Teoria

Fala aí, seja bem vindo ao Responde Aí! Bora conhecer as superfícies Quadricas?

Superfícies Quadrícas

Existem váarias superfícies quádricas e a gente vai conhecer as mais importantes hoje, além das duas equações!

Superfícies Quadrícas
Superfícies Quadrícas

As superfícies quádricas são descritas pela seguinte equação geral de º grau:

Equação geral das quádricas
Equação geral das quádricas

Onde são variáveis reais e e são constantes reais tais que , ou devem ser diferente de zero. Vamos ver a seguir, algumas quádricas especiais que são variações da expressão geral acima!

📢 Clique para saber mais:

Elipsóide

A elipsóide tem essa carinha aqui:

Elipsóide
Elipsóide

O formato da elipsoide lembra um ovo, ou então o formato da terra que é achatadinho nos extremos! Ela é descrita pela seguinte equação:

Equação reduzida da elipsoide
Equação reduzida da elipsoide

Hiperbolóide De Uma Folha

A hiperbolóide de uma folha tem a equação bem parecida com a da elipsoide, sua única diferença é a presença de um sinal negativo. Saca só:

Equação da hiperbolóide de uma folha
Equação da hiperbolóide de uma folha

Quando plotamos a hiperbolóide de uma folha, ela fica assim:

Hiperbolóide De Uma Folha
Hiperbolóide De Uma Folha

As torres de refrigeração de usinas nucleares tem o formato um hiperbolóide de uma folha. Assim como a Catedral de Brasília!

Exemplos de Hiperbolóide De Uma Folha
Exemplos de Hiperbolóide De Uma Folha

Hiperbolóide De Duas Folhas

Agora, se pegarmos a equação da hiperbolóide de uma folha e adicionarmos mais um sinal negativo, temos uma hiperbolóide de duas folhas!

Equação da hiperbolóide de duas folhas
Equação da hiperbolóide de duas folhas

Ela tem essa carinha aqui:

Hiperbolóide de duas folhas
Hiperbolóide de duas folhas

Quer aprender mais sobre quádricas? Conhecer os outros tipos?! Então se liga nesse vídeo aqui 👇

Parabolóide Elíptico

O formato do Parabolóide elíptico se assemelha a uma rede de pesca!

Parabolóide Elíptico
Parabolóide Elíptico

As possíveis equações estão a seguir:

Considerando temos o Parabolóide Elíptico. Se , teremos o que chamamos de Parabolóide de Rotação.

Parabolóide Hiperbólico

A figura do parabolóide hiperbólico se parece uma cela, então muitas vezes essa quádrica é também chamada de cela.

Parabolóide Hiperbólico ou Cela
Parabolóide Hiperbólico ou Cela

Na sua equação os termos quadráticos possuem sinais contrários:

Equações do parabolóide hiperbólico.
Equações do parabolóide hiperbólico.

Cilindro Elíptico

O Cilindro Elíptico tem o formato de um cilindro achatado pois, ao invés da base ser circular, ele tem uma base elíptica. Possui uma das seguintes equações reduzidas:

Equações do Cilindro Elíptico
Equações do Cilindro Elíptico

Seu gráfico fica assim:

Cilindro Elíptico
Cilindro Elíptico

Cilindro Hiperbólico

Tente imaginar uma hipérbole em 3D, provavelmente você pensará num cilindro hiperbólico:

Cilindro Hiperbólico
Cilindro Hiperbólico

Suas equações reduzidas são:

Cilindro Hiperbólico: Equações
Cilindro Hiperbólico: Equações

Cilindro Parabólico

O cilindro parabólico é como se fosse uma parábola em 3D, assim:

Cilindro Parabólico
Cilindro Parabólico

Suas equações reduzidas podem ser escritas:

Cilindro Parabólico: Equações
Cilindro Parabólico: Equações

Cone Elíptico

E finalmente chegamos na última quadrática! O cilindro elíptico tem essa carinha aqui:

Cone Elíptico
Cone Elíptico

As equações reduzidas possíveis são:

Cone Elíptico: Equações
Cone Elíptico: Equações

Agora vamos praticar com exercícios?

Parabolóide Elíptico

Parabolóide Hiperbólico

Cilindro Elíptico

Cilindro Hiperbólico

Cilindro Parabólico

Cone Elíptico

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Identificar as quádricas representadas pelas equações:

  1. 2 x 2 + 4 y 2 + z 2 - 16 = 0
  2. x 2 - 4 y 2 + z 2 = 8
  3. z 2 - 4 x 2 - 4 y 2 = 4
  4. x 2 + z 2 - 4 y = 0
  5. 4 x 2 - y 2 = z

Passo 1

Bora aquecer os motores?? Vamos começar classificando as quádricas!! O que teremos que fazer nesse exercício é manipular as equações que nos foram dadas de forma a chegar na forma canônica que vimos na teoria. Para facilitar a nossa vida, vamos fazer uma lista com as quádricas que vimos:

Elipsóide

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Hiperboloide de 1 Folha

- x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1       o u       x 2 a 2 - y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1     o u       x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 c 2 = 1

Hiperboloide de 2 Folhas

- x 2 a 2 - y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1       o u         x 2 a 2 - y 2 b 2 - z 2 c 2 = 1       o u     - x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 c 2 = 1

Parabolóide Elíptico

x 2 a 2 + y 2 b 2 = c z       o u     x 2 a 2 + z 2 c 2 = b y         o u           y 2 b 2 + z 2 c 2 = a x

Parabolóide Hiperbólico

- x 2 a 2 + y 2 b 2 = c z       o u   - x 2 a 2 + z 2 c 2 = b y         o u         - y 2 b 2 + z 2 c 2 = a x

Cilindro Elíptico

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1         o u       y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1       o u     x 2 a 2 + z 2 c 2 = 1

Cilindro Hiperbólico

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1       o u       x 2 a 2 - z 2 c 2 = 1     o u   y 2 b 2 - x 2 a 2 = 1     o u       z 2 c 2 - x 2 a 2 = 1

o u     z 2 c 2 - y 2 b 2 = 1         o u         y 2 b 2 - z 2 c 2 = 1

Cilindro Parabólico

z = a x 2       o u     z = b y 2   o u   y = a x 2     o u       y = c z 2     o u     x = b y 2       o u   x = c z 2

Já temos todas as possibilidades listadas acima. Então, é só colocar na forma canônica e dar os nomes ;)

Passo 2

a) 2 x 2 + 4 y 2 + z 2 - 16 = 0

Deixando a constante igual a 1 , teremos:

2 x 2 + 4 y 2 + z 2 - 16 = 0

x 2 8 + y 2 4 + z 2 16 = 1

Olhando na nossa lista acima, temos que essa é a equação de um ELIPSÓIDE.

A primeira já fizemos ;)

Passo 3

b) x 2 - 4 y 2 + z 2 = 8

Novamente, deixando o termo constante igual a 1 , teremos:

x 2 - 4 y 2 + z 2 = 8

x 2 8 - y 2 2 + z 2 8 = 1

Nesse caso temos apenas um termo com sinal negativo. Então, lembrando da nossa dica: UM SINAL NEGATIVO EQUIVALE ao HIPERBOLÓIDE DE UMA FOLHA.

Passo 4

c) z 2 - 4 x 2 - 4 y 2 = 4

Aplicando o mesmo procedimento do anterior:

z 2 - 4 x 2 - 4 y 2 = 4

z 2 4 - x 2 1 - y 2 1 = 1

Agora, temos DOIS sinais negativos no termo quadrático. Então, temos um HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS.

Passo 5

d)   x 2 + z 2 - 4 y = 0

Note que agora temos um termo que não está elevado ao quadrado, então ficaríamos com a expressão:

x 2 + z 2 = 4 y

Pela nossa lista acima temos um PARABOLÓIDE ELÍPTICO.

Passo 6

Ufa!! Só mais uma heheh

e) 4 x 2 - y 2 = z

Só deixando os coeficientes dos termos quadráticos iguais a 1 :

x 2 1 4 - y 2 1 = z

Olhando nossa lista, temos um PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO

Prontinho!! Terminamos!!

Resposta

a )     E l i p s ó i d e

b )   H i p e r b o l ó i d e   d e   u m a   F o l h a

c )   H i p e r b o l ó i d e   d e   d u a s   F o l h a s

d )   P a r a b o l ó i d e   E l í p t i c o

e )   P a r a b o l ó i d e   H i p e r b ó l i c o

Exercício Resolvido #2

Encontrar os pontos de interseção do parabolóide hiperbólico y 2 - x 2 = z com a reta

  x - 2 1 = y - 1 2 = z - 3 3

Passo 1

Para encontrar os pontos de interseção esses pontos devem satisfazer as duas equações:

y 2 - x 2 = z   x - 2 1 = y - 1 2 = z - 3 3

Passo 2

Primeiro, para facilitar nossa análise, vamos passar a equação da reta para a forma paramétrica. Teremos:

x = 2 + t y = 1 + 2 t z = 3 + 3 t

Essas três expressões devem satisfazer

y 2 - x 2 = z

Substituindo:

( 1 + 2 t ) 2 - 2 + t 2 = ( 3 + 3 t )

Resolvendo:

t 2 - t - 2 = 0

t = 2       o u       t = - 1

Passo 3

Tendo os valores de t , vamos substituir nas equações paramétricas e descobrir as coordenadas dos pontos.

Para t = 2 :

x = 2 + 2 = 4 y = 1 + 2.2 = 5 z = 3 + 3.2 = 9

Teremos então o ponto ( 4 ,   5 ,   9 ) .

Para t = - 1 :

x = 2 - 1 = 1 y = 1 - 2 = - 1 z = 3 - 3 = 0

Ponto ( 1 ,   - 1 ,   0 ) .

Encontramos os pontos que interceptam o paraboloide hiperbólico.

4 ,   5 ,   9     e   ( 1 ,   - 1 ,   0 )

Resposta

4 ,   5 ,   9     e   ( 1 ,   - 1 ,   0 )

Exercício Resolvido #3

Encontre as coordenadas dos focos da elipse que resulta da interseção de z = x 2 4 + y 2 9 com

z = 4 .

Passo 1

O enunciado já fala que a interseção do parabolóide elíptico z = x 2 4 + y 2 9 com o plano z = 4 será uma elipse. Então, para achar a elipse resultante basta substituirmos z = 4 na equação do paraboloide. Ficaremos com:

x 2 4 + y 2 9 = 4

Deixando na forma canônica, teremos:

x 2 16 + y 2 36 = 1

Passo 2

Já temos a expressão da elipse, agora, precisamos encontrar as coordenadas dos focos. Lá da teoria de “Cônicas” temos o seguinte resumo:

Como o maior valor do denominador está sobre o y , então realmente estamos no caso em que o eixo maior está sobre o eixo do y .

Vamos então, primeiro retirar os valores que precisamos. Da expressão:

x 2 16 + y 2 36 = 1

Temos que:

a = 6

b = 4

Usando a relação do resumo acima encontramos o valor de c :

c = 36 - 16 = 20 = 2 5

E todas essas contas que fizemos valem para z = 4 ! Então, as coordenadas dos focos da elipse serão:

0 ,   2 5 , 4     e       ( 0 ,   - 2 5 , 4 )

Acabouuuu!!!

Esse tipo de exercício é importante para percebermos como os assuntos estão conectados e que devemos estar com a teoria afiada ;).

Resposta

0 ,   2 5 , 4     e       ( 0 ,   - 2 5 , 4 )

Exercícios de Livros Relacionados

Escolhendo convenientemente os eixos, mostre que a interseção de um plano com uma quádrica central é uma cônica. Em particular, mostre que a interseção de um plano com um elipsoide é uma elipse.
Escreva as equações de mudança de eixos (rotações) que eliminam os termos em x y ,x zey z nas formas quadráticas do Exercício 44.1.
Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y
Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y
Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y