Cônicas com Rotação – Método Matricial

Teoria Completa

Introdução

Beleza, vimos como definir parábolas, elipses e hipérboles no plano com elas estando no eixo x ou no eixo y .

Mass, e se ela não estiver ao longo de nenhum dos dois eixos? Tipo assim:

Nessa imagem a gente tem uma parábola meio tortinha não é? Ela está rotacionada.

Agora vem a pergunta: como analisamos cônicas rotacionadas? Quais as suas equações?

Não se assusta não, vamo lá entender isso direitinho :D

Equação Geral das Cônicas

Qualquer cônica, estando ela de qualquer maneira, pode ser escrita pela equação geral:

Ou seja, se tivermos a equação da elipse: x 2 25 + y 2 16 = 1 , podemos escrever ela na forma geral assim:

x 2 25 + y 2 16 - 1 = 0

Nesse caso, A = 1 25 , C = 1 16 , F = - 1 e o restante dos coeficientes é 0 .

O nosso conflito na rotação de cônicas vai ser esse tal desse termo x y . Sempre que ele aparecer na nossa equação, a cônica vai estar rotacionada :O Ou seja:

  • Se B = 0 , a cônica não vai estar rotacionada, talvez no máximo transladada
  • Se B ≠ 0 , o termo x y vai existir ali e portanto a cônica vai estar rotacionada

Opa, mas e aí, como fazemos se o B for diferente de 0??? É exatamente o que vamos ver agora ;D

Ah, um lembrete: sempre que D e/ou E for diferente de 0 , a cônica vai estar transladada beleza?

Rotacionando os eixos

Já vimos que quando temos aquele termo x y na nossa equação, a cônica estará rotacionada certo?

Vamos supor o seguinte, aqui temos uma hipérbole no nosso sistema x O y , o famoso já conhecido:

Mas se rotacionarmos essa hipérbole em um ângulo θ , ela sai desse sistema x O y e passa a estar ao longo do sistema x ' O y ' (alguns livros usam u O v , mas no final dá na mesma viu?)

Normalmente, o problema vai dar a equação da cônica rotacionada no sistema x O y e aí pra descobrirmos qual cônica é aquela, transformamos ela no sistema x ' O y ' (ou u O v ).

Vamos usar como exemplo a equação geral x 2 + 3 x y + y 2 - 2 x - 2 y = 1 , que também pode ser escrita assim:

x 2 + 3 x y + y 2 - 2 x - 2 y - 1 = 0

Os coeficientes dessa equação, comparando com a equação geral que demos lá em cima, são:

A = 1       B = 3       C = 1       D = - 2       E = - 2       F = - 1

Nessa equação temos o termo x y né? Então ela ta rotacionada e precisamos achar sua equação no sistema de coordenadas x ' O y ' .

Deixa eu te mostrar um passo a passo de como fazer isso:

Passo 1 – Encontrar o ângulo de rotação

Antes de qualquer coisa, precisamos entender: a que ângulo θ a cônica “original” foi rotacionada? Será que foi 30 ° ? Ou 60 ° ? Hehe pode ter sido qualquer ângulo, e pra descobrir vamos usar a relação:

t g 2 θ = B A - C

Então, no nosso exemplo:

t g 2 θ = 3 1 - 1 = 3 0

Epa!! Como assim uma divisão por 0???

Calma, isso só quer dizer que a tangente do ângulo 2 θ não existe. Agora vamos pensar, qual é o ângulo que a tangente não existe?? 90 ° certo? Então:

2 θ = 90 °

θ = 45 °

Então, pra facilitar sua vida: sempre que A = C , o ângulo de rotação vai ser 45 ° , caso contrário vamos ter que usar a relação mesmo pra resolver :P

Passo 2 – Mudando os eixos

Agora vamos usar uma relação entre o sistema x O y e o x ' O y ' , guarda bem isso aqui hein:

Essa relação vem de que

x y = cos ⁡ θ - s e n θ s e n θ c o s θ x ' y '

Por isso chamamos de forma matricial :)

(se seu livro estiver utilizando a notação u O v , é só trocar x ' por u e y ' por v )

No nosso exemplo, cos ⁡ 45 ° = s e n 45 ° = 2 2 , então:

x = x ' . 2 2 - y ' . 2 2 → x = 2 2 x ' - y ' ( I )

y = x ' 2 2 + y ' 2 2 → y = 2 2 x ' + y ' ( I I )

Passo 3 – Encontrando os novos coeficientes A ' e C '

Na nossa equação no sistema x O y temos nossos coeficientes A e C , que no nosso exemplo são 1 e 1 .

Para nossa equação no sistema x ' O y ' , vamos encontrar os coeficientes A ' e C ' pelo sistema:

Então, no nosso exemplo:

A ' + C ' = 1 + 1 A ' - C ' = 3 s e n 90 °

A ' + C ' = 2 A ' - C ' = 3

Resolvendo esse sistema, temos que A ' = 5 2 e C ' = - 1 2

Vamos guardar esses valores e ir pro próximo passo.

Passo 4 – Encontrando a parte linear da equação

Essa parte a gente só vai fazer se a cônica estiver transladada, ou seja, se D e/ou E for diferente de 0.

Vamos substituir as equações ( I ) e ( I I ) (aquelas do passo 2) na parte linear da equação original, ou seja, nas partes que multiplicam x e y :

- 2 x - 2 y

- 2 2 2 x ' - y ' - 2 2 2 x ' + y '

- 2 x ' + 2 y ' - 2 x ' - 2 y '

- 2 2 x '

Então, no lugar de - 2 x - 2 y da nossa equação, vamos escrever - 2 2 x ' fechou?

Passo 5 – Escrevendo nossa equação no sistema x ' O y '

Agora sim, finalmente vamos escrever nossa equação no novo sistema de coordenadas, ela vai ficar assim:

A ' x ' 2 + C ' y ' 2 - 2 2 x ' - 1 = 0

5 2 x ' 2 - 1 2 y ' 2 - 2 2 x ' - 1 = 0

Repara que agora nosso termo x y sumiu, porque no novo sistema de coordenadas, essa cônica não ta rotacionada :D

Pra identificar qual é a cônica, é só completar quadrados em x (pois está transladada) e fazer os ajustes necessários. Por fim, vamos descobrir que é uma hipérbole, abaixo temos o esboço dela rotacionada (verde) e depois de fazermos todos esses passos (vermelha)

Pra qualquer outra cônica rotacionada, os passos vão ser os mesmos viu?

Agora bora lá fazer exercício pra treinar essa receita de bolo :D

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria.

Dadas as equações de cônicas abaixo, determine seus coeficientes na equação geral.

a) x 2 - 4 x y + 2 y 2 = 0

b) x 2 - 2 x y + y 2 - 2 x + 1 = 0

c) x 2 - y 2 + 4 = 0

d) x 2 36 + y 2 4 = 7

e) x y + y 2 = - x 2 + 4 x

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Passo 1

Vimos que a equação geral de uma cônica é dada no formato:

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0

O que precisamos fazer nesse exercício é dar os coeficientes A , B , C ... De acordo com as equações dadas. Vamo lá!!

Passo 2

a) Nossa equação já está na forma geral, agora é só acharmos os coeficientes.

O A vai ser o coeficiente que multiplica x ² , logo, A = 1

B multiplica x y : B = - 4

C multiplica y ² : C = 2

Opa, esses são os únicos coeficientes dessa equação, então podemos dizer que D = E = F = 0 fechou?

Passo 3

b) Agora temos que:

A = 1 B = - 2 C = 1 D = - 2 E = 0 F = 1

Passo 4

c) Dessa vez:

A = 1 B = 0 C = - 1 D = 0 E = 0 F = 4

Passo 5

d) Vamos transformar x 2 36 + y 2 4 = 7 na equação geral de uma cônica passando o 7 pro outro lado:

x 2 36 + y 2 4 - 7 = 0

Fechou, agora sim podemos falar que:

A = 1 36 B = 0 C = 1 4 D = 0 E = 0 F = - 7

Passo 6

e) Vamos transformar x y + y 2 = - x 2 + 4 x na equação geral:

x y + y 2 + x 2 - 4 x = 0

Organizando os termos pra facilitar nossa vida:

x 2 + x y + y 2 - 4 x = 0

Daí temos que:

A = 1 B = 1 C = 1 D = - 4 E = 0 F = 0

Resposta

a) A = 1 B = - 4 C = 2 D = 0 E = 0 F = 0

b) A = 1 B = - 2 C = 1 D = - 2 E = 0 F = 1

c) A = 1 B = 0 C = - 1 D = 0 E = 0 F = 4

d) A = 1 36 B = 0 C = 1 4 D = 0 E = 0 F = - 7

e) A = 1 B = 1 C = 1 D = - 4 E = 0 F = 0

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria.

Considere as afirmativas a seguir:

I – A cônica - 4 x 2 - 5 x y - y 2 + 4 = 0 não está transladada, mas está rotacionada.

II – O ângulo de rotação da cônica x 2 + x y + 2 y 2 + x + 3 y = 0 é π 8 .

III – A cônica x + 2 2 + x y = 0 está rotacionada, mas não está transladada.

Estão corretas apenas as afirmativas:

a) I

b) II

c) III

d) I e II

e) I e III

f) II e III

g) I, II e III

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Passo 1

Vamos analisar cada uma das afirmativas:

I – Vimos que para uma cônica estar rotacionada, devemos ter o termo x y , enquanto para estar transladada devemos ter o termo x e/ou o termo y .

Nesse caso, temos x y , logo, ela está rotacionada. Mas não temos nem x nem y , portanto, ela não está transladada. Então a afirmativa é verdadeiraaa :D

II – Bora calcular o ângulo de rotação pela formulazinha que vimos:

t g 2 θ = B C - A

t g 2 θ = 1 2 - 1 = 1

2 θ = a r c t g   1

2 θ = π 4

θ = π 8

Obaaa! Então a afirmativa ta correta!!

III – Abrindo o quadrado de x + 2 2 + x y = 0 :

x 2 + 4 x + 4 + x y = 0

Temos o termo x y e temos o termo x , então a cônica está tanto rotacionada quanto transladada. Logo, a afirmativa é falsa :/

Então, a alternativa correta é a letra D! :)

Resposta

d) I e II

Exercício Resolvido #3

IME – UNICAMP, Exercícios de rotação.

Considere o plano com o sistema cartesiano canônico x y e faça uma rotação de um ângulo θ = π 3 obtendo um novo sistema x ' y ' . Seja P um ponto do plano.

a) Se P = ( 2 ,   2 ) no sistema x y , encontre as coordenadas de P no sistema x ' y ' .

b) Transforme a equação x 2 + y 2 = 4 para o sistema x ' y ' .

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Passo 1

Vimos que a relação entre o sistema x O y e o sistema x ' O y ' pode ser dada por

Então, sabendo θ , vamos utilizer essa relação para resolver os dois itens.

Passo 2

a) Substituindo o ponto P , s e n θ e cos ⁡ θ na relação do passo 1, temos:

2 = x ' 2 - 3 y ' 2 2 = 3 x ' 2 + y ' 2  

Resolvendo esse sistema, encontramos que x ' = 3 + 1 e y ' = - 3 + 1 .

Então o ponto P ' (ponto P no sistema x ' O y ' ) é P ' = ( 3 + 1 ,   - 3 + 1 ) .

Passo 3

b) Temos que

x = x ' 2 - 3 y ' 2 y = 3 x ' 2 + y ' 2  

Basta substituirmos essa relações de x e y em x 2 + y 2 = 4 para obtermos essa equação no sistema x ' O y ' . Assim:

x 2 + y 2 = 4

x ' 2 - 3 y ' 2 2 + 3 x ' 2 + y ' 2 2 = 4

Resposta

a) P ' = ( 3 + 1 ,   - 3 + 1 )

b) x ' 2 - 3 y ' 2 2 + 3 x ' 2 + y ' 2 2 = 4

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria.

Identifique e esboce a cônica dada pela equação

x y - 4 = 0

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Passo 1

Temos um x y na nossa equação, então, a cônica está rotacionada certo?

Pra eliminar o termo misto, vamos fazer uma rotação, mas antes vamos encontrar o ângulo θ :

t g 2 θ = B C - A

Como C = A = 0 , o nosso θ vale 45 ° = π 4   r a d .

Pelas relações de mudança de coordenada de x O y para u O v , vamos ter o sistema

x = 1 2 ( u - v ) y = 1 2 ( u + v )

Passo 2

Tendo x e y em função de u e v , agora a gente vai substituir isso lá na equação do enunciado demorou? (lembrando que como não temos x ² e nem y ² , não precisamos encontrar os coeficientes A ' e C ' )

x y - 4 = 0

1 2 u - v 1 2 u + v - 4 = 0

1 2 u 2 - v 2 - 4 = 0

u 2 2 - v 2 2 = 4

Agora vamos dividir tudo por 4:

u 2 8 - v 2 8 = 1

Boa, isso nos dá uma hipérbole com centro C = ( 0 ,   0 ) . Abaixo temos essa hipérbole esboçada no sistema u O v (verde) e no sistema x O y (azul)

Resposta

Hipérbole.

Exercício Resolvido #5

UFPE, Geometria Analítica, Prova 3, 2015_1, Questão 2

Determine a equação reduzida e identifique a cônica dada pela equação abaixo. Esboce e indique apenas os parâmetros geométricos.

3 x 2 + 10 x y + 3 y 2 - 16 x - 16 y + 8 = 0

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Passo 1

A equação da cônica tem um termo x y , ou seja, ela está rotacionada fechou? Vamos utilizar o método matricial pra conseguirmos a equação dela no sistema de coordenadas x ' O y ' .

Como nos coeficientes da equação da cônica temos que A = C , o nosso ângulo de rotação vai ser θ = 45 ° certo?

Substituindo naquelas relações da mudança de eixos que vimos, vamos ter:

x = 2 2 ( x ' - y ' )

y = 2 2 ( x ' + y ' )

Passo 2

Vamos agora encontrar os coeficientes A ' e C ' , lembrando que eles vão ser dados pelo sistema

A ' + C ' = A + C A ' - C ' = B s e n 2 θ

A ' + C ' = 6 A ' - C ' = 10

Resolvendo esse sistema, temos que A ' = 8 e C ' = - 2 .

Passo 3

O próximo passo é substituir as relações que encontramos pra x e y na parte linear da equação original:

- 16 x - 16 y

- 16 2 2 x ' - y ' - 16 2 2 x ' + y '

- 8 2 x ' + 8 2 y ' - 8 2 x ' - 8 2 y '

Então a parte linear da nossa equação no sistema x ' O y ' vai ser

- 16 2 x '

Passo 4

A equação da cônica no sistema x ' O y ' , então, vai ser dada por

8 x ' 2 - 2 y ' 2 - 16 2 x ' + 8 = 0

Dividindo tudo por 2:

4 x ' 2 - y ' 2 - 8 2 x ' + 4 = 0

Agora vamos ajustar essa equação pra descobrirmos que cônica é essa beleza?

Completando quadrados em x :

4 x ' 2 - 8 2 x ' + 8 - y ' 2 + 4 - 8 = 0

4 ( x ' 2 - 2 2 x ' + 2 ) - y ' 2 = 4

4 ( x ' - 2 ) ² - y ' 2 = 4

Passo 5

Fazendo a translação com X = x ' - 2 e Y = y ' , nossa equação fica assim

4 X 2 - Y 2 = 4

Dividindo tudo por 4:

X 2 - Y 2 4 = 1

Isso nos dá a equação de uma hipérbole certo? :)

Os parâmetros geométricos dela são

a = 1

b = 2

c = a 2 + b ² = 5

O esboço dela é mostrado abaixo

Resposta

Hipérbole.

X 2 - Y 2 4 = 1

a = 1

b = 2

c = 5

Exercício Resolvido #6

UFF, Aula de rotação, Katia Frensel

Reduza, por uma rotação dos eixos coordenados, a equação

x 2 + 2 x y + y 2 - x + y + 1 = 0

Determine o foco, o vértice e a diretriz da cônica nas coordenadas x , y .

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Passo 1

Encontrando o ângulo de rotação

Como temos um termo misto + 2 x y , vamos ter que fazer uma rotação certo?

Vamos usar a relação pra descobrir o ângulo:

t g 2 θ = B C - A

No nosso caso, B = 2 , C = 1 e A = 1

Opa, mas como A = C , o nosso ângulo vai ser 45 ° , lembra??

Boaa, primeiro passo realizado!!

Passo 2

Convertendo o sistema x O y para u O v

Vamos converter o sistema x O y (equação do enunciado) no sistema u O v (cônica rotacionada) usando a relação:

x = u . c o s θ - v . s e n θ y = u . s e n θ + v . c o s θ

Sabendo que s e n θ = c o s θ = 2 2 = 1 2 :

x = 1 2 ( u - v ) y = 1 2 ( u + v )   ( I )

Agora precisamos achar os coeficientes A ' e C ' da nossa cônica.

Passo 3

Encontrando os coeficientes A ' e C ' , análogos a A e C

Os novos coeficientes A ' e C ' vão ser dados pelo sistema:

A ' + C ' = A + C A ' - C ' = B s e n ( 2 θ )

Na nossa equação original, A = C = 1 , então A + C = 2 .

Além disso, B s e n ( 2 θ ) = 2 s e n 90 ° = 2 1 = 2

Então:

A ' + C ' = 2 A ' - C ' = 2

Somando as duas equações, temos

2 A ' = 4

A ' = 2

Substituindo na primeira linha:

C ' = 0

Ou seja, não teremos o termo v ² na nossa nova equação (pois C ' = 0 ), enquanto o termo u ² será multiplicado por A ' = 2