Quádricas

Teoria Completa

Introdução

Já parou pra pensar sobre como é feito os vidros de formatos curvos e elegantes?

As grandes empresas, para produzir em massa esses copos e jarros, utilizam como base do processo de criação dos moldes desses vidros, uma teoria muito interessante que iremos estudar neste tópico, as QUÁDRICAS!

Quádricas são figuras tridimensionais que estão presentes no nosso cotidiano mais do que conseguimos reparar! Corpos curvos em geral são quádricas, mas algumas se destacam por suas características matemáticas.

Mas vamos com calma, primeiro vamos generalizar a ideia de quádricas!

Superfícies Quádricas

Observe a figura abaixo:

A imagem mostra vários tipos de quádricas. Algumas delas lembram parábolas, elipses e hipérboles, mas não se enganem! Parábola, elipse e hipérbole são cônicas! Existe uma relação entre algumas quádricas e cônicas (vamos explicar mais pra frente) mas cônicas se tratam de formas no plano (2 dimensões) e quadráticas no espaço (3 dimensões)!

Para analisar todos os tipos de quádricas vamos partir da equação geral das quádricas que é:

a x 2 + b y 2 + c z 2 + d x y + e x z + f y z + g x + h y + i z + j = 0        

Todas as cônicas podem ser escritas através dessa equação! Para termos uma quádrica um dos coeficientes a , b ,   c ,   d ,   e   ou f deve ser diferente de zero. Por exemplo, alguns exemplos de quádricas que veremos mais adiante:

y ² - 4 y + z ² + 3 z - 1 = 0

- x 2 - x + y 2 + 3 y + z 2 - 5 z - 71 16 = 0

Vamos ver a seguir, algumas quádricas especiais que são variações da expressão geral acima.

ELIPSÓIDE:

Uma boa maneira de imaginar um elipsóide é pensando num ovo. A aproximação da forma irregular da Terra também é um elipsóide.

É descrito pela seguinte equação:

A equação acima é chamada de Equação Reduzida do elipsóide.

A seguir temos a figura de um elipsóide.

HIPERBOLÓIDE DE UMA FOLHA:

As torres de refrigeração de usinas nucleares tem o formato um hiperbolóide de uma folha. Assim como a Catedral de Brasília.

A equação é parecida com a do elipsóide. A diferença é a presença de UM sinal negativo em um dos termos quadráticos.

A figura de um hiperbolóide de uma folha é:

HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS:

Aplicações do hiperbolóide de duas folhas é usado em radiotelescópios e telescópios refletores.

A equação possui dois sinais negativos.

A figura está a seguir.

O hiperbolóide de duas folhas, se formos imaginar é como se pegássemos uma hipérbole e a rotassionássemos, beleza?!

DICA: Para você não confundir o hiperbolóide de uma folha com o de duas folhas lembre-se: DUAS folhas igual a DOIS sinais negativos, já o de UMA folha tem UM sinal negativo.

PARABOLÓIDE ELÍPTICO:

O formato se assemelha a uma rede de pesca

As possíveis equações estão a seguir:

Considerando a ≠ b temos o Parabolóide Elíptico. Se a = b , teremos o que chamamos de Parabolóide de Rotação.

A figura dessa quádrica seria:

PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO:

Possui o formato de uma cela de cavalo:

Termos quadráticos possuem sinais contrários.

A figura do parabolóide hiperbólico está a seguir. Como parece uma cela, muitas vezes essa quádrica é também chamada de cela.

Outra DICA que facilita é que se você está em dúvida se é parabolóide hiperbólico ou elíptico, olhe para os termos quadráticos. Se todos os termos quadráticos forem positivos é como se tivéssemos uma elipse, logo será um parabolóide elíptico. Já se tiver um termo quadrático com sinal negativo, se assemelhará com a equação de uma hipérbole, e assim será um parabolóide hiperbólico. ;)

CILINDRO ELÍPTICO:

Tem o formato de um cilindro achatado pois, ao invés da base sere circular, ele tem uma base elíptica. Possui uma das seguintes equações reduzidas:

CILÍNDRO HIPERBÓLICO:

Tente imaginar uma hipérbole em 3D, provavelmente você pensará num cilindro hiperbólico

Possui uma das equações reduzidas a seguir:

A imagem é:

CILINDRO PARABÓLICO:

Tente imaginar uma parábola em 3D, será seu cilindro parabólico!

A equação reduzida é:

CONE ELÍPTICO:

Chegamos na tão famosa ampulheta!

As equações reduzidas possíveis são:

Traço de uma Quádrica

Ok, lembra do elipsóide?

Nessa figura o eixo z é o azul. Imagina se olharmos o elipsóide de cima, ou seja anulando o eixo z:

Uma elipse né?

Agora algebricamente, vamos zerar a coordenada z na equação. A equação do elipsóide era:

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Zerando a coordenada z temos:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Também obtemos a equação de uma elipse não é mesmo? Uma elipse no plano x y . E assim para os outros planos também. Quando zeramos uma das coordenadas e analisamos o formato para cada um dos planos estamos analisando o que chamamos de traço da quádrica.

Legal né? podemos fazer isso com todas as quádricas, dependendo do traço que analisarmos e da quádrica podemos obter: cônica, retas, pontos, conjuntos vazios… Há várias possibilidades .

Ufaaaa!! Acabou!! Terminamos Quádricas!!

Agora, venha com a gente praticar tudo o que você acabou de aprender nos super exercícios que preparamos para você ;)

Expandir

Exercício Resolvido #1

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 289-1. Modificado.

Identificar as quádricas representadas pelas equações:

  1. 2 x 2 + 4 y 2 + z 2 - 16 = 0
  2. x 2 - 4 y 2 + z 2 = 8
  3. z 2 - 4 x 2 - 4 y 2 = 4
  4. x 2 + z 2 - 4 y = 0
  5. 4 x 2 - y 2 = z
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bora aquecer os motores?? Vamos começar classificando as quádricas!! O que teremos que fazer nesse exercício é manipular as equações que nos foram dadas de forma a chegar na forma canônica que vimos na teoria. Para facilitar a nossa vida, vamos fazer uma lista com as quádricas que vimos:

Elipsóide

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Hiperboloide de 1 Folha

- x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1       o u       x 2 a 2 - y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1     o u       x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 c 2 = 1

Hiperboloide de 2 Folhas

- x 2 a 2 - y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1       o u         x 2 a 2 - y 2 b 2 - z 2 c 2 = 1       o u     - x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 c 2 = 1

Parabolóide Elíptico

x 2 a 2 + y 2 b 2 = c z       o u     x 2 a 2 + z 2 c 2 = b y         o u           y 2 b 2 + z 2 c 2 = a x

Parabolóide Hiperbólico

- x 2 a 2 + y 2 b 2 = c z       o u   - x 2 a 2 + z 2 c 2 = b y         o u         - y 2 b 2 + z 2 c 2 = a x

Cilindro Elíptico

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1         o u       y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1       o u     x 2 a 2 + z 2 c 2 = 1

Cilindro Hiperbólico

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1       o u       x 2 a 2 - z 2 c 2 = 1     o u   y 2 b 2 - x 2 a 2 = 1     o u       z 2 c 2 - x 2 a 2 = 1

o u     z 2 c 2 - y 2 b 2 = 1         o u         y 2 b 2 - z 2 c 2 = 1

Cilindro Parabólico

z = a x 2       o u     z = b y 2   o u   y = a x 2     o u       y = c z 2     o u     x = b y 2       o u   x = c z 2

Já temos todas as possibilidades listadas acima. Então, é só colocar na forma canônica e dar os nomes ;)

Passo 2

a) 2 x 2 + 4 y 2 + z 2 - 16 = 0

Deixando a constante igual a 1 , teremos:

2 x 2 + 4 y 2 + z 2 - 16 = 0

x 2 8 + y 2 4 + z 2 16 = 1

Olhando na nossa lista acima, temos que essa é a equação de um ELIPSÓIDE.

A primeira já fizemos ;)

Passo 3

b) x 2 - 4 y 2 + z 2 = 8

Novamente, deixando o termo constante igual a 1 , teremos:

x 2 - 4 y 2 + z 2 = 8

x 2 8 - y 2 2 + z 2 8 = 1

Nesse caso temos apenas um termo com sinal negativo. Então, lembrando da nossa dica: UM SINAL NEGATIVO EQUIVALE ao HIPERBOLÓIDE DE UMA FOLHA.

Passo 4

c) z 2 - 4 x 2 - 4 y 2 = 4

Aplicando o mesmo procedimento do anterior:

z 2 - 4 x 2 - 4 y 2 = 4

z 2 4 - x 2 1 - y 2 1 = 1

Agora, temos DOIS sinais negativos no termo quadrático. Então, temos um HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS.

Passo 5

d)   x 2 + z 2 - 4 y = 0

Note que agora temos um termo que não está elevado ao quadrado, então ficaríamos com a expressão:

x 2 + z 2 = 4 y

Pela nossa lista acima temos um PARABOLÓIDE ELÍPTICO.

Passo 6

Ufa!! Só mais uma heheh

e) 4 x 2 - y 2 = z

Só deixando os coeficientes dos termos quadráticos iguais a 1 :

x 2 1 4 - y 2 1 = z

Olhando nossa lista, temos um PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO

Prontinho!! Terminamos!!

Resposta

a )     E l i p s ó i d e

b )   H i p e r b o l ó i d e   d e   u m a   F o l h a

c )   H i p e r b o l ó i d e   d e   d u a s   F o l h a s

d )   P a r a b o l ó i d e   E l í p t i c o

e )   P a r a b o l ó i d e   H i p e r b ó l i c o

Exercício Resolvido #2

UFF, Lista 5 – Geometria Analítica e Cálculo Vetorial, pág 1, ex. 3

Encontrar os pontos de interseção do parabolóide hiperbólico y 2 - x 2 = z com a reta

  x - 2 1 = y - 1 2 = z - 3 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para encontrar os pontos de interseção esses pontos devem satisfazer as duas equações:

y 2 - x 2 = z   x - 2 1 = y - 1 2 = z - 3 3

Passo 2

Primeiro, para facilitar nossa análise, vamos passar a equação da reta para a forma paramétrica. Teremos:

x = 2 + t y = 1 + 2 t z = 3 + 3 t

Essas três expressões devem satisfazer

y 2 - x 2 = z

Substituindo:

( 1 + 2 t ) 2 - 2 + t 2 = ( 3 + 3 t )

Resolvendo:

t 2 - t - 2 = 0

t = 2       o u       t = - 1

Passo 3

Tendo os valores de t , vamos substituir nas equações paramétricas e descobrir as coordenadas dos pontos.

Para t = 2 :

x = 2 + 2 = 4 y = 1 + 2.2 = 5 z = 3 + 3.2 = 9

Teremos então o ponto ( 4 ,   5 ,   9 ) .

Para t = - 1 :

x = 2 - 1 = 1 y = 1 - 2 = - 1 z = 3 - 3 = 0

Ponto ( 1 ,   - 1 ,   0 ) .

Encontramos os pontos que interceptam o paraboloide hiperbólico.

4 ,   5 ,   9     e   ( 1 ,   - 1 ,   0 )

Resposta

4 ,   5 ,   9     e   ( 1 ,   - 1 ,   0 )

Exercício Resolvido #3

UFF, Lista 5 – Geometria Analítica e Cálculo Vetorial, pág 2, ex. 4

Encontre as coordenadas dos focos da elipse que resulta da interseção de z = x 2 4 + y 2 9 com

z = 4 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O enunciado já fala que a interseção do parabolóide elíptico z = x 2 4 + y 2 9 com o plano z = 4 será uma elipse. Então, para achar a elipse resultante basta substituirmos z = 4 na equação do paraboloide. Ficaremos com:

x 2 4 + y 2 9 = 4

Deixando na forma canônica, teremos:

x 2 16 + y 2 36 = 1

Passo 2

Já temos a expressão da elipse, agora, precisamos encontrar as coordenadas dos focos. Lá da teoria de “Cônicas” temos o seguinte resumo:

Como o maior valor do denominador está sobre o y , então realmente estamos no caso em que o eixo maior está sobre o eixo do y .

Vamos então, primeiro retirar os valores que precisamos. Da expressão:

x 2 16 + y 2 36 = 1

Temos que:

a = 6

b = 4

Usando a relação do resumo acima encontramos o valor de c :

c = 36 - 16 = 20 = 2 5

E todas essas contas que fizemos valem para z = 4 ! Então, as coordenadas dos focos da elipse serão:

0 ,   2 5 , 4     e       ( 0 ,   - 2 5 , 4 )

Acabouuuu!!!

Esse tipo de exercício é importante para percebermos como os assuntos estão conectados e que devemos estar com a teoria afiada ;).

Resposta

0 ,   2 5 , 4     e       ( 0 ,   - 2 5 , 4 )

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