Quádricas

Teoria Completa

Superfícies Quádricas

Até agora, estudamos as cônicas que são figuras bidimensionais. E, o que seria uma cônica tridimensional??

A resposta é: Seriam as QUÁDRICAS!!! Que podemos dizer que são a versão 3D das cônicas. Mas, como são essas quádricas?? Como as definimos??

Relaxa Aí!! Vamos te explicar tudo ;)

Para analisar todos os tipos de quádricas vamos partir da equação geral das quádricas que é:

a x 2 + b y 2 + c z 2 + d x y + e x z + f y z + g x + h y + i z + j = 0        

Para termos uma quádrica um dos coeficientes a , b ,   c ,   d ,   e   ou f devem ser diferente de zero.

Assim, veremos, a seguir, algumas quádricas especiais que são subconjuntos da expressão acima.

  • ELIPSÓIDE: É descrito pela seguinte equação:
  • A equação acima é chamda de Equação Reduzida do elipsóide. A seguir temos a figura de um elipsoide.

    Olhando para a figura acima e para a expressão do elipsóide, conseguimos ver que se um plano cortar o elipsóide teremos uma elipse. Algebricamente podemos ver isso zerando uma das coordenadas, por exemplo, z = 0 :

    x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

    Teremos uma elipse no plano x y . E assim para os outros planos também. Quando zeramos uma das coordenadas e analisamos o formato para cada um dos planos estamos analisando o que chamamos de traço da quádrica.

  • HIPERBOLÓIDE DE UMA FOLHA: A equação é parecida com a do elipsoide. A diferença é a presença de UM sinal negativo em um dos termos quadráticos.
  • A figura de um hiperbolóide de uma folha é:

    O hiperbolóide de uma folha diferentemente do elipsóide dependendo de como cortamos ele obtemos diferentes cônicas. Por exemplo, se considerarmos a expressão:

    - x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1      

    Se x = 0 , teremos a elipse no plano y z :

    y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1      

    Se y = 0 , teremos a hipérbole no plano x z :

    + z 2 c 2 - x 2 a 2 = 1      

    Se z = 0 , teremos uma hipérbole também, mas agora no plano x y :

    + y 2 b 2 - x 2 a 2 = 1

  • HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS: A equação possui dois sinais negativos.
  • A figura está a seguir.

    O hiperbolóide de duas folhas, se formos imaginar é como se pegássemos uma hipérbole e a rotassionássemos. Fazendo a análise do traço para a expressão a seguir teremos:

    - x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 c 2 = 1      

    Se x = 0 , teremos uma hipérbole em y z :

    + y 2 b 2 - z 2 c 2 = 1      

    Se y = 0 , não teremos nenhuma cônica, pois o plano x O z não intercepta a quádrica. Ou seja, teremos o conjunto vazio.

    Se z = 0 , temos uma hipérbole em x y :

    + y 2 b 2 - x 2 a 2 = 1

    DICA: Para você não confundir o hiperbolóide de uma folha com o de duas folhas lembre-se: DUAS folhas igual a DOIS sinais negativos, já o de UMA folha tem UM sinal negativo.

  • PARABOLÓIDE ELÍPTICO: As possíveis equações estão a seguir:
  • Considerando a ≠ b temos o Parabolóide Elíptico. Se a = b , teremos o que chamamos de Parabolóide de Rotação.

    A figura dessa quádrica seria:

    Se considerarmos o parabolóide elíptico a seguir e fizermos a análise do seu traço, teremos:

    x 2 a 2 + y 2 b 2 = c z

    Em x = 0 e y = 0 , teremos parábolas:

    x = 0     y 2 b 2 = c z             e             y = 0             x 2     a 2 = c z

    Se z = 0 , teremos a origem ( 0 ,   0 ,   0 ) .

  • PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO: Termos quadráticos possuem sinais contrários.
  • A figura do parabolóide hiperbólico está a seguir. Note que parece uma sela, por isso, muitas vezes essa quádrica é também chamada de sela.

    Analisando o traço para:

    - x 2 a 2 + y 2 b 2 = c z      

    Se x = 0 ou y = 0 , teremos parábolas:

    x = 0     y 2 b 2 = c z                       y = 0           x 2 a 2 = - c z    

    Se z = 0 , teremos duas retas:

    z = 0       y b + x a = 0           e         y b - x a = 0

    Outra DICA que facilita é que se você está em dúvida se é parabolóide hiperbólico ou elíptico, olhe para os termos quadráticos. Se todos os termos quadráticos forem positivos é como se tivéssemos uma elipse, logo será um parabolóide elíptico. Já se tiver um termo quadrático com sinal negativo, se assemelhará com a equação de uma hipérbole, e assim será um parabolóide hiperbólico. ;)

  • CILINDRO ELÍPTICO: Possui uma das seguintes equações reduzidas:
  • Para fazer a análise do traço é o mesmo procedimento das anteriores. Se considerarmos:

    x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

    Se x = 0 ou y = 0 , temos um par de retas.

    x = 0     y = ± b               y = 0         x = ± a

    Como z é livre, temos que para qualquer valor de z , teremos:

    x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

  • CILÍNDRO HIPERBÓLICO: Possui uma das equações reduzidas a seguir:
  • A imagem é:

    Avaliando o traço para:

    x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1      

    Se x = 0 , temos o conjunto vazio, pois teríamos:

    - y 2 = b 2

    Se y = 0 , temos um par de retas x = ± a .

    Como z é livre para qualquer valor de z teremos uma hipérbole

    x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1      

  • CILÍNDRO PARABÓLICO: A equação reduzida é:
  • Para z = a x 2 :

    • Se x = 0 , teremos o plano z = 0
    • Se z = 0 , teremos ( 0 ,   y ,   0 )
    • Se y = k teremos a parábola z = a x 2
    • CONE ELÍPTICO:

    As equações reduzidas possíveis são:

    Se formos analisar o traço de:

    x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 c 2 = 0    

  • Se x = 0 , teremos quatro retas, pois c 2 y 2 = b 2 z 2
  • Se y = 0 , teremos quatro retas c 2 x 2 = a 2 z 2
  • Se z = 0 , teremos a origem ( 0 ,   0 ,   0 )

Ufaaaa!! Acabou!! Terminamos Quádricas!!

Agora, venha com a gente práticar tudo o que você acabou de aprender nos super exercícios que preparamos para você ;)

Expandir

Exercício Resolvido #1

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 289-1. Modificado.

Identificar as quádricas representadas pelas equações:

  1. 2 x 2 + 4 y 2 + z 2 - 16 = 0
  2. x 2 - 4 y 2 + z 2 = 8
  3. z 2 - 4 x 2 - 4 y 2 = 4