = r 3

Fazendo o mesmo passo a passo do item anterior e utilizando as relações 1 ,   ( 2 ) e ( 3 ) e além dessas:

sin ⁡ θ = y x 2 +   y 2

Vamos substituir as relações na equação que nos foi dada:

z 2 sin ⁡ θ = r 3

z 2 y x 2 +   y 2 = ( x 2 +   y 2 ) x 2 +   y 2

Rearranjando a expressão, temos:

z 2 y = ( x 2 +   y 2 ) 2

Prontinho!! Chegamos na expressão que queríamos!!

Resposta

a )   x - 3 2 2 + y 2 = 9 4

b )   z 2 y = ( x 2 +   y 2 ) 2

Exercício Resolvido #3

Lista Unicamp – Geometria Analítica (MA141)pág 1, ex. 495

Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas para a superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por:

x 2 + y 2 + 4 z 2 = 16

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Passo 1

Vamos relembrar as relações entre coordenadas cilíndricas e cartesianas!

x = r c o s θ

y = r s i n θ

z = z

Belezinha, agora vamos substituir na equação do enunciado!

r c o s θ 2 + r s i n θ 2 + 4 z 2 = 16

r 2 ( cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ ) + 4 z 2 = 16

r 2 + 4 z 2 = 16

Prontinho!!

Resposta

r 2 + 4 z 2 = 16

Exercício Resolvido #4

Lista Unicamp – Geometria Analítica (MA141) pág 1, ex. 498

Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas para a superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por:

x 2 + y 2 = 9

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Passo 1

Vamos relembrar as relações entre coordenadas cilíndricas e cartesianas mais uma vez!

x = r c o s θ

y = r s i n θ

z = z

Show de bolinhas, agora vamos substituir na equação do enunciado!

r c o s θ 2 + r s i n θ 2 = 9

r 2 ( cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ ) = 9

Lembrando que cos 2 ⁡ θ + s i n 2 θ = 1

r 2 = 9

Eitcha! Isso aí faz total sentido, já que sabemos que x 2 + y 2 = 9 é a equação de um círculo centrado na origem, cujo r a i o = 3 . Muito maneirinho, né não?!

Resposta

r 2 = 9

Exercício Resolvido #5

Lista Unicamp – Geometria Analítica (MA141) pág 1, ex. 496

Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas para a superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por:

x 2 - y 2 = 3 z 2

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Passo 1

Vamos relembrar as relações entre coordenadas cilíndricas e cartesianas mais uma vez!

x = r c o s θ

y = r s i n θ

z = z

Show de bolinhas, agora vamos substituir na equação do enunciado!

r c o s θ 2 - r s i n θ 2 = 3 z 2