Cônicas com Rotação – Método Matricial

Teoria Completa

Introdução

Beleza, vimos como definir parábolas, elipses e hipérboles no plano com elas estando no eixo x ou no eixo y .

Mass, e se ela não estiver ao longo de nenhum dos dois eixos? Tipo assim:

Nessa imagem a gente tem uma parábola meio tortinha não é? Ela está rotacionada.

Agora vem a pergunta: como analisamos cônicas rotacionadas? Quais as suas equações?

Não se assusta não, vamo lá entender isso direitinho :D

Equação Geral das Cônicas

Qualquer cônica, estando ela de qualquer maneira, pode ser escrita pela equação geral:

Ou seja, se tivermos a equação da elipse: x 2 25 + y 2 16 = 1 , podemos escrever ela na forma geral assim:

x 2 25 + y 2 16 - 1 = 0

Nesse caso, A = 1 25 , C = 1 16 , F = - 1 e o restante dos coeficientes é 0 .

O nosso conflito na rotação de cônicas vai ser esse tal desse termo x y . Sempre que ele aparecer na nossa equação, a cônica vai estar rotacionada :O Ou seja:

  • Se B = 0 , a cônica não vai estar rotacionada, talvez no máximo transladada
  • Se B ≠ 0 , o termo x y vai existir ali e portanto a cônica vai estar rotacionada

Opa, mas e aí, como fazemos se o B for diferente de 0??? É exatamente o que vamos ver agora ;D

Ah, um lembrete: sempre que D e/ou E for diferente de 0 , a cônica vai estar transladada beleza?

Rotacionando os eixos

Já vimos que quando temos aquele termo x y na nossa equação, a cônica estará rotacionada certo?

Vamos supor o seguinte, aqui temos uma hipérbole no nosso sistema x O y , o famoso já conhecido:

Mas se rotacionarmos essa hipérbole em um ângulo θ , ela sai desse sistema x O y e passa a estar ao longo do sistema x ' O y ' (alguns livros usam u O v , mas no final dá na mesma viu?)

Normalmente, o problema vai dar a equação da cônica rotacionada no sistema x O y e aí pra descobrirmos qual cônica é aquela, transformamos ela no sistema x ' O y ' (ou u O v ).

Vamos usar como exemplo a equação geral x 2 + 3 x y + y 2 - 2 x - 2 y = 1 , que também pode ser escrita assim:

x 2 + 3 x y + y 2 - 2 x - 2 y - 1 = 0

Os coeficientes dessa equação, comparando com a equação geral que demos lá em cima, são:

A = 1       B = 3       C = 1       D = - 2       E = - 2       F = - 1

Nessa equação temos o termo x y né? Então ela ta rotacionada e precisamos achar sua equação no sistema de coordenadas x ' O y ' .

Deixa eu te mostrar um passo a passo de como fazer isso:

Passo 1 – Encontrar o ângulo de rotação

Antes de qualquer coisa, precisamos entender: a que ângulo θ a cônica “original” foi rotacionada? Será que foi 30 ° ? Ou 60 ° ? Hehe pode ter sido qualquer ângulo, e pra descobrir vamos usar a relação:

Então, no nosso exemplo:

t g 2 θ = 3 1 - 1 = 3 0

Epa!! Como assim uma divisão por 0???

Calma, isso só quer dizer que a tangente do ângulo 2 θ não existe. Agora vamos pensar, qual é o ângulo que a tangente não existe?? 90 ° certo? Então:

2 θ = 90 °

θ = 45 °

Então, pra facilitar sua vida: sempre que A = C , o ângulo de rotação vai ser 45 ° , caso contrário vamos ter que usar a relação mesmo pra resolver :P

Passo 2 – Mudando os eixos

Agora vamos usar uma relação entre o sistema x O y e o x ' O y ' , guarda bem isso aqui hein:

Essa relação vem de que

x y = cos ⁡ θ - s e n θ s e n θ c o s θ x ' y '

Por isso chamamos de forma matricial :)

(se seu livro estiver utilizando a notação u O v , é só trocar x ' por u e y ' por v )

No nosso exemplo, cos ⁡ 45 ° = s e n 45 ° = 2 2 , então:

x = x ' . 2 2 - y ' . 2 2 → x = 2 2 x ' - y ' ( I )

y = x ' 2 2 + y ' 2 2 → y = 2 2 x ' + y ' ( I I )

Passo 3 – Encontrando os novos coeficientes A ' e C '

Na nossa equação no sistema x O y temos nossos coeficientes A e C , que no nosso exemplo são 1 e 1 .

Para nossa equação no sistema x ' O y ' , vamos encontrar os coeficientes A ' e C ' pelo sistema:

Então, no nosso exemplo:

A ' + C ' = 1 + 1 A ' - C ' = 3 s e n 90 °

A ' + C ' = 2 A ' - C ' = 3

Resolvendo esse sistema, temos que A ' = 5 2 e C ' = - 1 2

Vamos guardar esses valores e ir pro próximo passo.

Passo 4 – Encontrando a parte linear da equação

Essa parte a gente só vai fazer se a cônica estiver transladada, ou seja, se D e/ou E for diferente de 0.

Vamos substituir as equações ( I ) e ( I I ) (aquelas do passo 2) na parte linear da equação original, ou seja, nas partes que multiplicam x e y :

- 2 x - 2 y

- 2 2 2 x ' - y ' - 2 2 2 x ' + y '

- 2 x ' + 2 y ' - 2 x ' - 2 y '

- 2 2 x '

Então, no lugar de - 2 x - 2 y da nossa equação, vamos escrever - 2 2 x ' fechou?

Passo 5 – Escrevendo nossa equação no sistema x ' O y '

Agora sim, finalmente vamos escrever nossa equação no novo sistema de coordenadas, ela vai ficar assim:

A ' x ' 2 + C ' y ' 2 - 2 2 x ' - 1 = 0

5 2 x ' 2 - 1 2 y ' 2 - 2 2 x ' - 1 = 0

Repara que agora nosso termo x y sumiu, porque no novo sistema de coordenadas, essa cônica não ta rotacionada :D

Pra identificar qual é a cônica, é só completar quadrados em x (pois está transladada) e fazer os ajustes necessários. Por fim, vamos descobrir que é uma hipérbole, abaixo temos o esboço dela rotacionada (verde) e depois de fazermos todos esses passos (vermelha)

Pra qualquer outra cônica rotacionada, os passos vão ser os mesmos viu?

Agora bora lá fazer exercício pra treinar essa receita de bolo :D

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria.

Dadas as equações de cônicas abaixo, determine seus coeficientes na equação geral.

a) x 2 - 4 x y + 2 y 2 = 0

b) x 2 - 2 x y + y 2 - 2 x + 1 = 0

c) x 2 - y 2 + 4 = 0

d) x 2 36 + y 2 4 = 7

e) x y + y 2 = - x 2 + 4 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vimos que a equação geral de uma cônica é dada no formato:

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0

O que precisamos fazer nesse exercício é dar os coeficientes A , B , C ... De acordo com as equações dadas. Vamo lá!!

Passo 2

a) Nossa equação já está na forma geral, agora é só acharmos os coeficientes.

O A vai ser o coeficiente que multiplica x ² , logo, A = 1

B multiplica x y : B = - 4

C multiplica y ² : C = 2

Opa, esses são os únicos coeficientes dessa equação, então podemos dizer que D = E = F = 0 fechou?

Passo 3

b) Agora temos que:

A = 1 B = - 2 C = 1 D = - 2 E = 0 F = 1

Passo 4

c) Dessa vez:

A = 1 B = 0 C = - 1 D = 0 E = 0 F = 4

Passo 5

d) Vamos transformar x 2 36 + y 2 4 = 7 na equação geral de uma cônica passando o 7 pro outro lado:

x 2 36 + y 2 4 - 7 = 0

Fechou, agora sim podemos falar que:

A = 1 36 B = 0 C = 1 4 D = 0 E = 0 F = - 7

Passo 6

e) Vamos transformar x y + y 2 = - x 2 + 4 x na equação geral:

x y + y 2 + x 2 - 4 x = 0

Organizando os termos pra facilitar nossa vida:

x 2 + x y + y 2 - 4 x = 0

Daí temos que:

A = 1 B = 1 C = 1 D = - 4 E = 0 F = 0

Resposta

a) A = 1 B = - 4 C = 2 D = 0 E = 0 F = 0

b) A = 1 B = - 2 C = 1 D = - 2 E = 0 F = 1

c) A = 1 B = 0 C = - 1 D = 0 E = 0 F = 4

d) A = 1 36 B = 0 C = 1 4 D = 0 E = 0 F = - 7

e) A = 1