Teoria Completa
Só falta essa!! Vamos lá, galera!
Hipérbole
A hipérbole parece duas parábolas simétricas, como mostra a figura a seguir:
A definição da hipérbole talvez seja a mais cheia de “mimimi”!! Mas, vamos te explicar direitinho!!
Se considerarmos no plano dois pontos distintos e tal que a distância , . Seja um número real tal que .
Então, hipérbole é o nome do conjunto de pontos do plano tal que:
Agora que conhecemos a definição, vamos ver os principais elementos da hipérbole!!
- Focos: pontos e
- Distância Focal: é a distância entre os focos
- Centro: Ponto , ponto médio do segmento
- Vértices: pontos e
- Eixo real ou transverso: é o segmento de comprimento
- Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento de comprimento
- Caso 1: O eixo real está sobre o eixo dos
- Caso 2: O eixo real está sobre o eixo dos
- Caso 3: Translação
O valor de pode ser obtido por meio da seguinte relação:
CUIDADO para não confundir essa relação com a da elipse!!
A excentricidade da hipérbole é calculada da mesma forma que a da elipse, , porém agora na hipérbole , pois .
O último elemento importante são as assíntotas, que na figura acima são as retas tracejadas.
Vamos colocar tudo o que vimos de forma prática, dividindo em 3 casos:
Caso 1:
Considerando um ponto um ponto qualquer de uma hipérbole de focos e .
Usando a definição:
Fazendo as contas, chega-se em:
Essa é a equação reduzida ou canônica da hipérbole de centro na origem e eixo real sobre o eixo . Para esse caso nossos elementos são:
Assíntotas:
Caso 2:
Fazendo o mesmo procedimento do anterior, mas agora considerando a figura a seguir, temos:
A expressão fica:
Essa é a equação reduzida ou canônica da hipérbole de centro na origem e eixo real sobre o eixo .
Para esse caso nossos elementos são:
Assíntotas:
Caso 3:
No caso da translação temos duas possibilidades mostradas na figura a seguir:
Uma translação nada mais é que deslocarmos o centro da hipérbole, ou seja, nos casos 1 e 2 os centros eram , agora, os centros estão deslocados. Então, nossos centros serão:
Nossas equações ficarão:
Então, para resolver usaremos o mesmo esquema que para a parábola:
- Escrever em um sistema de coordenadas , que possui relações
- Achar todos os elementos no sistema considerando um dos casos 1 ou 2.
- Passar do sistema para o nosso tradicional
Note que:
- O valor de está sempre associado à parcela positiva, ou seja, ou
Pronto!! Agora sim, terminamos a teoria!!
Bora praticar, então?!!
Exercício Resolvido #1
Determine os vértices, os focos, a excentricidade e as assíntotas das hipérboles dadas a seguir. Faça um esboço.
Passo 1
Opa!! Vamos começar a fazer exercícios com hipérboles?!
Nosso exercício consiste em determinarmos os elementos: vértices, focos. Excentricidade e as assíntotas da hipérboles. Bora começar!!!
Passo 2
a)
Em todas a cônicas o primeiro passo é deixar em uma das formas reduzidas para conseguirmos retirar os elementos. Vamos fazer isso, então:
Dividindo tudo por
Chegamos na forma canônica do CASO 1.
Assim, conseguimos retirar os valores de e .
Para acharmos o valor de vamos utilizar a seguinte relação:
Como estamos no CASO 1, teremos a seguinte figura:
Assim, nosso focos e vértices serão:
As assíntotas serão:
E por fim, a excentricidade:
Substituindo os valores, teremos:
Fazendo um esboço, temos:
Passo 3
b)
Mesmo procedimento do item anterior:
Dividindo tudo por :
Estamos novamente no CASO 1. Então, teremos:
Então, nossos vértices, focos, assíntotas e excentricidade serão:
Subsituindo os valores:
Esboçando:
Passo 4
Passo 5
c)
Mesma coisa dos itens anteriores!! Então, dividindo tudo por , temos:
Agora, diferentemente dos outros dois itens estamos no CASO 2. Com a equação na forma reduzida conseguimos retirar os valores de e e ainda achar pela relação .
Como estamos no CASO 2 temos a seguinte figura:
Então, nossos focos, vértices, assíntotas e excentricidade serão:
Substituindo os valores, temos:
Esboçando:
Passo 6
d)
Estamos novamente no CASO 2.Vamos achar então todos os parâmetros como fizemos antes:
Retirando os valores das constantes:
Sabemos do item anterior que nossos parâmetros, são:
Esboçando,
Passo 7
Ufaaa!! Está quase terminando, força!! Só falta mais esse item ;)
e)
Voltamos para o CASO 1.
Dos dois primeiros itens e da teoria sabemos que:
Subsituindo os valores encontrados, temos:
As assíntotas serão:
E por fim, a excentricidade:
Para terminar, esboço:
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
Exercício Resolvido #2
Achar a equação da hipérbole centrada na origem com focos nos pontos e e que passa pelo ponto .
Passo 1
Bora praticar mais sobre as hipérboles!! Queremos achar agora a equação da hipérbole que está centrada na origem, ou seja, , possui seus focos em e e passa pelo ponto . Para comerçar vamos fazer um esboço com os dados que temos.
Passo 2
Esboçando teremos:
Então, sabemos que estamos no CASO 1. Pela figura, conseguimos descobrir o valor de e .
Com a relação :
Passo 3
Sabendo os valores de e e ainda sabemos da teoria que se estamos na CASO 1, a equação da hipérbole possui o seguinte jeitão:
Então, teremos:
Pronto!! Terminamos!!
Resposta
Exercício Resolvido #3
Determinar o centro, um esboço do gráfico, os vértices e os focos da hipérbole de equação:
Passo 1
Temos a expressão de um hipérbole e por meio dela devemos determinar: centro, vértices, focos e ainda fazer um esboço.
Vamos começar, então!!
Passo 2
Primeiro, devemos deixar a expressão parecida com uma das formas reduzidas que vimos na teoria!! Para isso, vamos completar quadrados e ajeitar a expressão:
Separando as coias que tem e
Podemos reescrever essa parte com da seguinte maneira