Elipses

Teoria Completa

Já vimos as parábolas, agora são as elipses! Simboraa

Elipse

A elipse é a figura a seguir. Ela é como uma circunferência achatada haha.

A definição de uma elipse é um pouco diferente da parábola!! Para a elipse, temos:

Considerando dois pontos distintos F 1 e F 2 , de forma que a distância entre esse dois pontos valha 2 c , ou seja, d F 1 ,   F 2 = 2 c . Considerando um número real a , elipse é o conjunto de todos os pontos P do plano tais que:

d P ,   F 1 + d P ,   F 2 = 2 a

Essa é a definição de elipse!! Parece muito complicado!! Calma, daqui a pouco ficará mais claro!!

Antes de conhecermos as equações da elipse vamos primeiro conhecer alguns elementos importantes da elipse, para então chegarmos em suas equações:

Da figura, temos os seguintes elementos:

  • Os pontos F 1 e F 2 são chamados de focos
  • A distância 2 c entre os focos é chamada de distância focal
  • O ponto C é o centro, ponto médio entre os focos
  • Eixo maior é o segmento A 1 A 2 que tem comprimento 2 a
  • Eixo menor é o segmento B 1 B 2 que tem comprimento 2 b
  • Vértices são os pontos: A 1 ,   A 2 ,   B 1 e B 2
  • Temos também o que chamamos de excentricidade que é o número dado por:

    e = c a

    Sendo c < a , então 0 < e < 1 .

    Em toda a elipse vale a relação de Pitágoras:

    a 2 = b 2 + c 2

    Vamos agora escrever as equações da elipse!! Como na parábola vamos dividir nosso estudo em 3 casos:

  • Caso 1: Eixo maior está sobre o eixo dos x
  • Caso 2: Eixo maior está sobre o eixo dos y
  • Caso 3: Translação

Caso 1:

Para este caso vamos considerar a figura a seguir:

Seja P ( x ,   y ) um ponto qualquer da elipse e considerando os focos ( - c ,   0 ) e ( c ,   0 ) , pela definição apresentada anteriormente temos:

d P ,   F 1 + d P ,   F 2 = 2 a

Substituindo o ponto P e os focos e calculando as distâncias, chegamos na seguinte equação:

Que é a equação reduzida da elipse de centro na origem e eixo maior sobre o eixo x .

E quais são nossos vértices? Analisando a figura acima, temos que:

A 1 = - a ,   0 ,   A 2 = a ,   0 ,   B 1 = 0 ,   - b   e   B 2 = 0 ,   b

Caso 2:

Agora, se o eixo maior está sobre o eixo y , temos a seguinte figura:

Assim, utilizando novamente a definição de elipse, chega-se que a equação reduzida da elipse da figura é:

Novamente, vemos que nossos vértices continuam os mesmos do item anterior:

A 1 = 0 ,   - a ,   A 2 = 0 ,   a ,   B 1 = - b ,   0   e   B 2 = b ,   0

Note alguns detalhes importantes:

  • O valor de a > b
  • a é sempre o eixo maior
  • Sempre o maior denominador da equação reduzida da elipse representa o a 2 . Logo, se o maior valor está dividindo o x 2 isso significa que estamos no CASO 1, já se o maior denominador está dividindo o y 2 , então estamos no CASO 2.

Para terminar, vamos falar sobre a translação

Caso 3:

No caso da translação temos duas possibilidades mostradas na figura a seguir:

Uma translação nada mais é que deslocarmos o centro da elipse, ou seja, nos casos 1 e 2 os centros eram ( 0 ,   0 ) , agora, os centros estão deslocados. Então, nossos centros serão:

C ( h ,   k )

Nossas equações ficarão:

( x - h ) 2 a 2 + y - k 2 b 2 = 1

o u

( y - k ) 2 a 2 + ( x - h ) 2 b 2 = 1

Então, para resolver usaremos o mesmo esquema que para as parábolas:

  1. Escrever em um sistema de coordenadas x ' y ' , que possui relações
  2. x ' = x - h

    y ' = y - k

  3. Achar todos os elementos no sistema x ' y ' considerando um dos casos 1 ou 2.
  4. Passar do sistema x ' y ' para o nosso tradicional x y

Ufa!! Mais uma cônica se foi!!

Uhulll! Mas não esquece os exercícios!!!

Esse é o espírito, haha!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 269-2.

Para as elipses dadas, determine os vértices, os focos, a excentricidade e = c a . Faça um esboço.

  1. 16 x 2 + 25 y 2 = 400
  2. x 2 + 9 y 2 = 9
  3. 2 x 2 + y 2 = 50
  4. 3 x 2 + 4 y 2 = 12
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bora começar a aquecer nossos neurônios sobre elipses!! Hehe

Temos quatro itens cada um com uma expressão de uma elipse e em cada item devemos determinar: vértices, focos, excentricidade e fazer um esboço.

Vamos comerçar!!

Passo 2

a) 16 x 2 + 25 y 2 = 400

Para começarmos esse exercício precisamos colocar a expressão na forma reduzida, ou seja, desse jeito:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1     o u     y 2 a 2 + x 2 b 2 = 1

Porque assim conseguiremos determinar os valores de a e b que precisamos para achar os elementos que queremos.

Então, vamos começar!!

16 x 2 + 25 y 2 = 400

Dividindo tudo por 400 , temos:

x 2 25 + y 2 16 = 1

Como a deve ser sempre maior que b , então:

a 2 = 25 → a = 5

b 2 = 16 → b = 4

Como a deve ser maior que b e a está embaixo do x 2 então significa que estamos no caso 1, e teremos uma elipse com o seguinte formato:

Pela figura, conseguimos determinar os focos e vértices

F 1 = - c ,   0 ,   F 2 = c ,   0 ,   A 1 = - a ,   0 ,   A 2 = a ,   0 ,   B 1 = 0 ,   - b   e   B 2 = 0 ,   b

Temos o valor de a e b , mas para determinar os focos precisamos de c . Mas, como vamos achar c ?

Para achar c vamos usar a seguinte relação das elipses: a 2 = b 2 + c 2 . Subsituindo os valores de a = 5 e b = 4 , temos:

25 = 16 + c 2

c = 3

Repare que o resultado seria c = ± 3 , porém como a ,   b e c são distânciasnão faz sentido o valor negativo.

Agora sim, temos tudo o que precisamos é só substituir os valores e encontrar os focos, vértices e excentricidade.

F 1 = - 3 ,   0 ,   F 2 = 3 ,   0 ,   A 1 = - 5 ,   0 ,   A 2 = 5 ,   0 ,   B 1 = 0 ,   - 4   e   B 2 = 0 ,   4

e = c a → e = 3 5

E fazendo um esboço, temos:

Passo 3

b) x 2 + 9 y 2 = 9

O passo a passo é o mesmo do item anterior, começamos escrevendo na forma canônica:

x 2 9 + y 2 1 = 1

Como o maior denominador está sobre o x teremos a elipse do mesmo jeito do caso anterior, ou seja, caso 1:

Sendo o maior valor 9 , então:

a 2 = 9 → a = 3

b 2 = 1 → b = 1

Utilizando a relação a 2 = b 2 + c 2 :

c = 2 2

Substituindo esses valores a seguir:

F 1 = - c ,   0 ,   F 2 = c ,   0 ,   A 1 = - a ,   0 ,   A 2 = a ,   0 ,   B 1 = 0 ,   - b   e   B 2 = 0 ,   b

e = c a

Subsituindo, temos:

F 1 = - 2 2 ,   0 ,   F 2 = 2 2 ,   0 ,   A 1 = - 3 ,   0 ,   A 2 = 3 ,   0 ,   B 1 = 0 ,   - 1   e   B 2 = 0 ,   1

e = 2 2 3

Esboçando:

Passo 4

c) 2 x 2 + y 2 = 50

Colocando na forma canônica:

x 2 25 + y 2 50 = 1

Agora, o maior valor do denominador está dividindo o y 2 . Isso indica que estamos no CASO 2, assim nossa elipse terá o seguinte formato:

Sabendo que nossa elipse é assim, sabemos que nossos focos e vértices, serão:

F 1 = 0 ,   - c ,   F 2 = 0 ,   c ,   A 1 = 0 ,   - a ,   A 2 = 0 ,   a ,   B 1 = - b ,   0   e   B 2 = b ,   0

Para determina-los precisamos calcular a ,   b e c .

Para encontrar esses valores continuamos a fazer o mesmo procedimento. Assim, o valor de a 2 é sempre referente ao maior denominador que é 50 , então:

a 2 = 50 → a = 50 → a = 5 2

b 2 = 25 → b = 5

Usando a relação a 2 = b 2 + c 2 que é válida para qualquer elipse, temos:

50 = 25 + c 2

c = 5

Agora, podemos achar focos, vértices e a excentricidade:

F 1 = 0 ,   - 5 ,   F 2 = 0 ,   5 ,   A 1 = 0 , - 5 2 ,   A 2 = 0 ,   5 2 ,   B 1 = - 5 ,   0   e   B 2 = 5 ,   0

e = c a → e = 5 5 2 = 2 2

Esboçando:

Passo 5

Ufa!! Só falta mais uma!! Uhuuulll

d)   3 x 2 + 4 y 2 = 12

Colocando na forma canônica:

x 2 4 + y 2 3 = 1

O maior valor do denominador está devidindo o x 2 , logo estamos no CASO 1:

Então, nossos valores de a ,   b e c são:

4 = a 2 → a = 2

3 =   b 2 → b = 3

a 2 = b 2 + c 2

4 = 3 + c 2

c = 1

Tendo os focos, vértices e excentricidade em função de a ,   b   e c , temos:

F 1 = - c ,   0 ,   F 2 = c ,   0 ,   A 1 = - a ,   0 ,   A 2 = a ,   0 ,   B 1 = 0 ,   - b   e   B 2 = 0 ,   - b

e = c a

Substituindo:

F 1 = - 1 ,   0 ,   F 2 = 1 ,   0 ,   A 1 = - 2 ,   0 ,   A 2 = 2 ,   0 ,   B 1 = 0 ,   - 3   e   B 2 = 0 ,   3

e = 1 2

Para finalizar falta esboçar!!

Terminamooossss!!!

Resposta

a) F 1 = - 3 ,   0 ,   F 2 = 3 ,   0 ,   A 1 = - 5 ,   0 ,   A 2 = 5 ,   0 ,   B 1 = 0 ,   - 4   e   B 2 = 0 ,   4

e = c a → e = 3 5

b) F 1 = - 2 2 ,   0 ,   F 2 = 2 2 ,   0 ,   A 1 = - 3 ,   0 ,   A 2 = 3 ,   0 ,   B 1 = 0 ,   - 1   e   B 2 = 0 ,   1

e = 2 2 3

c) F 1 = 0 ,   - 5 ,   F 2 = 0 ,   5 ,   A 1 = 0 , - 5 2 ,   A 2 = 0 ,   5 2 ,   B 1 = - 5 ,   0   e   B 2 = 5 ,   0

e = c a → e = 5 5 2 = 2 2

d) F 1 = - 1 ,   0 ,   F 2 = 1 ,   0 ,   A 1 = - 2 ,   0 ,   A 2 = 2 ,   0 ,   B 1 = 0 ,   - 3   e   B 2 = 0 ,   3

e = 1 2

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 237-11.

Uma elipse, cujo eixo maior é paralelo ao eixo dos y , tem centro C ( 4 ,   - 2 ) , excentricidade e = 1 2 e eixo menor de medida 6 . Qual a equação desta elipse?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Esse exercício é o inverso do que fizemos antes, ou seja, agora temos vários dados sobre a elipse e queremos determinar sua equação.

Dados:

  • Eixo maior é paralelo ao eixo dos y
  • Centro C ( 4 ,   - 2 )
  • Excentricidade e = 1 2
  • Eixo menor de medida 6 , ou seja, 2 b = 6 → b = 3

Passo 2

Vamos agora utilizar os dados que tiramos do problema para achar a equação da elipse. Primeiro, em qual dos 3 casos estamos?

Bem, para verificar isso vamos olhar para o centro C , nosso centro não está na origem ( 0 ,   0 ) , logo é uma elipse transladada. Estamos no caso 3. Assim, teremos uma das equações abaixo.

( x - h ) 2 a 2 + ( y - k ) 2 b 2 = 1

o u

( y - k ) 2 a 2 + ( x - h ) 2 b 2 = 1

Qual delas se encaixa no nosso problema?

Bem, como o enunciado nos diz que o eixo maior é paralelo ao eixo dos y , então a equação da nossa elipse tem o seguinte jeitão:

( y - k ) 2 a 2 + ( x - h ) 2 b 2 = 1   ( 1 )

Agora, precisamos encontrar o valor dos parâmetros a ,   b ,   h e k . O valor de b nós conseguimos saber por meio da informação de que o eixo menor mede 6 , então:

b = 3

O valor de a , achamos pela excentricidade:

e = 1 2 = c a → c = a 2

Sabendo a relação entre c e a e a relação a 2 = b 2 + c 2 , achamos a :

a 2 = 9 + a 2 2   → a = 12

Bom, a e b já achamos, mas e h e k ?

Para achar esses valoresvamos utilizar a última informação que temos que é referente ao centro da elipse estar em C ( 4 ,   - 2 ) , numa translação, o centro está em:

C = ( h ,   k )

Portanto,

h = 4

k = - 2

Passo 3

Agora sim, que temostodos os valores, basta substituirmos na expressão ( 1 ) . Sendo:

a = 12

b = 3

h = 4

k = - 2

Teremos:

( y + 2 ) 2 ( 12 ) 2 + ( x - 4 ) 2 ( 3 ) 2 = 1

Arrumando:

( y + 2 ) 2 12 + ( x - 4 ) 2 9 = 1

Resposta

( y + 2 ) 2 12 + ( x - 4 ) 2 9 = 1

Exercício Resolvido #3

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 239-12.

Determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade da elipse de equação:

4 x 2 + 9 y 2 - 8 x - 36 y + 4 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Uhuull!! Mais um problema com elipses!!! Mas, esse é um pouco diferente do que vínhamos fazendo. Precisamos colocar primeiro nossa equação na forma canônica da elipse para então retirarmos as informações que precisamos, que são: centro, vértices, focos e excentricidade.

Passo 2

Para começar, vamos completar quadrados para deixar a expressão na forma reduzida ou canônica da elipse:

4 x 2 + 9 y 2 - 8 x - 36 y + 4 = 0

4 x 2 - 2 x + 9 y 2 - 4 y + 4 = 0

4 x - 1 2 - 4 + 9 y - 2 2 - 36 + 4 = 0

4 x - 1 2 + 9 y - 2 2 = 36

Dividindo tudo por 36 :

x - 1 2 9 + y - 2 2 4 = 1       ( 1 )

Pronto!! Chegamos na forma canônica!! Mas, estamos no CASO 3, translação!!

Passo 3

Vamos seguir nossa receita de bolo!! Agora, que já temos a expressão na forma reduzida, vamos passar para o sistema x ' y ' e retirar os dados.

Para passar para o sistema x ' y ' vamos considerar:

x ' = x - 1

y ' = y - 2

Substituindo essas relações, teremos:

x ' 2 9 + y ' 2 4 = 1     ( 2 )  

Passo 4

Analisando a expressão, percebemos que o maior denominador está sobre o x ' 2 , então isso significa que nosso eixo maior está sobre o eixo x ' , assim estamos no caso 1.

Então, temos que:

a 2 = 9 → a = 3

b 2 = 4 → b = 2

E como na elipse temos a relação   a 2 = b 2 + c 2 :

c = 5

Com esses valores conseguimos determinar o que precisamos no sistema x ' y ' . Temos que:

F 1 = - c , 0 ,   F 2 = c ,   0 ,   A 1 = - a ,   0 ,   A 2 = a ,   0 ,   B 1 = 0 ,   - b ,   B 2 = 0 ,   b ,   C = ( 0 ,   0 )