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Superfícies

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Teoria

Você já imaginou se pegássemos uma curva, por exemplo, uma parábola e nela colocássemos um conjunto de retas paralelas, qual superfície obteríamos??

Não sabe ou nem consegue imaginar?? E se eu te dissesse que você já conhece vários tipos de superfícies? Por exemplo, rolos de papel higiênico é um exemplo perfeito para as superfícies cilíndricas, um chapéu de festa de aniversário é uma superfície cônica e aqueles corpos curvilíneos são um exemplo de superfícies de revolução!

Ok, mas o que são de fato as superfícies cilíndricas, cônicas e de revolução? Como representar essas superfícies algebricamente?

Relaxa Aí!! Vamos te ensinar direitinho como são formadas as superfícies cilíndricas, cônicas e de revolução ;).

Superfícies Cilíndricas

Para a gente forma a superfície cilíndrica, precisamos primeiro de uma diretriz, ou seja, uma curva que vamos usar de base para a superfície cilíndrica.

Para criar a superfície de fato, precisamos de um conjunto de retas paralelas a uma reta r , chamadas de geratriz, que contém algum ponto da curva Γ :

Se você der uma olhada na figura acima, repara que todas as retas paralelas à r (em rosa) tem um ponto em comum com a reta diretriz (em azul) e é isso que vai definir a nossa superfície cilíndrica!

Ainda tá um pouco confuso??

Vamos te ensinar o passo a passo de como obter a equação da superfície!!

Considerando a diretriz Γ e geratrizes paralelas a r , sendo r → = ( m , n , p ) um vetor diretor de r e

Γ : f x ,   y , z = 0 g x ,   y ,   z = 0

Pela definição, temos que um ponto X = ( x , y , z ) pertence à superfície se, e somente se, existem um ponto Q = ( u , v , w ) de   Γ e um número real λ tal que X Q → = λ r → . Podemos então escrever que:

u = x + λ m v = y + λ n w = z + λ p

Para garantir que X pertence à superfície, então existe um número real λ tal que

f x + λ m ,   y + λ n , z + λ p = 0 g x + λ m ,   y + λ n , z + λ p = 0

Pronto!! Com as duas relações acima conseguimos encontrar a equação da superfície cilíndrica!!

Vamos ver um exemplo para ficar mais claro!

Exemplo:

Vamos achar a equação da superfície cilíndrica de diretriz Γ : x + 1 2 + y 2 + z 2 = 6 y = 0   e reta   r : x = 2 λ y = λ z = 2 + λ .

Beleza, a primeira coisa que faremos é Γ igual a sua equação original

Γ : f x ,   y , z = 0 g x ,   y ,   z = 0

Vai ficar assim, ô

Γ : f x ,   y , z = x + 1 2 + y 2 + z 2 - 6 = 0 g x ,   y ,   z = y = 0       ( I )

Da equação de r , temos que   r   → = 2 ,   1 ,   1 = ( m ,   n ,   p ) . Substituindo isso em

f x + λ m ,   y + λ n , z + λ p = 0 g x + λ m ,   y + λ n , z + λ p = 0

Temos que,

f x + 2 λ ,   y + λ , z + λ = 0 g x + 2 λ ,   y + λ , z + λ = 0       ( I I )

Agora, vamos substituir ( I I ) em ( I ) para achar a bendita equação da superfície cilíndrica!

x + 2 λ + 1 2 + y + λ 2 + z + λ 2 = 6   ( i ) y + λ = 0   ( i i )

De ( i i ) tiramos que y = - λ . Substituindo isso em ( i ) e simplificando, obtemos:

x - 2 y + 1 2 + z - y 2 = 6

Que é a equação da superfície cilíndrica!!!! UHULLLLL

Viu só?? Os exercícios são bem mais simples do que a teoria!

Superfícies Cônicas

Para gerar uma superfície cônica vamos precisar novamente de uma diretriz, mas além disso também vamos precisar de um Vértice ( V ) :

A superfície cônica vai ser definida pelo conjunto de retas, chamadas de geratriz, que contém o vértice V e algum ponto de Γ , chamada de. Reparem que Γ NÃO contém o vértice!

Como fizemos anteriormente, vamos explicar como obter as equações da superfície!!

Considerando uma superfície cônica de diretriz Γ e vértice V sendo V = ( h ,   k ,   l ) e

Γ : f x ,   y , z = 0 g x ,   y ,   z = 0

Pela definição, um ponto X = ( x ,   y ,   z ) , distinto de V , pertence à superfície se, e somente se, existe um ponto Q = ( u ,   v ,   w ) em Γ e λ ≠ 0 tais que V Q → = λ V X → . Escrevendo com equações paramétricas, temos

u = h + λ ( x - h ) v = k + λ ( y - k ) w = l + λ ( z - l )

Assim, X pertence à superfície se, e somente se, X = V ou existe um número real λ ≠ 0 tal que

f h + λ ( x - h ) ,   k + λ ( y - k ) , l + λ ( z - l ) = 0 g h + λ ( x - h ) ,   k + λ ( y - k ) , l + λ ( z - l ) = 0

Com as duas equações acima conseguimos determinar a equação da superfície cônica!! ;)

Vamos ver um exemplo!

Exemplo:

Ache a equação da superfície cônica com V = ( 2 ,   1 ,   3 ) e diretriz Γ : z 2 + y 2 = 4 x = 0 .

Vamos resolver igualzinho o da superfície cilíndrica!

Então, vamos escrever a equação da diretriz que nem a sua forma original,

Γ : f x ,   y , z = z 2 + y 2 - 4 = 0 g x ,   y ,   z = x = 0     ( I )

Como o vértice é 2 ,   1,3 = h ,   k , l , vamos substituir em

f h + λ x - h ,   k + λ y - k , l + λ z - l = 0 g h + λ x - h ,   k + λ y - k , l + λ z - l = 0

E ficaremos com:

f 2 + λ ( x - 2 ) ,   1 + λ ( y - 1 ) , 3 + λ ( z - 3 ) = 0 g 2 + λ ( x - 2 ) ,   1 + λ ( y - 1 ) , 3 + λ ( z - 3 ) = 0     ( I I )

Substituindo ( I I ) em ( I ) , temos

3 + λ z - 3 2 + [ 1 + λ y - 1 ] 2 = 4   ( i ) 2 + λ x - 2 = 0   ( i i )

De i i tiramos que λ = - 2 x - 2 . Substituindo essa relação em ( i ) e simplificando, obtemos:

3 x - 2 z 2 + x - 2 y 2 - 4 x - 2 2 = 0

E essa é a equação da nossa superfície cônica!!!! YEYYYY

Estamos quase terminando a teoria!! Para finalizar vamos falar sobre superfície de revolução!!

Superfícies de Revolução

As superfícies de revolução estão muito presentes no nosso dia a dia e nós as vemos sempre!

Um exemplo de superfície de revolução diferente do já citado no inicio é a superfície esférica, que pode ser formada rotacionando uma semi circunferência (arco de 180 ° ) em torno de um eixo.

Agora vamos definir o que são essas superfícies! Olhando na figura abaixo, a superfície de revolução é definida pelo conjunto de circunferências, cujos centros pertencem à r e interceptam Γ . Ou seja, é a superfície formada pela rotação de uma curva ( Γ ) em torno de r .

Reparem que as circunferências estão em planos perpendiculares à r , como o plano π em verde, mostrado no segundo desenho.

Nessa superfície Γ se chama geratriz e r agora será o eixo de rotação ou eixo de simetria.

Assim, para obter as equações da superfície gerada pela rotação de Γ em torno de r vamos considerar que:

  • Considerando C = ( h , k , l ) um ponto pertencente a r .
  • r → = ( m , n , p ) o vetor diretor de r

E que

Γ : f x ,   y , z = 0 g x ,   y ,   z = 0

Para encontrar a equação da superfície devemos satisfazer todas as regras da definição:

1- Um ponto X = ( x ,   y ,   z ) pertence à superfície se, e somente se, X pertence a um paralelo que intercepta Γ em Q = ( u ,   v ,   w ) .

2- O paralelo é a interseção do plano que contém Q e é perpendicular a r , π : m x + n y + p z = λ , com a superfície esférica de centro C que contém Q , ou seja, S : ( x - h ) 2 + ( y - k ) 2 + ( z - l ) 2 = μ 2 . Logo, X pertence a superfície se, e somente se, existem números reais u ,   v ,   w ,   λ e   μ tais que μ ≥ 0 e

m x + n y + p z = λ ( x - h ) 2 + ( y - k ) 2 + ( z - l ) 2 = μ 2

f x ,   y , z = 0 g x ,   y ,   z = 0

Com as quatro relações acima devemos encontrar uma relação entre φ λ ,   μ = 0 de forma que conseguimos escrever a equação da superfície apenas em função de x , y e z .

Vamos fazer um exemplinho!

Exemplo:

Vamos achar a equação da superfície de revolução com Γ : x 2 + z 2 = 4 z + y = 0 , eixo de simetria r : x = 2 α y = 1 + α z = α e centro C = ( 0 ,   1 ,   0 ) .

A resolução desse exercício é um pouco diferente dos outros que fizemos, mas também é bem tranquila! Olha só:

Vamos escrever Γ na sua forma original

f x ,   y , z = x 2 + z 2 - 4 = 0 g x ,   y ,   z = z + y = 0

Sabemos que C = 0 ,   1 ,   0 = ( h ,   k ,   l ) e   r   → = 2 ,   1 ,   1 = ( m ,   n ,   p ) . Com isso escrevemos a relação

m x + n y + p z = λ ( x - h ) 2 + ( y - k ) 2 + ( z - l ) 2 = μ 2

Que fica:

2 x + y + z = λ x 2 + ( y - 1 ) 2 + z 2 = μ 2

Assim, formamos o sistema:

x 2 + z 2 = 4 z + y = 0 2 x + y + z = λ x 2 + y - 1 2 + z 2 = μ 2

Resolvendo em função de x , y , z , temos a resposta

9 - 2 y - 2 x + y + z 2 2 - x 2 + y - 1 2 + z 2 = 0

Terminamos a teoria!! Ufa!

Não deixe de fazer os exercícios para entender bem essa teoria chatinha!!

Bora praticar?!

Superfícies Cônicas

Superfícies de Revolução

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 315-1.

Ache uma equação da superfície cilíndrica de diretriz

C :   x 2 + y 2 + z 2 = 4 z = 0

Cujas geratrizes são paralelas à reta Δ :   x = λ y = λ + 1 z = 2 λ

Passo 1

Chegou a hora de praticarmos Superfícies Cilíndricas!! Vamos colocar em prática o que vimos na teoria ;).

Passo 2

Começaremos identificando o que o problema nos fornece de dados!!

Primeiro, temos as duas equações da diretriz da superfície que são:

C :   x 2 + y 2 + z 2 = 4 z = 0

Na teoria essas duas expressões foram escritas da seguinte forma:

Γ : f x , y , z = 0 g x , y , z = 0

No nosso exercício o f e o g são:

C :   f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 4 = 0 g x , y , z = z = 0

A outra informação que temos é que as retas geratrizes são paralelas à reta com equações paramétricas:

Δ :   x = λ y = λ + 1 z = 2 λ

Fazendo o comparativo com a teoria, essa reta é a reta r .

Então, por meio dessas equações paramétricas que iremos tirar o vetor diretor de r !

Lembra como faz isso?? NÃO? =O

Calma lá, vamos te mostrar!

Quando temos equações paramétricas de uma reta:

r :   x = x o + a t y = y 0 + b t z = z 0 + c t

onde o nosso parâmetro é o c, então as coordenadas de um ponto que pertence a essa reta são dadas por ( x 0 , y 0 , z 0 ) e o vetor diretor da reta é o vetor de coordenadas a , b , c .

Se você quiser uma explicação mais detalhada, dá uma olhadinha lá no tópico de Introdução às Retas, beleza?? =)

Mas nesse caso aí, chegamos ao vetor diretor:

m ,   n ,   p = ( 1 ,   1 ,   2 )

Passo 3

Sabendo o vetor diretor de r , conseguimos montar a relação:

f x + λ , y + λ , z + 2 λ = 0 g x + λ , y + λ , z + 2 λ = 0

Substituindo temos:

C :   ( x + λ ) 2 + ( y + λ ) 2 + ( z + 2 λ ) 2 - 4 = 0 z + 2 λ = 0

Passo 4

Estamos quase terminando!!

Do sistema que encontramos anteriormente,

C :   ( x + λ ) 2 + ( y + λ ) 2 + ( z + 2 λ ) 2 - 4 = 0 z + 2 λ = 0

Na segunda equação vamos isolar λ , teremos que:

λ = - z 2

Vamos então, substituir essa relação na primeira equação:

( x - z 2 ) 2 + ( y - z 2 ) 2 + ( z - z ) 2 - 4 = 0

x - z 2 2 + y - z 2 2 = 4

Pronto!! Chegamos na equação da superfície cilíndrica!!

Resposta

x - z 2 2 + y - z 2 2 = 4

Exercício Resolvido #2

Unicamp, 2ª Chamada – Geometria Analítica, 20/06/2013 (manhã), pág. 1, Questão 3

Encontrar a equação (em coordenadas cartesianas) da superfície cilíndrica S com curva diretriz a cônica C :   x 2 + 4 y = 0 no plano O x y e retas geratrizes paralelas ao vetor v → = ( - 1 ,   2 ,   - 3 ) .

Passo 1

Para ficarmos afiados em superfícies cilíndricas vamos resolver mais um exercício parecido com o anterior!!

O enunciado nos dá três informação:

  • Curva diretriz a cônica C :   x 2 + 4 y = 0
  • Sendo que C está no plano O x y , ou seja, z = 0 .
  • Retas geratrizes paralelas ao vetor v → = - 1 ,   2 ,   - 3 = ( m ,   n ,   p )

Passo 2

Vamos começar a montar nossas expressões. A curva diretriz da nossa superfície será:

C : f x , y ,   z = x 2 + 4 y = 0 g x ,   y ,   z = z = 0     ( 1 )

Como temos que v → = - 1 ,   2 ,   - 3 = ( m ,   n ,   p ) . Podemos escrever que:

f x - λ , y + 2 λ , z - 3 λ = 0 g x - λ , y + 2 λ , z - 3 λ = 0

Susbtituindo no sistema ( 1 ) teremos então:

( x - λ ) 2 + 4 ( y + 2 λ ) = 0 z - 3 λ = 0

Isolando λ :

λ = z 3

Substituindo:

x - z 3 2 + 4 y + 2 z 3 = 0

Pronto!! Mais uma vez chegamos na expressão da nossa superfície cilíndrica!!

Resposta

x - z 3 2 + 4 y + 2 z 3 = 0

Exercício Resolvido #3

Unicamp, Lista 3 – Geometria Analítica, 2014, pág. 1, Ex. 6. Modificado

Mostre que cada uma das equações representa uma superfície cilíndrica e determine a equação da curva diretriz e um vetor paralelo às retas geratrizes.

  1. x 2 + y 2 + 2 z 2 + 2 x z - 2 y z = 1

Passo 1

Temos agora o problema inverso do que fizemos anteriormente. Agora, já temos a equação da nossa superfície e queremos descobrir a equação da curva diretriz e um vetor paralelo às retas geratrizes.

Passo 2

a) x 2 + y 2 + 2 z 2 + 2 x z - 2 y z = 1

Nesse tipo de problema, primeiro, precisamos escrever nossa equação no formato:

f x + λ m , y + λ n , z + λ p = 0  

x 2 + y 2 + 2 z 2 + 2 x z - 2 y z = 1

Reescrevendo, temos:

( x + z ) 2 + ( y - z ) 2 - 1 = 0   ( 1 )

Fazendo o caminho inverso temos que:

f x + λ m ,   y + λ n , z + λ p = 0 g x + λ m ,   y + λ n , z + λ p = 0 →   f x ,   y , z = 0 g x ,   y ,   z = 0

Então:

x = x + z   ( 2 )

y = y - z     ( 3 )

z = 0

Ficamos com a expressão:

x 2 + y 2 - 1 = 0   ( 4 )

Podemos então igualar:

z + λ p = 0

z = - λ p

Das equação ( 2 ) e ( 3 ) acima, tiramos que:

x + z = x + λ m → z = λ m

y - z =   y + λ n → z = - λ n

Portanto:

m = - n = - p

Então, nosso vetor diretor das retas geratrizes são:

r → = ( m ,   - m ,   - m )

E a expressão ( 4 ) é a curva:

x 2 + y 2 = 1

Passo 3

Depois de todas essas manipulações, chegamos que:

C : x 2 + y 2 = 1 z = 0

r → = m ,   - m ,   - m

Como importa apenas a direção da reta r , podemos dizer que:

r → = 1 ,   - 1 ,   - 1

Resposta

C : x 2 + y 2 = 1 z = 0

r → = 1 ,   - 1 ,   - 1

Exercício Resolvido #4

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 321-2.

Ache uma equação da superfície cônica de vértice V = ( 1 ,   - 1 ,   3 ) que tem por diretriz a circunferência

C :   x 2 + y 2 = 1 z = 0

Passo 1

Chegou a hora de ficarmos craques em superfícies cônicas!! Hehe

Para isso o exercício pede para determinarmos a equação da superfície cônica que possui:

  • Vértice - V = ( 1 ,   - 1 ,   3 )
  • Diretriz a circunferência C :   x 2 + y 2 = 1 z = 0

Passo 2

Da teoria vimos que se definirmos nosso vértice como sendo V = ( h ,   k ,   l ) e definirmos nossa diretriz como:

C : f x ,   y , z = 0 g x ,   y ,   z = 0

A equação da nossa superfície será o sistema:

C : f h + λ ( x - h ) ,   k + λ ( y - k ) , l + λ ( z - l ) = 0 g h + λ ( x - h ) ,   k + λ ( y - k ) , l + λ ( z - l ) = 0

Passo 3

Já demos uma revisada rápida na teoria. Agora, vamos colocar em prática:

V = h ,   k ,   l = ( 1 ,   - 1 ,   3 )