Coordenadas Esféricas

Teoria Completa

Para finalizar sistemas de coordenadas, vamos ver as coordenadas esféricas!!

Introdução

Ok, vem comigo… Coordenadas Esféricas é um jeito muito mais eficiente de estudar o que acontece na superfície esférica. Imagina que Pedrinho está nesse ponto do planeta:

Se quisermos saber exatamente em que ponto do globo Pedrinho está precisamos primeiro de uma referência que no nosso caso vai ser o plano x , y   e   z .

Há várias maneiras de estabelecer um sistema para localizar pontos em uma esfera, mas a que é a mais adotada é através das coordenadas esféricas. Vamos descobrir como isso funciona?!

Coordenadas Esféricas

Beleza, imagine que a esfera do nosso amigo Pedrinho dentro de um eixo x y z :

Vamos simplificar o desenho para entender melhor. Imagine que a posição de Pedrinho seja o ponto P:

Para conseguir a posição de Pedrinho precisamos da ajuda de 3 elementos:

  • A distância do ponto que queremos até a origem (que vamos chamar de ρ )
  • O ângulo entre os eixos x e y (que chamaremos de θ )
  • O ângulo entre o vetor O P → e o eixo (que chamaremos de ϕ )

Esses três elementos vão nos ajudar a visualizar a posição do ponto em que Pedrinho se encontra:

As coordenadas esféricas possuem três coordenadas ( ρ ,   θ ,   ϕ ) .

A coordenada ρ é a distância do ponto P até a origem, então ρ ≥ 0 .

A coordenada θ é nossa conhecida, pois é o mesmo θ das coordenadas polares.

E por fim, o ângulo ϕ é o ângulo entre o vetor O P → e o eixo z , sendo que 0 ≤ ϕ ≤   π .

Ok, temos tudo que precisamos! Agora vamos calcular o valor dessas coordenadas?!

Vamos chamar cada coordenada de x , y   e z :

Reparem que nossa figura mostra um ângulo de 90°, que vamos usar para conseguir as medidas das coordenadas esféricas! Das relações do triângulo retângulo temos que:

Assim, na nossa visualização ficaria com essa carinha:

Pronto! Agora se quisermos saber em que ponto Pedrinho estará já sabemos como descobrir, beleza?! ;)

Coordenadas Esféricas para Coordenadas Cartesianas

Como estamos mais acostumados a lidar com coordenadas cartesianas, nada mais justo que transformar essas coordenadas esféricas em coordenadas cartesianas, concorda? Para isso, vamos estudar mais essa imagem:

  1. Vamos pensar primeiro no ρ . Observando a imagem anterior podemos dizer que a distância entre o ponto P   é equivalente ao raio da esfera, então com isso podemos escrever ρ em função de x , y e z :
  2. x 2 + y 2 + z 2 = r 2 x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

  3. Para escrever o valor de θ em função de x , y e z podemos calcular a tangente de θ . Observando as imagens, chegamos na conclusão que:
  4. t a n   θ = y x

  5. Para o ângulo ϕ   vamos calcular o seno e cosseno, pois se quiséssemos calcular a tangente, teríamos que usar medias que não possuímos. Observando a imagem chegamos na conclusão que:

c o s   ϕ = z x 2 + y 2 + z 2

s e n   ϕ   = r ρ           ⇒           s e n   ϕ = x 2 + y 2 x 2 + y 2 + z 2

Beleza?! Logo,

Ufa!! A teoria acabou!! Bora praticar para ficarmos experts em coordenadas!!

Agora vamos cair pra dentro dos exercícios?

E para fechar:

Banana não, haha! Um resumo show de bolinhas:

Expandir

Exercício Resolvido #1

Unicamp, Lista 3 – Geometria Analítica (MA141), 2014, pág 1, ex. 12

Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação em coordenadas esféricas é dada:

  1. ρ = 3 tan  ⁡ θ
  2. ρ = 9 sec ⁡ ϕ
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nesse exercício nós temos as expressões em coordenadas esféricas e queremos passar para coordenadas cartesianas. Sempre, fique atento em qual coordenada a equação está e para qual devemos passar para não confundir e fazer errado! Blz?

Então, bora passar para as coordenadas cartesianas!!

Passo 2

  1. Temos a seguinte expressão ρ = 3 tan  ⁡ θ Como queremos passar para as coordenadas cartesianas usaremos as seguintes relações:
  2. ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2 →   ρ = x 2 + y 2 + z 2       ( 1 )

    tan ⁡ θ = y x     ( 2 )

    cos ⁡ ϕ = z x 2 + y 2 + z 2   ( 3 )

    Substituindo as relações 1 ,   ( 2 ) e ( 3 ) na expressão ρ = 3 tan  ⁡ θ , teremos:

    ρ = 3 tan  ⁡ θ

    x 2 + y 2 + z 2 = 3 y x

    Elevando os dois lados ao quadrado e rearrumando, teremos:

    x 2 x 2 + y 2 + z 2 - 9 y 2 = 0

    Passo 3

  3. ρ = 9 sec ⁡ ϕ

Utilizando as mesmas relações 1 ,   ( 2 ) e ( 3 ) , temos:

ρ = 9 sec ⁡ ϕ = 9 cos ⁡ ϕ

x 2 + y 2 + z 2 = 9 x 2 + y 2 + z 2 z

Aqui a vontade de cortar a raíz dessa coisa monstruosa é grande, mas cuidado!

Não podemos fazer isso, porque não necessariamente o número dentro dessa raíz é diferente de zero, beleza??

Então passando o z pro outro lado multiplicando:

z x 2 + y 2 + z 2 = 9 x 2 + y 2 + z 2

Agora passando tudo pro lado esquerdo:

z x 2 + y 2 + z 2 - 9 x 2 + y 2 + z 2 = 0

Colocando a raíz em evidência, vamos ter:

z - 9 x 2 + y 2 + z 2 = 0

Elevando os dois lados ao quadrado:

z - 9 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 0

Chegamos em mais uma expressão!!

Resposta

a )   x 2 x 2 + y 2 + z 2 - 9 y 2 = 0

b )   z - 9 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 0

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Encontre uma equação em coordenadas esféricas para:

  1. x 2 + y 2 = z
  2. 3 x + 2 y + 6 z = 0
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Passo 1

Temos as expressões em coordenadas cartesianas (nossa velha conhecida haha) e queremos passar as expressões para a nossa mais nova conhecida, coordenadas esféricas!! Hehe

Para isso, vamos utilizar as seguintes relações:

z = ρ . cos ⁡ ϕ     ( 1 )

x = ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ       ( 2 )

y = ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ       ( 3 )

Passo 2

  1. x 2 + y 2 = z
  2. Urilizando as relações 1 ,   ( 2 ) e ( 3 ) temos:

    x 2 + y 2 = z → ( ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ ) 2 + ( ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ ) 2 = ρ . cos ⁡ ϕ

    Rearranjando:

    ρ sin ⁡ ϕ 2 ( cos ⁡ θ ) 2 + ( sin ⁡ ⁡ θ ) 2 = ρ . cos ⁡ ϕ

    ρ sin ⁡ ϕ 2 =   ρ . cos ⁡ ϕ

    ρ ( ρ sin 2 ⁡ ϕ - cos ⁡ ϕ ) = 0

    Chegamos na nossa expressão!!

    ρ ( ρ sin 2 ⁡ ϕ - cos ⁡ ϕ ) = 0

    Passo 3

  3. 3 x + 2 y + 6 z = 0

O mesmo passo a passo do item anterior, substituindo, teremos:

3 x + 2 y + 6 z = 0 → 3 ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ + 2 ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ + 6 ρ . cos ⁡ ϕ = 0

Rearranjando a expressão:

ρ sin ⁡ ϕ ( 3 cos ⁡ θ + 2 sin ⁡ θ ) + 6 ρ . cos ⁡ ϕ = 0

Acabouuu!! Você tirou de letra!! ;)

Resposta

a )   ρ ( ρ sin 2 ⁡ ϕ - cos ⁡ ϕ ) = 0

b )   ρ sin ⁡ ϕ ( 3 cos ⁡ θ + 2 sin ⁡ θ ) + 6 ρ . cos ⁡ ϕ = 0

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Identificar a superfície cuja equação em coordenadas esféricas é ρ = 2 a cos ⁡ ϕ   ( a > 0   c t e ) .

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Passo 1

Esse exercício é um pouco diferente dos outros que já fizemos!! Antes, tínhamos uma expressão e queríamos passar a expressão para outro sistema de coordenadas. Agora, temos uma expressão em coordenadas esféricas e queremos identificar a superfície. Mas, para isso, vamos passar a expressão para as coordenadas cartesianas para ficar mais fácil identificar a superfície. Bora identificar a superfície?

Passo 2

Primeiro, vamos passar a expressão ρ = 2 a cos ⁡ ϕ que está em coordenadas esféricas para as coordenadas cartesianas. Para isso, vamos utilizar as seguintes relações:

ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2 →   ρ = x 2 + y 2 + z 2

cos ⁡ ϕ = z x 2 + y 2 + z 2  

Substituindo:

ρ = 2 a cos ⁡ ϕ →   x 2 + y 2 + z 2 = 2 a z x 2 + y 2 + z 2  

x 2 + y 2 + z 2 = 2 a z

x 2 + y 2 + ( z - a ) 2 = a 2

Essa superfície é uma esfera de centro ( 0 ,   0 ,   a ) e raio a .

Pronto!! Viu como ficou mais fácil identificar a superfície passando para as coordenadas cartesianas!! ;)

Resposta

E s f e r a   d e   c e n t r o   0 ,   0 ,   a e   r a i o   a

Exercício Resolvido #4

Lista Unicamp – Geometria Analítica (MA141), pág 1, ex. 1640 - Adaptado

As coordenadas esféricas estão relacionadas com as coordenadas em longitude e latitude usadas na navegação. Para ver como, vamos definir um sistema de coordenadas retangulares (ou cartesianas) com sua origem no centro da Terra, o seu eixo zz  positivo passando pelo Pólo Norte e o seu eixo xx positivo passando pelo meridiano principal. Supondo a Terra uma esfera de raio  ρ = 4000 ρ = 4000   m i l h a s , então cada ponto sobre a Terra tem coordenadas esféricas da forma ( 4000 ,   θ ,   ϕ ) ( 4000 ,   θ ,   ϕ ) , onde ϕ ϕ  e  θ θ determinam a latitude e a longitude do ponto. É comum especificar longitudes em graus leste ou oeste do meridiano principal e latitudes em graus norte ou sul do Equador. A cidade de New Orleans, nos EUA, está localizada a  90 ° 90 °  de longitude oeste e  30 ° 30 °  de latitude norte. Determine as coordenadas retangulares associadas a esta localização (suponha que a distância esteja em milhas).

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Passo 1

Parece complicado, mas é de boinhas! Vamos por partes.

Vamos relembrar nossas relações entre as coordenadas esféricas e cartesianas!

x = ρ s i n ϕ c o s θ

y = ρ s i n ϕ s i n θ

z = ρ c o s ϕ

Belezoca! Agora, pensa comigo.

Uma longitude de  90 ° 90 °  oeste corresponde a 

360 ° - 90 ° = 270 ° , ou seja, θ = 270 ° = 3 π 2 r a d

Enquanto  30 ° 30 °  de latitude norte corresponde a 

ϕ = 90 ° - 30 ° = 60 ° = π 3 r a d .

Só para você entender de onde eu tirei isso a latitude é a coordenada geográfica definida na esfera, então o seu ângulo corresponde a ϕ . Além disso, ela varia de 90 ° em um polo até 0 ° na linha do equador. Já a longitude mostra a localização de um lugar na terra, indo de leste a oeste, ou seja, circundando a Terra. Logo, ela corresponde ao θ .

Assim, as coordenadas esféricas  ( ρ ,   θ ,   ϕ ) ( ρ ,   θ ,   ϕ ) de New Orleans são 

( 4000 , 3 π 2 , π 3 ) ( 4000 , 3 π 2 , π 3 )

Para determinarmos as coordenadas retangulares (cartesianas) , aplicamos as fórmulas de conversão. Assim, obteremos

x = 4000 sin ⁡ π 3 cos ⁡ 3 π 2

x = 4000 . 3 2 . 0 = 0   m i l h a s

y = 4000 sin ⁡ π 3 sin ⁡ 3 π 2

y = 4000 . 3 2 . - 1 = 2000 3   m i l h a s  

z = 4000 cos ⁡ π 3

z = 4000 2 = 2000   m i l h a s

Resposta

x = 0   m i l h a s

y = 2000 3   m i l h a s

z = 2000   m i l h a s

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