Teoria

Só falta essa!! Vamos lá, galera!

Hipérbole

A hipérbole parece duas parábolas simétricas, como mostra a figura a seguir:

A definição da hipérbole talvez seja a mais cheia de “mimimi”!! Mas, vamos te explicar direitinho!!

Se considerarmos no plano dois pontos distintos F 1 e F 2 tal que a distância d ( F 1 , F 2 ) = 2 c . Seja um número real a tal que 2 a < 2 c .

Então, hipérbole é o nome do conjunto de pontos P do plano tal que:

  | d ( P , F 1 ) - d ( P ,   F 2 ) | = 2 a

Agora que conhecemos a definição, vamos ver os principais elementos da hipérbole!!

  • Focos: pontos F 1 e F 2
  • Distância Focal: é a distância 2 c entre os focos
  • Centro: Ponto C , ponto médio do segmento F 1 F 2
  • Vértices: pontos A 1 e A 2
  • Eixo real ou transverso: é o segmento A 1 A 2 de comprimento   2 a
  • Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B 1 B 2 de comprimento 2 b
  • O valor de b pode ser obtido por meio da seguinte relação:

    c 2 = a 2 + b 2

    CUIDADO para não confundir essa relação com a da elipse!!

    A excentricidade da hipérbole é calculada da mesma forma que a da elipse, e = c a , porém agora na hipérbole e > 1 , pois c > a .

    O último elemento importante são as assíntotas, que na figura acima são as retas tracejadas.

    Vamos colocar tudo o que vimos de forma prática, dividindo em 3 casos:

  • Caso 1: O eixo real está sobre o eixo dos   x
  • Caso 2: O eixo real está sobre o eixo dos y
  • Caso 3: Translação

Caso 1:

Considerando um ponto P ( x ,   y ) um ponto qualquer de uma hipérbole de focos F 1 ( - c , 0 ) e F 2 ( c , 0 ) .

Usando a definição:

| d ( P ,   F 1 ) - d ( P ,   F 2 ) | = 2 a

Fazendo as contas, chega-se em:

Essa é a equação reduzida ou canônica da hipérbole de centro na origem e eixo real sobre o eixo x . Para esse caso nossos elementos são:

F 1 = - c ,   0 ,   F 2 = c ,   0 ,   A 1 = - a ,   0 ,   A 2 = a ,   0

Assíntotas:

y = ± b a x

Caso 2:

Fazendo o mesmo procedimento do anterior, mas agora considerando a figura a seguir, temos:

A expressão fica:

Essa é a equação reduzida ou canônica da hipérbole de centro na origem e eixo real sobre o eixo y .

Para esse caso nossos elementos são:

F 1 = 0 ,   - c ,   F 2 = 0 ,   c ,   A 1 = 0 ,   - a ,   A 2 = 0 ,   a

Assíntotas:

y = ± a b x

Caso 3:

No caso da translação temos duas possibilidades mostradas na figura a seguir:

Uma translação nada mais é que deslocarmos o centro da hipérbole, ou seja, nos casos 1 e 2 os centros eram ( 0 ,   0 ) , agora, os centros estão deslocados. Então, nossos centros serão:

C ( h ,   k )

Nossas equações ficarão:

( x - h ) 2 a 2 - ( y - k ) 2 b 2 = 1

o u

( y - k ) 2 a 2 - ( x - h ) 2 b 2 = 1

Então, para resolver usaremos o mesmo esquema que para a parábola:

  1. Escrever em um sistema de coordenadas x ' y ' , que possui relações
  2. x ' = x - h

    y ' = y - k

  3. Achar todos os elementos no sistema x ' y ' considerando um dos casos 1 ou 2.
  4. Passar do sistema x ' y ' para o nosso tradicional x y

Note que:

  • O valor de a 2 está sempre associado à parcela positiva, ou seja, + x 2 a 2 ou + y 2 a 2

Pronto!! Agora sim, terminamos a teoria!!

Bora praticar, então?!!

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine os vértices, os focos, a excentricidade e = c a e as assíntotas das hipérboles dadas a seguir. Faça um esboço.

  1. 25 x 2 - 144 y 2 = 3600
  2. 16 x 2 - 25 y 2 = 400
  3. y 2 - x 2 = 16
  4. 9 y 2 - 4 x 2 = 36
  5. 3 x 2 - y 2 = 3

Passo 1

Opa!! Vamos começar a fazer exercícios com hipérboles?!

Nosso exercício consiste em determinarmos os elementos: vértices, focos. Excentricidade e as assíntotas da hipérboles. Bora começar!!!

Passo 2

a) 25 x 2 - 144 y 2 = 3600

Em todas a cônicas o primeiro passo é deixar em uma das formas reduzidas para conseguirmos retirar os elementos. Vamos fazer isso, então:

25 x 2 - 144 y 2 = 3600

Dividindo tudo por 3600

x 2 144 - y 2 25 = 1

Chegamos na forma canônica do CASO 1.

Assim, conseguimos retirar os valores de a e b .

a 2 = 144 → a = 12

b 2 = 25 → b = 5

Para acharmos o valor de c vamos utilizar a seguinte relação:

c 2 = a 2 + b 2

c = 144 + 25 = 169 → c = 13

Como estamos no CASO 1, teremos a seguinte figura:

Assim, nosso focos e vértices serão:

F 1 = - c ,   0 ,   F 2 = c ,   0 ,   A 1 = - a ,   0 ,   A 2 = a ,   0

As assíntotas serão:

y = ± b a x

E por fim, a excentricidade:

e = c a

Substituindo os valores, teremos:

F 1 = - 13 ,   0 ,   F 2 = 13 ,   0 ,   A 1 = - 12 ,   0 ,   A 2 = 12 ,   0

y = ± 5 12 x

e = 13 12

Fazendo um esboço, temos:

Passo 3

b) 16 x 2 - 25 y 2 = 400

Mesmo procedimento do item anterior:

16 x 2 - 25 y 2 = 400

Dividindo tudo por 400 :

x 2 25 - y 2 16 = 1

Estamos novamente no CASO 1. Então, teremos:

a = 5

b = 4

c 2 = a 2 + b 2

c = 41

Então, nossos vértices, focos, assíntotas e excentricidade serão:

F 1 = - c ,   0 ,   F 2 = c ,   0 ,   A 1 = - a ,   0 ,   A 2 = a ,   0

y = ± b a x

e = c a

Subsituindo os valores:

F 1 = - 41 ,   0 ,   F 2 = 41 ,   0 ,   A 1 = - 5 ,   0 ,   A 2 = 5 ,   0

y = ± 4 5 x

e = 41 5

Esboçando:

Passo 4

c) y 2 - x 2 = 16

Mesma coisa dos itens anteriores!! Então, dividindo tudo por 16 , temos:

y 2 16 - x 2 16 = 1

Agora, diferentemente dos outros dois itens estamos no CASO 2. Com a equação na forma reduzida conseguimos retirar os valores de a e b e ainda achar c pela relação c 2 = a 2 + b 2 .

a = 4 = b

c = 32 = 4 2

Como estamos no CASO 2 temos a seguinte figura:

Então, nossos focos, vértices, assíntotas e excentricidade serão:

F 1 = 0 ,   - c ,   F 2 = 0 ,   c ,   A 1 = 0 ,   - a ,   A 2 = 0 ,   a

y = ± a b x

e = c a

Substituindo os valores, temos:

F 1 = 0 ,   - 4 2 ,   F 2 = 0 ,   4 2 ,   A 1 = 0 ,   - 4 ,   A 2 = 0 ,   4

y = ± x

e = 2

Esboçando:

Passo 5

d) 9 y 2 - 4 x 2 = 36

Estamos novamente no CASO 2.Vamos achar então todos os parâmetros como fizemos antes:

y 2 4 - x 2 9 = 1

Retirando os valores das constantes:

a = 2

b = 3

c 2 = a 2 + b 2

c = 13

Sabemos do item anterior que nossos parâmetros, são:

F 1 = 0 ,   - 13 ,   F 2 = 0 ,   13 ,   A 1 = 0 ,   - 2 ,   A 2 = 0 ,   2

y = ± 2 3 x

e = 13 2

Esboçando,

Passo 6

Ufaaa!! Está quase terminando, força!! Só falta mais esse item ;)

e) 3 x 2 - y 2 = 3

Voltamos para o CASO 1.

x 2 1 - y 2 3 = 1

a = 1

b = 3

c = 2

Dos dois primeiros itens e da teoria sabemos que:

F 1 = - c ,   0 ,   F 2 = c ,   0 ,   A 1 = - a ,   0 ,   A 2 = a ,   0

y = ± b a x

e = c a

Subsituindo os valores encontrados, temos:

F 1 = - 2 ,   0 ,   F 2 = 2 ,   0 ,   A 1 = - 1 ,   0 ,   A 2 = 1 ,   0

As assíntotas serão:

y = ± 3 x

E por fim, a excentricidade:

e = 2

Para terminar, esboço:

Resposta

a) F 1 = - 13 ,   0 ,   F 2 = 13 ,   0 ,   A 1 = - 12 ,   0 ,   A 2 = 12 ,   0

y = ± 5 12 x

e = 13 12

b) F 1 = - 41 ,   0 ,   F 2 = 41 ,   0 ,   A 1 = - 5 ,   0 ,   A 2 = 5 ,   0

y = ± 4 5 x

e = 41 5

c) F 1 = 0 ,   - 4 2 ,   F 2 = 0 ,   4 2 ,   A 1 = 0 ,   - 4 ,   A 2 = 0 ,   4

y = ± x

e = 2

d) F 1 = 0 ,   - 13 ,   F 2 = 0 ,   13 ,   A 1 = 0 ,   - 2 ,   A 2 = 0 ,   2

y = ± 2 3 x

e = 13 2

e) F 1 = - 2 ,   0 ,   F 2 = 2 ,   0 ,   A 1 = - 1 ,   0 ,   A 2 = 1 ,   0

y = ± 3 x

e = 2

Exercício Resolvido #2

Achar a equação da hipérbole centrada na origem com focos nos pontos ( 7 ,   0 ) e ( - 7 ,   0 ) e que passa pelo ponto ( 4 ,   0 ) .

Passo 1

Bora praticar mais sobre as hipérboles!! Queremos achar agora a equação da hipérbole que está centrada na origem, ou seja, C = ( 0 ,   0 ) , possui seus focos em ( 7 ,   0 ) e ( - 7 ,   0 ) e passa pelo ponto ( 4 ,   0 ) . Para comerçar vamos fazer um esboço com os dados que temos.

Passo 2

Esboçando teremos:

Então, sabemos que estamos no CASO 1. Pela figura, conseguimos descobrir o valor de a e c .

a = 4

c = 7

Com a relação c 2 = a 2 + b 2 :

b = 33

Passo 3

Sabendo os valores de a , b e c e ainda sabemos da teoria que se estamos na CASO 1, a equação da hipérbole possui o seguinte jeitão:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Então, teremos:

x 2 16 - y 2 33 = 1

Pronto!! Terminamos!!

Resposta

x 2 16 - y 2 33 = 1

Exercício Resolvido #3

Determinar o centro, um esboço do gráfico, os vértices e os focos da hipérbole de equação:

9 x 2 - 4 y 2 - 54 x + 8 y + 113 = 0

Passo 1

Temos a expressão de um hipérbole e por meio dela devemos determinar: centro, vértices, focos e ainda fazer um esboço.

Vamos começar, então!!

Passo 2

Primeiro, devemos deixar a expressão parecida com uma das formas reduzidas que vimos na teoria!! Para isso, vamos completar quadrados e ajeitar a expressão:

9 x 2 - 4 y 2 - 54 x + 8 y + 113 = 0

Separando as coias que tem x e y

9 x 2 - 6 x - 4 y 2 - 2 y + 113 = 0

Podemos reescrever essa parte com x da seguinte maneira

9 x 2 - 6 x = 9 x 2 - 6 x + 9 - 9 = 9 x 2 - 3 - 9 = 9 x 2 - 3 - 81

E vamos fazer a mesma coisa pra y

4 y 2 - 2 y = 4 y 2 - 2 y + 1 - 1 = 4 y - 1 2 - 1 = 4 y 2 - 1 - 4

Assim a nossa equação fica

9 x - 3 2 - 81 - 4 y - 1 2 + 4 + 113 = 0

9 x - 3 2 - 4 y - 1 2 = - 36

Dividindo tudo por - 36 , temos:

y - 1 2 9 - x - 3 2 4 = 1

Passo 3

Chegamos na forma do CASO 3. Com a expressão nesse formato conseguimos identificar o valor de a e b . O valor de a 2 continua a ser o maior valor do denominador, e o b 2 o menor, assim:

a 2 = 9 → a = 3

b 2 = 4 → b = 2

Para achar o valor de c , usamos a relação c 2 = a 2 + b 2 :

c = 13

Passo 4

Já temos os valores de a ,   b e c . Como estamos no CASO 3, vamos fazer uma mudança de coordenadas para então resolvermos o problema num sistema x ' y ' como se fosse o CASO 2. Assim, mudando as coordenadas por:

x ' = x - 3

y ' = y - 1

Nossa equação no sistema x ' y ' fica:

y ' 2 9 - x ' 2 4 = 1

Pronto, agora estamos no CASO 2, e achamos os parâmetros normalmente.

Nossa hipérbole estará como na figura acima no sistema x ' y ' , então teremos:

C = 0 ,   0

F 1 = 0 ,   c

F 2 = 0 ,   - c

A 1 = 0 ,   a

A 2 = 0 ,   - a

Substituindo os valores de a = 3 e c = 13

C = 0 ,   0

F 1 = 0 ,   13

F 2 = 0 ,   - 13

A 1 = 0 ,   3

A 2 = 0 ,   - 3

Passo 5

Mas, cuidado, ainda não terminamos, pois esses valores que encontramos acima estão no sistema x ' y ' . Vamos voltar para o sistema x y usando as seguintes relações:

x ' = x - 3

y ' = y - 1

C = 0 ,   0 n o   x ' y '

0 = x - 3 → x = 3

0 = y - 1 → y = 1

C = 3 ,   1   n o   x y

F 1 = 0 ,   13   n o   x ' y '

0 = x - 3 → x = 3

13 = y - 1 → y = 13 + 1

F 1 = 3 ,   1 + 13   n o   x y

F 2 = 0 ,   - 13   n o   x ' y '

0 = x - 3 → x = 3

- 13 = y - 1 → y = 1 - 13

F 2 = 3 ,   1 - 13   n o   x y

A 1 = 0 ,   3   n o   x ' y '

0 = x - 3 → x = 3

3 = y - 1 → y = 4

A 1 = 3 ,   4   n o   x y

A 2 = 0 ,   - 3   n o   x ' y '

0 = x - 3 → x = 3

- 3 = y - 1 → y = - 2

A 2 = 3 ,   - 2   n o   x y

Pronto!! Agora sim achamos os parâmetros no x y . Só falta fazer o esboço!!

Resposta

C = 3 ,   1 ,   F 1 = 3 ,   1 + 13 ,   F 2 = 3 ,   1 - 13 ,   A 1 = 3 ,   4 ,   A 2 = 3 ,   - 2  

Exercício Resolvido #4

Seja l o lugar geométrica dos pontos P ( x ,   y ) do plano cujas coordenadas x e y satisfazem

4 x 2 - 8 x - 9 y 2 + 6 y - 1 = 0

  1. Qual o tipo da cônica l ? Escrever a equação canônica de l .
  2. Encontrar os focos, os vértices e a excentricidade de l . No caso de hipérbole, encontrar também as equações das assíntotas no sistema O x y .

Passo 1

Temos uma expressão que é a expressão de alguma das três cônicas que vimos: parábola, elipse ou hipérbole. No primeiro item devemos identificar a cônica e escrever a equação na forma canônica( ou reduzida). Já no segundo item devemos encontrar todos os elementos da cônica, como fizemos nos exercícios anteriores.

Passo 2

a) Para identificarmos a cônica vamos completar quadrados e ver com qual cônica expressão se assemelha.

4 x 2 - 8 x - 9 y 2 + 6 y - 1 = 0

4 x 2 - 2 x - 9 y 2 - 2 3 y - 1 = 0

4 x - 1 2 - 4 - 9 y - 1 3 2 + 1 - 1 = 0

4 x - 1 2 - 9 y - 1 3 2 = 4

Dividindo tudo por 4 :

x - 1 2 1 - y - 1 3 2 4 9 = 1

Bom, analisando a equação temos uma hipérbole!!

Para deixar a expressão numa forma reduzida, vamos fazer uma mudança de coordenadas de tal forma, que:

x ' = x - 1

y ' = y - 1 3

Então, teremos:

x ' 2 1 - y ' 2 4 9 = 1   ( 1 )

Item a está feito!!

Passo 3

b) Focos, vértices, excentricidade e como é uma hipérbole, as assíntotas!!

Como podemos notar do item a estamos no CASO 3, ou seja, na translação. Como já fizemos uma mudança de coordenadas para o sistema x ' y ' vamos achar os parâmetros nesse sistema como no CASO 1 e depois passamos para o sistema x y .

Da expressão ( 1 ) , tiramos os valores de a e b .

a = 1

b = 2 3

O valor de c achamos com a relação c 2 = a 2 + b 2 :