Teoria Completa
Até agora vimos as coordenadas polares que é uma representação bidimensional. E, se eu quiser tridimensional? Aí, veremos as coordenadas cilíndricas e depois as coordenadas esféricas!! Mas primeiro, vamos aprender as cilíndricas 😊
Coordenadas Cilíndricas
As coordenadas cilíndricas você vai tirar de letra!!
As coordenadas cilíndricas são as coordenadas polares, mas tridimensionais!! Mas, como?
HAHAHA! Ok, parei (hihi)
Continuaremos tendo as coordenadas e , mas agora, além dessas teremos a coordenada . Quem é ? Essa coordenada é uma velha conhecida nossa! Hehe... a coordenada é a mesma do sistema cartesiano. Então, se pegarmos um ponto qualquer teremos a seguinte representação:
Em coordenadas cilíndricas teremos o ponto representado por .
Podemos também ter as relações com as coordenadas cartesianas, que são dadas pela seguinte figura:
Pela figura temos as seguintes relações:
Então se temos um ponto com coordenadas cilíndricas conseguimos encontrar o mesmo ponto em coordenadas cartesianas . O contrário também é possível , para isso usamos as seguintes relações que derivam das anteriores:
Pronto!! Já conhecemos mais um sistema de coordenadas!!
Para ficar tudo “tinindo” e você entender bem, partiu exercícios!!
Exercício Resolvido #1
Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas da superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada:
Passo 1
Vamos colocar em prática o que aprendemos sobre coordenadas cilíndricas na teoria!! Como queremos encontrar as equações em coordenadas cilíndricas vamos utilizar as seguintes relações:
Bora, achar as equações!!
Passo 2
Pela relação (3), o z das coordenadas cartesianas é o mesmo das coordenadas cilíndricas, então não vamos mexer nele.
Mas vamos precisar trocar o e o
Elevando as expressões (1) e (2) ao quadrado:
Substituindo na expressão dada:
Opa, mas sabemos que:
Então temos:
Essa foi rápida!! Uhuull!!
Vamos para a próxima!!
Passo 3
Substituindo a relação , temos:
De curiosidade, essa é a expressão de um círculo de centro na origem e raio .
Resposta
Exercício Resolvido #2
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação em coordenadas cilíndricas é dada:
Passo 1
Agora, temos as expressões em coordenadas cilíndricas e queremos achar as expressões em coordenadas cartesianas.
Passo 2
- Temos a expressão e queremos obtê-la em coordenadas cartesianas. Para isso, vamos usar as seguintes relações:
Substituindo as relações e na expressão do enunciado, temos:
Assim, substituindo a relação em , temos:
Rearanjando a expressão:
Chegamos na expressão que queríamos. O enunciado não nos pediu para identificar a cônica, mas por motivo de curiosidade essa é a expressão de uma cíircunferência de centro e raio .
Passo 3
Fazendo o mesmo passo a passo do item anterior e utilizando as relações e e além dessas:
Vamos substituir as relações na equação que nos foi dada:
Rearranjando a expressão, temos:
Prontinho!! Chegamos na expressão que queríamos!!
Resposta
Exercício Resolvido #3
Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas para a superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por:
Passo 1
Vamos relembrar as relações entre coordenadas cilíndricas e cartesianas!
Belezinha, agora vamos substituir na equação do enunciado!
Prontinho!!
Resposta
Exercício Resolvido #4
Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas para a superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por:
Passo 1
Vamos relembrar as relações entre coordenadas cilíndricas e cartesianas mais uma vez!
Show de bolinhas, agora vamos substituir na equação do enunciado!
Lembrando que
Eitcha! Isso aí faz total sentido, já que sabemos que é a equação de um círculo centrado na origem, cujo . Muito maneirinho, né não?!
Resposta
Exercício Resolvido #5
Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas para a superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por:
Passo 1
Vamos relembrar as relações entre coordenadas cilíndricas e cartesianas mais uma vez!
Show de bolinhas, agora vamos substituir na equação do enunciado!
Lembrando que
Prontinho!!