Quádricas
Teoria
Fala aí, seja bem vindo ao Responde Aí! Bora conhecer as superfícies Quadricas?
Superfícies Quadrícas
Existem váarias superfícies quádricas e a gente vai conhecer as mais importantes hoje, além das duas equações!
![Superfícies Quadrícas](https://arquivos.respondeai.com.br/seo/2022/285561c8-e8bf-41f5-90ee-f945f74be162.webp)
As superfícies quádricas são descritas pela seguinte equação geral de
![Equação geral das quádricas](https://arquivos.respondeai.com.br/seo/2022/de9ff1aa-f5ff-41cd-8892-3ffef807a075.webp)
Onde
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Elipsóide
A elipsóide tem essa carinha aqui:
![Elipsóide](https://arquivos.respondeai.com.br/seo/2022/3a7e9fdb-c807-4a4d-9a07-a38909c60d5f.webp)
O formato da elipsoide lembra um ovo, ou então o formato da terra que é achatadinho nos extremos! Ela é descrita pela seguinte equação:
![Equação reduzida da elipsoide](https://arquivos.respondeai.com.br/seo/2022/86e45f53-b999-4380-bb10-cda0b5bb2053.webp)
Hiperbolóide De Uma Folha
A hiperbolóide de uma folha tem a equação bem parecida com a da elipsoide, sua única diferença é a presença de um sinal negativo. Saca só:
![Equação da hiperbolóide de uma folha](https://arquivos.respondeai.com.br/seo/2022/9cec422c-701f-47c2-ad1f-5dba56fe4325.webp)
Quando plotamos a hiperbolóide de uma folha, ela fica assim:
![Hiperbolóide De Uma Folha](https://arquivos.respondeai.com.br/seo/2022/ca6d1fe0-469a-497a-8abd-6838221488bf.webp)
As torres de refrigeração de usinas nucleares tem o formato um hiperbolóide de uma folha. Assim como a Catedral de Brasília!
![Exemplos de Hiperbolóide De Uma Folha](https://arquivos.respondeai.com.br/seo/2022/1c5ed658-734b-44ee-8d26-7e2adbc4228c.webp)
Hiperbolóide De Duas Folhas
Agora, se pegarmos a equação da hiperbolóide de uma folha e adicionarmos mais um sinal negativo, temos uma hiperbolóide de duas folhas!
![Equação da hiperbolóide de duas folhas](https://arquivos.respondeai.com.br/seo/2022/62f8b805-8a2a-4d83-b8a3-835c7a8af19b.webp)
Ela tem essa carinha aqui:
![Hiperbolóide de duas folhas](https://arquivos.respondeai.com.br/seo/2022/d221400a-6e68-42ca-8cae-7bda960ecb0e.webp)
Quer aprender mais sobre quádricas? Conhecer os outros tipos?! Então se liga nesse vídeo aqui 👇
Parabolóide Elíptico
O formato do Parabolóide elíptico se assemelha a uma rede de pesca!
![Parabolóide Elíptico](https://arquivos.respondeai.com.br/seo/2022/654ff2d0-07c8-4715-98f4-70a3bc2664f3.webp)
As possíveis equações estão a seguir:
![](https://arquivos.respondeai.com.br/seo/2022/82f4e9eb-31b1-439c-8f5d-f98cd57f8ae1.webp)
Considerando
Parabolóide Hiperbólico
A figura do parabolóide hiperbólico se parece uma cela, então muitas vezes essa quádrica é também chamada de cela.
![Parabolóide Hiperbólico ou Cela](https://arquivos.respondeai.com.br/seo/2022/84d8bbb3-5f5f-4ee1-a3a3-0a23802b4239.webp)
Na sua equação os termos quadráticos possuem sinais contrários:
![Equações do parabolóide hiperbólico.](https://arquivos.respondeai.com.br/seo/2022/39877dc1-d1fc-45e4-9d57-61847d76c2d7.webp)
Cilindro Elíptico
O Cilindro Elíptico tem o formato de um cilindro achatado pois, ao invés da base ser circular, ele tem uma base elíptica. Possui uma das seguintes equações reduzidas:
![Equações do Cilindro Elíptico](https://arquivos.respondeai.com.br/seo/2022/f7b3d528-9176-488f-9a1a-eab309d4b7e2.webp)
Seu gráfico fica assim:
![Cilindro Elíptico](https://arquivos.respondeai.com.br/seo/2022/683ac82a-88b0-4b20-a896-9e99b08cc2fd.webp)
Cilindro Hiperbólico
Tente imaginar uma hipérbole em 3D, provavelmente você pensará num cilindro hiperbólico:
![Cilindro Hiperbólico](https://arquivos.respondeai.com.br/seo/2022/4d4cdb6a-5490-4483-ab07-9e67e0248ba3.webp)
Suas equações reduzidas são:
![Cilindro Hiperbólico: Equações](https://arquivos.respondeai.com.br/seo/2022/b6ea3bd5-8d85-4889-80c3-11614c75c582.webp)
Cilindro Parabólico
O cilindro parabólico é como se fosse uma parábola em 3D, assim:
![Cilindro Parabólico](https://arquivos.respondeai.com.br/seo/2022/33781c50-bd1d-4be3-a517-55a4da633b22.webp)
Suas equações reduzidas podem ser escritas:
![Cilindro Parabólico: Equações](https://arquivos.respondeai.com.br/seo/2022/adc41dac-a6fb-4ba9-aab8-17e0d8eacbc2.webp)
Cone Elíptico
E finalmente chegamos na última quadrática! O cilindro elíptico tem essa carinha aqui:
![Cone Elíptico](https://arquivos.respondeai.com.br/seo/2022/1269b2d2-de05-4b41-b81f-debe6f61fe7b.webp)
As equações reduzidas possíveis são:
![Cone Elíptico: Equações](https://arquivos.respondeai.com.br/seo/2022/a21b1beb-bc96-46c8-be79-a1e85e539589.webp)
Agora vamos praticar com exercícios?
Parabolóide Elíptico
Parabolóide Hiperbólico
Cilindro Elíptico
Cilindro Hiperbólico
Cilindro Parabólico
Cone Elíptico
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 289-1. Modificado.
Identificar as quádricas representadas pelas equações:
Passo 1
Bora aquecer os motores?? Vamos começar classificando as quádricas!! O que teremos que fazer nesse exercício é manipular as equações que nos foram dadas de forma a chegar na forma canônica que vimos na teoria. Para facilitar a nossa vida, vamos fazer uma lista com as quádricas que vimos:
Elipsóide
Hiperboloide de 1 Folha
Hiperboloide de 2 Folhas
Parabolóide Elíptico
Parabolóide Hiperbólico
Cilindro Elíptico
Cilindro Hiperbólico
Cilindro Parabólico
Já temos todas as possibilidades listadas acima. Então, é só colocar na forma canônica e dar os nomes ;)
Passo 2
a)
Deixando a constante igual a , teremos:
Olhando na nossa lista acima, temos que essa é a equação de um ELIPSÓIDE.
A primeira já fizemos ;)
Passo 3
b)
Novamente, deixando o termo constante igual a , teremos:
Nesse caso temos apenas um termo com sinal negativo. Então, lembrando da nossa dica: UM SINAL NEGATIVO EQUIVALE ao HIPERBOLÓIDE DE UMA FOLHA.
Passo 4
c)
Aplicando o mesmo procedimento do anterior:
Agora, temos DOIS sinais negativos no termo quadrático. Então, temos um HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS.
Passo 5
d)
Note que agora temos um termo que não está elevado ao quadrado, então ficaríamos com a expressão:
Pela nossa lista acima temos um PARABOLÓIDE ELÍPTICO.
Passo 6
Ufa!! Só mais uma heheh
e)
Só deixando os coeficientes dos termos quadráticos iguais a :
Olhando nossa lista, temos um PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO
Prontinho!! Terminamos!!
Resposta
Exercício Resolvido #2
UFF, Lista 5 – Geometria Analítica e Cálculo Vetorial, pág 1, ex. 3
Encontrar os pontos de interseção do parabolóide hiperbólico com a reta
Passo 1
Para encontrar os pontos de interseção esses pontos devem satisfazer as duas equações:
Passo 2
Primeiro, para facilitar nossa análise, vamos passar a equação da reta para a forma paramétrica. Teremos:
Essas três expressões devem satisfazer
Substituindo:
Resolvendo:
Passo 3
Tendo os valores de , vamos substituir nas equações paramétricas e descobrir as coordenadas dos pontos.
Para :
Teremos então o ponto .
Para :
Ponto .
Encontramos os pontos que interceptam o paraboloide hiperbólico.
Resposta
Exercício Resolvido #3
UFF, Lista 5 – Geometria Analítica e Cálculo Vetorial, pág 2, ex. 4
Encontre as coordenadas dos focos da elipse que resulta da interseção de com
.
Passo 1
O enunciado já fala que a interseção do parabolóide elíptico com o plano será uma elipse. Então, para achar a elipse resultante basta substituirmos na equação do paraboloide. Ficaremos com:
Deixando na forma canônica, teremos:
Passo 2
Já temos a expressão da elipse, agora, precisamos encontrar as coordenadas dos focos. Lá da teoria de “Cônicas” temos o seguinte resumo:
Como o maior valor do denominador está sobre o , então realmente estamos no caso em que o eixo maior está sobre o eixo do .
Vamos então, primeiro retirar os valores que precisamos. Da expressão:
Temos que:
Usando a relação do resumo acima encontramos o valor de :
E todas essas contas que fizemos valem para ! Então, as coordenadas dos focos da elipse serão:
Acabouuuu!!!
Esse tipo de exercício é importante para percebermos como os assuntos estão conectados e que devemos estar com a teoria afiada ;).