Superfícies

Teoria Completa

Você já imaginou se pegássemos uma curva, por exemplo, uma parábola e nela colocássemos um conjunto de retas paralelas, qual superfície obteríamos??

Não sabe, ou nem consegue imaginar??

Relaxa Aíii!! Vamos te ensinar direitinho como são formadas as superfícies cilíndricas, cônicas e de revolução ;).

Superfícies Cilíndricas

A gente forma a superfície cilíndrica com um conjunto de retas paralelas a uma reta r , chamadas de geratriz, que contém algum ponto da curva Γ , chamada de diretriz. Se você der uma olhada na figura ai embaixo, repara que todas as retas paralelas à r (em rosa) tem um ponto em comum com a reta diretriz (em azul) e é isso que vai definir a nossa superfície cilíndrica!

Ainda tá um pouco confuso??

Vamos te ensinar o passo a passo de como obter a equação da superfície!!

Considerando a diretriz Γ e geratrizes paralelas a r , sendo r → = ( m , n , p ) um vetor diretor de r e

Γ : f x ,   y , z = 0 g x ,   y ,   z = 0

Pela definição, temos que um ponto X = ( x , y , z ) pertence à superfície se, e somente se, existem um ponto Q = ( u , v , w ) de   Γ e um número real λ tal que X Q → = λ r → . Podemos então escrever que:

u = x + λ m v = y + λ n w = z + λ p

Para garantir que X pertence à superfície, então existe um número real λ tal que

f x + λ m ,   y + λ n , z + λ p = 0 g x + λ m ,   y + λ n , z + λ p = 0

Pronto!! Com as duas relações acima conseguimos encontrar a equação da superfície cilíndrica!!

Vamos ver um exemplo para ficar mais claro!

Exemplo:

Vamos achar a equação da superfície cilíndrica de diretriz Γ : x + 1 2 + y 2 + z 2 = 6 y = 0 e reta   r : x = 2 λ y = λ z = 2 + λ .

Beleza, a primeira coisa que faremos é escrever Γ igual a sua equação original Γ : f x ,   y , z = 0 g x ,   y ,   z = 0

Vai ficar assim, ô

Γ : f x ,   y , z = x + 1 2 + y 2 + z 2 - 6 = 0 g x ,   y ,   z = y = 0       ( I )

Da equação de r , temos que   r   → = 2 ,   1 ,   1 = ( m ,   n ,   p ) . Substituindo isso em

f x + λ m ,   y + λ n , z + λ p = 0 g x + λ m ,   y + λ n , z + λ p = 0

Temos que,

f x + 2 λ ,   y + λ , z + λ = 0 g x + 2 λ ,   y + λ , z + λ = 0       ( I I )

Agora, vamos substituir ( I I ) em ( I ) para achar a bendita equação da superfície cilíndrica!

x + 2 λ + 1 2 + y + λ 2 + z + λ 2 = 6   ( i ) y + λ = 0   ( i i )

De ( i i ) tiramos que y = - λ . Substituindo isso em ( i ) e simplificando, obtemos:

x - 2 y + 1 2 + z - y 2 = 6

Que é a equação da superfície cilíndrica!!!! UHULLLLL

Viu só?? Os exercícios são bem mais simples do que a teoria!

Superfícies Cônicas

A superfície cônica vai ser definida pelo conjunto de retas, chamadas de geratriz, que contém o vértice ( V ) e algum ponto de Γ , chamada de diretriz. Reparem que Γ NÃO contém o vértice!

Como fizemos anteriormente, vamos explicar como obter as equações da superfície!!

Considerando uma superfície cônica de diretriz Γ e vértice V sendo V = ( h ,   k ,   l ) e

Γ : f x ,   y , z = 0 g x ,   y ,   z = 0

Pela definição, um ponto X = ( x ,   y ,   z ) , distinto de V , pertence à superfície se, e somente se, existe um ponto Q = ( u ,   v ,   w ) em Γ e λ ≠ 0 tais que V Q → = λ V X → . Escrevendo com equações paramétricas, temos

u = h + λ ( x - h ) v = k + λ ( y - k ) w = l + λ ( z - l )

Assim, X pertence à superfície se, e somente se, X = V ou existe um número real λ ≠ 0 tal que

f h + λ ( x - h ) ,   k + λ ( y - k ) , l + λ ( z - l ) = 0 g h + λ ( x - h ) ,   k + λ ( y - k ) , l + λ ( z - l ) = 0

Com as duas equações acima conseguimos determinar a equação da superfície cônica!! ;)

Vamos ver um exemplo!

Exemplo:

Ache a equação da supérfie cônica com V = ( 2 ,   1 ,   3 ) e diretriz   Γ : z 2 + y 2 = 4 x = 0 .

Vamos resolver igualzinho o da superfície cilíndrica!

Então, vamos escrever a equação da diretriz que nem a sua forma original,

Γ : f x ,   y , z = z 2 + y 2 - 4 = 0 g x ,   y ,   z = x = 0     ( I )

Como o vértice é 2 ,   1,3 = h ,   k , l , vamos substituir em

f h + λ ( x - h ) ,   k + λ ( y - k ) , l + λ ( z - l ) = 0 g h + λ ( x - h ) ,   k + λ ( y - k ) , l + λ ( z - l ) = 0

E ficaremos com:

f 2 + λ ( x - 2 ) ,   1 + λ ( y - 1 ) , 3 + λ ( z - 3 ) = 0 g 2 + λ ( x - 2 ) ,   1 + λ ( y - 1 ) , 3 + λ ( z - 3 ) = 0     ( I I )

Substituindo ( I I ) em ( I ) , temos

3 + λ z - 3 2 + [ 1 + λ y - 1 ] 2 = 4   ( i ) 2 + λ x - 2 = 0   ( i i )

De i i tiramos que λ = - 2 x - 2 . Substituindo essa relação em ( i ) e simplificando, obtemos:

3 x - 2 z 2 + x - 2 y 2 - 4 x - 2 2 = 0

E essa é a equação da nossa superfície cônica!!!! YEYYYY

Estamos quase terminando a teoria!! Para finalizar vamos falar sobre superfície de revolução!!

Superfícies de Revolução

As superfícies de revolução estão muito presentes no nosso dia a dia e nós as vemos sempre! Um exemplo de superfície de revolução é a superfície esférica, que pode ser formada rotacionando uma semi circunferência (arco de 180 ° ) em torno de um eixo.

Agora vamos definir o que são essas superfícies! Olhando na figura abaixo, a superfície de revolução é definida pelo conjunto de circunferências, cujos centros pertencem à r e interceptam Γ . Ou seja, é a superfície formada pela rotação de uma curva ( Γ ) em torno de r .

Reparem que as circunferências estão em planos perpendiculares à r , como o plano π em verde, mostrado no segundo desenho.

Nessa superfície Γ se chama geratriz e r agora será o eixo de rotação ou eixo de simetria.

Assim, para obter as equações da superfície gerada pela rotação de Γ em torno de r vamos considerar que:

  • Considerando C = ( h , k , l ) um ponto pertencente a r .
  • r → = ( m , n , p ) o vetor diretor de r

E que

Γ : f x ,   y , z = 0 g x ,   y ,   z = 0

Para encontrar a equação da superfície devemos satisfazer todas as regras da definição:

1- Um ponto X = ( x ,   y ,   z ) pertence à superfície se, e somente se, X pertence a um paralelo que intercepta Γ em Q = ( u ,   v ,   w ) .

2- O paralelo é a interseção do plano que contém Q e é perpendicular a r , π : m x + n y + p z = λ , com a superfície esférica de centro C que contém Q , ou seja, S : ( x - h ) 2 + ( y - k ) 2 + ( z - l ) 2 = μ 2 . Logo, X pertence a superfície se, e somente se, existem números reais u ,   v ,   w ,   λ e   μ tais que μ ≥ 0 e

m x + n y + p z = λ ( x - h ) 2 + ( y - k ) 2 + ( z - l ) 2 = μ 2