Elipses

Teoria Completa

Já vimos as parábolas, agora são as elipses! Simboraa

Elipse

A elipse é a figura a seguir. Ela é como uma circunferência achatada haha.

A definição de uma elipse é um pouco diferente da parábola!! Para a elipse, temos:

Considerando dois pontos distintos F 1 e F 2 , de forma que a distância entre esse dois pontos valha 2 c , ou seja, d F 1 ,   F 2 = 2 c . Considerando um número real a , elipse é o conjunto de todos os pontos P do plano tais que:

d P ,   F 1 + d P ,   F 2 = 2 a

Essa é a definição de elipse!! Parece muito complicado!! Calma, daqui a pouco ficará mais claro!!

Antes de conhecermos as equações da elipse vamos primeiro conhecer alguns elementos importantes da elipse, para então chegarmos em suas equações:

Da figura, temos os seguintes elementos:

  • Os pontos F 1 e F 2 são chamados de focos
  • A distância 2 c entre os focos é chamada de distância focal
  • O ponto C é o centro, ponto médio entre os focos
  • Eixo maior é o segmento A 1 A 2 que tem comprimento 2 a
  • Eixo menor é o segmento B 1 B 2 que tem comprimento 2 b
  • Vértices são os pontos: A 1 ,   A 2 ,   B 1 e B 2
  • Temos também o que chamamos de excentricidade que é o número dado por:

    e = c a

    Sendo c < a , então 0 < e < 1 .

    Em toda a elipse vale a relação de Pitágoras:

    a 2 = b 2 + c 2

    Vamos agora escrever as equações da elipse!! Como na parábola vamos dividir nosso estudo em 3 casos:

  • Caso 1: Eixo maior está sobre o eixo dos x
  • Caso 2: Eixo maior está sobre o eixo dos y
  • Caso 3: Translação

Caso 1:

Para este caso vamos considerar a figura a seguir:

Seja P ( x ,   y ) um ponto qualquer da elipse e considerando os focos ( - c ,   0 ) e ( c ,   0 ) , pela definição apresentada anteriormente temos:

d P ,   F 1 + d P ,   F 2 = 2 a

Substituindo o ponto P e os focos e calculando as distâncias, chegamos na seguinte equação:

Que é a equação reduzida da elipse de centro na origem e eixo maior sobre o eixo x .

E quais são nossos vértices? Analisando a figura acima, temos que:

A 1 = - a ,   0 ,   A 2 = a ,   0 ,   B 1 = 0 ,   - b   e   B 2 = 0 ,   b

Caso 2:

Agora, se o eixo maior está sobre o eixo y , temos a seguinte figura:

Assim, utilizando novamente a definição de elipse, chega-se que a equação reduzida da elipse da figura é:

Novamente, vemos que nossos vértices continuam os mesmos do item anterior:

A 1 = 0 ,   - a ,   A 2 = 0 ,   a ,   B 1 = - b ,   0   e   B 2 = b ,   0

Note alguns detalhes importantes:

  • O valor de a > b
  • a é sempre o eixo maior
  • Sempre o maior denominador da equação reduzida da elipse representa o a 2 . Logo, se o maior valor está dividindo o x 2 isso significa que estamos no CASO 1, já se o maior denominador está dividindo o y 2 , então estamos no CASO 2.

Para terminar, vamos falar sobre a translação

Caso 3:

No caso da translação temos duas possibilidades mostradas na figura a seguir:

Uma translação nada mais é que deslocarmos o centro da elipse, ou seja, nos casos 1 e 2 os centros eram ( 0 ,   0 ) , agora, os centros estão deslocados. Então, nossos centros serão:

C ( h ,   k )

Nossas equações ficarão:

( x - h ) 2 a 2 + y - k 2 b 2 = 1

o u

( y - k ) 2 a 2 + ( x - h ) 2 b 2 = 1

Então, para resolver usaremos o mesmo esquema que para as parábolas:

  1. Escrever em um sistema de coordenadas x ' y ' , que possui relações
  2. x ' = x - h

    y ' = y - k

  3. Achar todos os elementos no sistema x ' y ' considerando um dos casos 1 ou 2.
  4. Passar do sistema x ' y ' para o nosso tradicional x y

Ufa!! Mais uma cônica se foi!!

Uhulll! Mas não esquece os exercícios!!!

Esse é o espírito, haha!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 269-2.

Para as elipses dadas, determine os vértices, os focos, a excentricidade e = c a . Faça um esboço.

  1. 16 x 2 + 25 y 2 = 400
  2. x 2 + 9 y 2 = 9
  3. 2 x 2 + y 2 = 50
  4. 3 x 2 + 4 y 2 = 12
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bora começar a aquecer nossos neurônios sobre elipses!! Hehe

Temos quatro itens cada um com uma expressão de uma elipse e em cada item devemos determinar: vértices, focos, excentricidade e fazer um esboço.

Vamos comerçar!!

Passo 2

a) 16 x 2 + 25 y 2 = 400

Para começarmos esse exercício precisamos colocar a expressão na forma reduzida, ou seja, desse jeito:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1     o u     y 2 a 2 + x 2 b 2 = 1

Porque assim conseguiremos determinar os valores de a e b que precisamos para achar os elementos que queremos.

Então, vamos começar!!

16 x 2 + 25 y 2 = 400

Dividindo tudo por 400 , temos:

x 2 25 + y 2 16 = 1

Como a deve ser sempre maior que b , então:

a 2 = 25 → a = 5

b 2 = 16 → b = 4

Como a deve ser maior que b e a está embaixo do x 2 então significa que estamos no caso 1, e teremos uma elipse com o seguinte formato:

Pela figura, conseguimos determinar os focos e vértices

F 1 = - c ,   0 ,   F 2 = c ,   0 ,   A 1 = - a ,   0 ,   A 2 = a ,   0 ,   B 1 = 0 ,   - b   e   B 2 = 0 ,   b

Temos o valor de a e b , mas para determinar os focos precisamos de c . Mas, como vamos achar c ?

Para achar c vamos usar a seguinte relação das elipses: a 2 = b 2 + c 2 . Subsituindo os valores de a = 5 e b = 4 , temos:

25 = 16 + c 2

c = 3

Repare que o resultado seria c = ± 3 , porém como a ,   b e c são distânciasnão faz sentido o valor negativo.

Agora sim, temos tudo o que precisamos é só substituir os valores e encontrar os focos, vértices e excentricidade.

F 1 = - 3 ,   0 ,   F 2 = 3 ,   0 ,   A 1 = - 5 ,   0 ,   A 2 = 5 ,   0 ,   B 1 = 0 ,   - 4   e   B 2 = 0 ,   4

e = c a → e = 3 5

E fazendo um esboço, temos:

Passo 3

b) x 2 + 9 y 2 = 9

O passo a passo é o mesmo do item anterior, começamos escrevendo na forma canônica:

x 2 9 + y 2 1 = 1

Como o maior denominador está sobre o x teremos a elipse do mesmo jeito do caso anterior, ou seja, caso 1:

Sendo o maior valor 9 , então:

a 2 = 9 → a = 3

b 2 = 1 → b = 1

Utilizando a relação a 2 = b 2 + c 2 :

c = 2 2

Substituindo esses valores a seguir:

F 1 = - c ,   0 ,   F 2 = c ,   0 ,   A 1 = - a ,   0 ,   A 2 = a ,   0 ,   B 1 = 0 ,   - b   e   B 2 = 0 ,   b

e = c a

Subsituindo, temos:

F 1 = - 2 2 ,   0 ,   F 2 = 2 2 ,   0 ,   A 1 = - 3 ,   0 ,   A 2 = 3 ,   0 ,   B 1 = 0 ,   - 1   e   B 2 = 0 ,   1