Teoria Completa
Para finalizar sistemas de coordenadas, vamos ver as coordenadas esféricas!!
Introdução
Ok, vem comigo… Coordenadas Esféricas é um jeito muito mais eficiente de estudar o que acontece na superfície esférica. Imagina que Pedrinho está nesse ponto do planeta:
Se quisermos saber exatamente em que ponto do globo Pedrinho está precisamos primeiro de uma referência que no nosso caso vai ser o plano .
Há várias maneiras de estabelecer um sistema para localizar pontos em uma esfera, mas a que é a mais adotada é através das coordenadas esféricas. Vamos descobrir como isso funciona?!
Coordenadas Esféricas
Beleza, imagine que a esfera do nosso amigo Pedrinho dentro de um eixo :
Vamos simplificar o desenho para entender melhor. Imagine que a posição de Pedrinho seja o ponto P:
Para conseguir a posição de Pedrinho precisamos da ajuda de 3 elementos:
- A distância do ponto que queremos até a origem (que vamos chamar de )
- O ângulo entre os eixos e (que chamaremos de )
- O ângulo entre o vetor e o eixo (que chamaremos de)
Esses três elementos vão nos ajudar a visualizar a posição do ponto em que Pedrinho se encontra:
As coordenadas esféricas possuem três coordenadas .
A coordenada é a distância do ponto até a origem, então .
A coordenada é nossa conhecida, pois é o mesmo das coordenadas polares.
E por fim, o ângulo é o ângulo entre o vetor e o eixo , sendo que .
Ok, temos tudo que precisamos! Agora vamos calcular o valor dessas coordenadas?!
Vamos chamar cada coordenada de e :
Reparem que nossa figura mostra um ângulo de 90°, que vamos usar para conseguir as medidas das coordenadas esféricas! Das relações do triângulo retângulo temos que:
Assim, na nossa visualização ficaria com essa carinha:
Pronto! Agora se quisermos saber em que ponto Pedrinho estará já sabemos como descobrir, beleza?! ;)
Coordenadas Esféricas para Coordenadas Cartesianas
Como estamos mais acostumados a lidar com coordenadas cartesianas, nada mais justo que transformar essas coordenadas esféricas em coordenadas cartesianas, concorda? Para isso, vamos estudar mais essa imagem:
- Vamos pensar primeiro no . Observando a imagem anterior podemos dizer que a distância entre o ponto é equivalente ao raio da esfera, então com isso podemos escrever em função de e :
- Para escrever o valor de em função de e podemos calcular a tangente de . Observando as imagens, chegamos na conclusão que:
- Para o ângulo vamos calcular o seno e cosseno, pois se quiséssemos calcular a tangente, teríamos que usar medias que não possuímos. Observando a imagem chegamos na conclusão que:
Beleza?! Logo,
Ufa!! A teoria acabou!! Bora praticar para ficarmos experts em coordenadas!!
Agora vamos cair pra dentro dos exercícios?
E para fechar:
Banana não, haha! Um resumo show de bolinhas:
Exercício Resolvido #1
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação em coordenadas esféricas é dada:
Passo 1
Nesse exercício nós temos as expressões em coordenadas esféricas e queremos passar para coordenadas cartesianas. Sempre, fique atento em qual coordenada a equação está e para qual devemos passar para não confundir e fazer errado! Blz?
Então, bora passar para as coordenadas cartesianas!!
Passo 2
- Temos a seguinte expressão Como queremos passar para as coordenadas cartesianas usaremos as seguintes relações:
Substituindo as relações e na expressão , teremos:
Elevando os dois lados ao quadrado e rearrumando, teremos:
Passo 3
Utilizando as mesmas relações e , temos:
Aqui a vontade de cortar a raíz dessa coisa monstruosa é grande, mas cuidado!
Não podemos fazer isso, porque não necessariamente o número dentro dessa raíz é diferente de zero, beleza??
Então passando o z pro outro lado multiplicando:
Agora passando tudo pro lado esquerdo:
Colocando a raíz em evidência, vamos ter:
Elevando os dois lados ao quadrado:
Chegamos em mais uma expressão!!
Resposta
Exercício Resolvido #2
Encontre uma equação em coordenadas esféricas para:
Passo 1
Temos as expressões em coordenadas cartesianas (nossa velha conhecida haha) e queremos passar as expressões para a nossa mais nova conhecida, coordenadas esféricas!! Hehe
Para isso, vamos utilizar as seguintes relações:
Passo 2
Urilizando as relações e temos:
Rearranjando:
Chegamos na nossa expressão!!
Passo 3
O mesmo passo a passo do item anterior, substituindo, teremos:
Rearranjando a expressão:
Acabouuu!! Você tirou de letra!! ;)
Resposta
Exercício Resolvido #3
Identificar a superfície cuja equação em coordenadas esféricas é .
Passo 1
Esse exercício é um pouco diferente dos outros que já fizemos!! Antes, tínhamos uma expressão e queríamos passar a expressão para outro sistema de coordenadas. Agora, temos uma expressão em coordenadas esféricas e queremos identificar a superfície. Mas, para isso, vamos passar a expressão para as coordenadas cartesianas para ficar mais fácil identificar a superfície. Bora identificar a superfície?
Passo 2
Primeiro, vamos passar a expressão que está em coordenadas esféricas para as coordenadas cartesianas. Para isso, vamos utilizar as seguintes relações:
Substituindo:
Essa superfície é uma esfera de centro e raio .
Pronto!! Viu como ficou mais fácil identificar a superfície passando para as coordenadas cartesianas!! ;)
Resposta
Exercício Resolvido #4
As coordenadas esféricas estão relacionadas com as coordenadas em longitude e latitude usadas na navegação. Para ver como, vamos definir um sistema de coordenadas retangulares (ou cartesianas) com sua origem no centro da Terra, o seu eixo zz positivo passando pelo Pólo Norte e o seu eixo xx positivo passando pelo meridiano principal. Supondo a Terra uma esfera de raio , então cada ponto sobre a Terra tem coordenadas esféricas da forma , onde e determinam a latitude e a longitude do ponto. É comum especificar longitudes em graus leste ou oeste do meridiano principal e latitudes em graus norte ou sul do Equador. A cidade de New Orleans, nos EUA, está localizada a de longitude oeste e de latitude norte. Determine as coordenadas retangulares associadas a esta localização (suponha que a distância esteja em milhas).
Passo 1
Parece complicado, mas é de boinhas! Vamos por partes.
Vamos relembrar nossas relações entre as coordenadas esféricas e cartesianas!
Belezoca! Agora, pensa comigo.
Uma longitude de oeste corresponde a
, ou seja,
Enquanto de latitude norte corresponde a
Só para você entender de onde eu tirei isso a latitude é a coordenada geográfica definida na esfera, então o seu ângulo corresponde a . Além disso, ela varia de em um polo até na linha do equador. Já a longitude mostra a localização de um lugar na terra, indo de leste a oeste, ou seja, circundando a Terra. Logo, ela corresponde ao .
Assim, as coordenadas esféricas de New Orleans são
Para determinarmos as coordenadas retangulares (cartesianas) , aplicamos as fórmulas de conversão. Assim, obteremos