Teoria Completa
Já vimos as parábolas, agora são as elipses! Simboraa
Elipse
A elipse é a figura a seguir. Ela é como uma circunferência achatada haha.
A definição de uma elipse é um pouco diferente da parábola!! Para a elipse, temos:
Considerando dois pontos distintos e , de forma que a distância entre esse dois pontos valha , ou seja, . Considerando um número real , elipse é o conjunto de todos os pontos do plano tais que:
Essa é a definição de elipse!! Parece muito complicado!! Calma, daqui a pouco ficará mais claro!!
Antes de conhecermos as equações da elipse vamos primeiro conhecer alguns elementos importantes da elipse, para então chegarmos em suas equações:
Da figura, temos os seguintes elementos:
- Os pontos e são chamados de focos
- A distância entre os focos é chamada de distância focal
- O ponto é o centro, ponto médio entre os focos
- Eixo maior é o segmento que tem comprimento
- Eixo menor é o segmento que tem comprimento
- Vértices são os pontos: e
- Caso 1: Eixo maior está sobre o eixo dos
- Caso 2: Eixo maior está sobre o eixo dos
- Caso 3: Translação
Temos também o que chamamos de excentricidade que é o número dado por:
Sendo , então .
Em toda a elipse vale a relação de Pitágoras:
Vamos agora escrever as equações da elipse!! Como na parábola vamos dividir nosso estudo em 3 casos:
Caso 1:
Para este caso vamos considerar a figura a seguir:
Seja um ponto qualquer da elipse e considerando os focos e , pela definição apresentada anteriormente temos:
Substituindo o ponto e os focos e calculando as distâncias, chegamos na seguinte equação:
Que é a equação reduzida da elipse de centro na origem e eixo maior sobre o eixo .
E quais são nossos vértices? Analisando a figura acima, temos que:
Caso 2:
Agora, se o eixo maior está sobre o eixo , temos a seguinte figura:
Assim, utilizando novamente a definição de elipse, chega-se que a equação reduzida da elipse da figura é:
Novamente, vemos que nossos vértices continuam os mesmos do item anterior:
Note alguns detalhes importantes:
- O valor de
- é sempre o eixo maior
- Sempre o maior denominador da equação reduzida da elipse representa o . Logo, se o maior valor está dividindo o isso significa que estamos no CASO 1, já se o maior denominador está dividindo o , então estamos no CASO 2.
Para terminar, vamos falar sobre a translação
Caso 3:
No caso da translação temos duas possibilidades mostradas na figura a seguir:
Uma translação nada mais é que deslocarmos o centro da elipse, ou seja, nos casos 1 e 2 os centros eram , agora, os centros estão deslocados. Então, nossos centros serão:
Nossas equações ficarão:
Então, para resolver usaremos o mesmo esquema que para as parábolas:
- Escrever em um sistema de coordenadas , que possui relações
- Achar todos os elementos no sistema considerando um dos casos 1 ou 2.
- Passar do sistema para o nosso tradicional
Ufa!! Mais uma cônica se foi!!
Uhulll! Mas não esquece os exercícios!!!
Esse é o espírito, haha!
Exercício Resolvido #1
Para as elipses dadas, determine os vértices, os focos, a excentricidade . Faça um esboço.
Passo 1
Bora começar a aquecer nossos neurônios sobre elipses!! Hehe
Temos quatro itens cada um com uma expressão de uma elipse e em cada item devemos determinar: vértices, focos, excentricidade e fazer um esboço.
Vamos comerçar!!
Passo 2
a)
Para começarmos esse exercício precisamos colocar a expressão na forma reduzida, ou seja, desse jeito:
Porque assim conseguiremos determinar os valores de e que precisamos para achar os elementos que queremos.
Então, vamos começar!!
Dividindo tudo por , temos:
Como deve ser sempre maior que , então:
Como deve ser maior que e está embaixo do então significa que estamos no caso 1, e teremos uma elipse com o seguinte formato:
Pela figura, conseguimos determinar os focos e vértices
Temos o valor de e , mas para determinar os focos precisamos de . Mas, como vamos achar ?
Para achar vamos usar a seguinte relação das elipses: . Subsituindo os valores de e , temos:
Repare que o resultado seria , porém como e são distânciasnão faz sentido o valor negativo.
Agora sim, temos tudo o que precisamos é só substituir os valores e encontrar os focos, vértices e excentricidade.
E fazendo um esboço, temos:
Passo 3
b)
O passo a passo é o mesmo do item anterior, começamos escrevendo na forma canônica:
Como o maior denominador está sobre o teremos a elipse do mesmo jeito do caso anterior, ou seja, caso 1:
Sendo o maior valor , então:
Utilizando a relação :
Substituindo esses valores a seguir:
Subsituindo, temos:
Esboçando:
Passo 4
c)
Colocando na forma canônica:
Agora, o maior valor do denominador está dividindo o . Isso indica que estamos no CASO 2, assim nossa elipse terá o seguinte formato:
Sabendo que nossa elipse é assim, sabemos que nossos focos e vértices, serão:
Para determina-los precisamos calcular e .
Para encontrar esses valores continuamos a fazer o mesmo procedimento. Assim, o valor de é sempre referente ao maior denominador que é , então:
Usando a relação que é válida para qualquer elipse, temos:
Agora, podemos achar focos, vértices e a excentricidade:
Esboçando:
Passo 5
Ufa!! Só falta mais uma!! Uhuuulll
d)
Colocando na forma canônica:
O maior valor do denominador está devidindo o , logo estamos no CASO 1:
Então, nossos valores de e são:
Tendo os focos, vértices e excentricidade em função de e , temos:
Substituindo:
Para finalizar falta esboçar!!
Terminamooossss!!!
Resposta
a)
b)
c)
d)
Exercício Resolvido #2
Uma elipse, cujo eixo maior é paralelo ao eixo dos , tem centro , excentricidade e eixo menor de medida . Qual a equação desta elipse?
Passo 1
Esse exercício é o inverso do que fizemos antes, ou seja, agora temos vários dados sobre a elipse e queremos determinar sua equação.
Dados:
- Eixo maior é paralelo ao eixo dos
- Centro
- Excentricidade
- Eixo menor de medida , ou seja,
Passo 2
Vamos agora utilizar os dados que tiramos do problema para achar a equação da elipse. Primeiro, em qual dos 3 casos estamos?
Bem, para verificar isso vamos olhar para o centro , nosso centro não está na origem , logo é uma elipse transladada. Estamos no caso 3. Assim, teremos uma das equações abaixo.
Qual delas se encaixa no nosso problema?
Bem, como o enunciado nos diz que o eixo maior é paralelo ao eixo dos , então a equação da nossa elipse tem o seguinte jeitão:
Agora, precisamos encontrar o valor dos parâmetros e . O valor de nós conseguimos saber por meio da informação de que o eixo menor mede , então:
O valor de , achamos pela excentricidade:
Sabendo a relação entre e e a relação , achamos :
Bom, e já achamos, mas e e ?
Para achar esses valoresvamos utilizar a última informação que temos que é referente ao centro da elipse estar em , numa translação, o centro está em:
Portanto,
Passo 3
Agora sim, que temostodos os valores, basta substituirmos na expressão . Sendo:
Teremos:
Arrumando:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade da elipse de equação:
Passo 1
Uhuull!! Mais um problema com elipses!!! Mas, esse é um pouco diferente do que vínhamos fazendo. Precisamos colocar primeiro nossa equação na forma canônica da elipse para então retirarmos as informações que precisamos, que são: centro, vértices, focos e excentricidade.
Passo 2
Para começar, vamos completar quadrados para deixar a expressão na forma reduzida ou canônica da elipse:
Dividindo tudo por :
Pronto!! Chegamos na forma canônica!! Mas, estamos no CASO 3, translação!!
Passo 3
Vamos seguir nossa receita de bolo!! Agora, que já temos a expressão na forma reduzida, vamos passar para o sistema e retirar os dados.
Para passar para o sistema vamos considerar:
Substituindo essas relações, teremos:
Passo 4
Analisando a expressão, percebemos que o maior denominador está sobre o , então isso significa que nosso eixo maior está sobre o eixo , assim estamos no caso 1.
Então, temos que:
E como na elipse temos a relação
Com esses valores conseguimos determinar o que precisamos no sistema . Temos que: