Superfície Esférica

Teoria Completa

Introdução

Todo mundo já jogou algum esporte seja vôlei, futebol, basquete, ou até outros! Então, você deve reconhecer a figura a seguir hehe

Sabemos o que é uma esfera na prática, mas a pergunta é:

Como definimos uma esfera na geometria analítica?

Relaxa Aí!! Vamos te ensinar tudo o que precisas saber sobre superfícies esféricas!!

Bora começar!!!

Superfície Esférica

No espaço, podemos ter lugares geométricos em formato esférico, tipo assim:

Essas esferas possuem equações próprias para defini-las assim como os lugares geométricos que já vimos beleza? O que precisamos para escrever a equação de uma esfera?

Para definir uma esfera precisamos conhecer as coordenadas do centro da esfera C = ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) e também o raio da esfera ρ . Assim, definido o centro e o raio, um ponto x = ( x , y , z ) pertencerá à esfera se satisfizer a seguinte equação:

( x - x 0 ) 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2 = ρ 2

A equação acima é chamada de equação reduzida da superfície esférica. Guarde com carinho essa expressão que ela será bastante usada!! ;)

Então deixa eu ver, se o centro de uma esfera for C = ( 3 ,   2 ,   4 ) e o raio dela for de tamanho 3, qual a equação dela? Essa aqui ó:

x - 3 2 + y - 2 2 + z - 4 2 = 9

E o esboço dessa esfera fica assim:

Mas calma!! E se eu tiver uma equação tipo assim:

x + 3 2 + y + 1 2 + z - 3 2 = 9

Que ao invés do centro ser subtraído ele é somado?? O que isso quer dizer?? :O

Caaalma, se o sinal dentro dos parênteses estiver positivo, só significa que aquela coordenada do centro é negativa tendeu? Então nesse caso, o centro seria C = ( - 3 ,   - 1 ,   3 ) sacou? E o raio dela é 9 = 3 .

Mas e aí, só tem essa forma de escrever a equação de uma superfície esférica? Nada disso!! Outra forma de se escrever é desenvolver os quadrados da expressão acima (por produtos notáveis), e assim obteremos a expressão chamada de equação geral de uma superfície esférica:

x 2 + y 2 + z 2 + a x + b y + c z + d = 0

Então no exemplo da esfera ali em cima, a equação geral dela é:

x + 3 2 + y + 1 2 + z - 3 2 = 9

Se abrirmos os quadrados da fórmula possuímos:

x 2 - 6 x + 9 + y 2 - 4 y + 4 + z 2 - 8 z + 16 = 9

x 2 + y 2 + z 2 - 6 x - 4 y - 8 z + 20 = 0

Já sabemos caracterizar uma superfície esférica com as duas expressões a seguir:

Sendo ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) as coordenadas do centro da esfera, ρ o raio da esfera e a ,   b ,   c e d constantes.

Se o exercício der a equação geral e pedir para encontrar a reduzida, basta completar os quadrados novamente ;)

Beleza, já sei caracterizar uma esfera, mas e se eu quiser saber se um ponto pertence à esfera? Ou, se uma reta passa pela esfera?

Vamos ver isso agora!!

Posição relativa de Ponto e Superfície Esférica

Por exemplo, se tivermos aquela esfera do item anterior

x + 3 2 + y + 1 2 + z - 3 2 = 9

E quisermos saber qual a posição relativa dessa esfera com o ponto P = ( - 2 ,   - 1 ,   2 ) , como fazemos?

Um ponto tem duas posições relativas:

  • Interior à Esfera: Isso ocorre se a distância entre o ponto P e o centro C da esfera for menor que o raio d P , C < ρ .
  • Exterior à Esfera: Já se o contrário ocorrer, ou seja, d P , C > ρ o ponto não pertence à esfera.
  • Nesses casos sempre vamos calcular a distância entre o ponto P e o centro C da esfera. No nosso caso, C = ( - 3 ,   - 1 ,   3 ) , então, pela fórmula da distância entre pontos:

    d P ,   C = - 2 - - 3 2 + - 1 - - 1 2 + 2 - 3 2

    d P ,   C = 1 2 + 0 2 + - 1 2 = 2

    Agora vamos ver, sabendo que nosso raio é ρ = 9 = 3 , temos que d P ,   C < ρ . Loogo, o ponto P é interior à esfera :D

    Interseção e Posição Relativa de Reta e Superfície Esférica

    Agora bora falar de reta relacionada à superfície esférica.

    Por exemplo, ainda falando da esfera de equação x + 3 2 + y + 1 2 + z - 3 2 = 9 .

    Se tivermos a reta r : X = - 3 ,   - 1 ,   3 + λ ( 3 ,   5 ,   4 )

    Se calcularmos a distância dessa reta até o centro da esfera obteremos uma distância menor que o raio! O que isso significa?

    Significa que essa reta r vai ser secante à esfera porque a distância dela até o centro vai ser menor que o raio ;)

    Quando analisamos posição relativa e interseções vemos que as duas estão conectadas. Mas, como?

    Bem, vamos analisar os casos a seguir, supondo r uma reta e S uma superfície esférica de centro C e raio ρ :

    • Se d C , r > ρ , então significa que a reta r não passa pela superfície esférica, logo, não temos interseção r ∩ S = ∅ . Na figura a seguir é a imagem a).
    • Se d C , r = ρ , então a interseção entre a reta e a esfera é um único ponto. Sendo que esse ponto é a projeção ortogonal de C sobre r como mostra imagem b) na figura a seguir.
    • Se d C , r < ρ então a interseção entre a reta e a esfera é formado por dois pontos distintos, A e B , sendo que o ponto médio entre esses dois pontos representa a projeção do ponto C sobre a reta r . Imagem c) a seguir.
    • Nos caso da figura b) a reta r ela é chamada como reta tangente a superfície esférica. Sendo T o ponto de tangência, ou seja, o único ponto em que a reta r e a superfície se tocam.

      Já na figura c) a reta r é chamada de secante, pois possui dois pontos distintos de interseção com a esfera.

      Vimos as posições relativas e as interseções! É bom salientar que como vocês podem notar para fazer essas análises precisamos calcular a distância entre ponto e reta. Então, se você não lembra direito como calcular essas distâncias dê uma olhada na teoria de Distâncias no Assunto “ Retas e Planos” ;)

      E para planos como ficam essas relações? Próximo tópico ;).

      Interseção e Posição Relativa de Plano e Superfície Esférica

      A ideia para plano é a mesma que usamos para reta, ou seja, vamos comparar o raio com a distância do plano ao centro da esfera. Assim, considerando o plano π e uma superfície esférica S   com centro C e raio ρ , teremos os seguintes casos:

    • Se d C , π > ρ significa que o plano e a esfera não se tocam, logo, a interseção entre eles é nula π ∩ S = ∅ (Figura A)
    • Se d C ,   π = ρ então o plano e a esfera se encontram num único ponto, sendo esse a projeção do centro da esfera no plano (Figura B).
    • Se d C , π < ρ , então a interseção, agora, será uma circunferência de raio σ = ρ 2 - d 2 ( C , π ) , contida em π , cujo o centro da circunferência é a projeção ortogonal de C sobre π (Figura C).
    • Na figura B) o ponto T é chamado de ponto de tangência entre a esfera e o plano π . E nesse caso π pode ser chamado como plano tangente à esfera. Na figura C) o plano π é chamado de plano secante.

      Mais uma vez, não custa lembrar, que agora estamos trabalhando com distância entre ponto e plano, então se você não se lembra como calcular essa distância vale a pena voltar na teoria de “Distâncias”!!

      Ufa!! Está quase acabando!! Para finalizar nosso estudo sobre superfícies esféricas só falta vermos a posição relativa e interseção entre esferas!! Haha

      Interseção e Posição Relativa de Superfícies Esféricas

      Vamos supor duas esferas distintas com C 1 e ρ 1 e a outra com C 2 e ρ 2 . Temos três possibilidades para a posição relativa:

    • S 1 ∩ S 2 é uma circunferência. Então, dizemos que S 1 e S 2 são SECANTES.
    • S 1 ∩ S 2 = ∅ . S 1 e S 2 são DISJUNTAS.
    • S 1 ∩ S 2 é um único ponto T . S 1 e S 2 são TANGENTES.
    • Para facilitar acharmos as interseções suporemos um plano π que será perpendicular ao vetor formado pelos centros das esferas C 1 C 2 → . Na figura a seguir temos as possibilidades:

      Assim, para obter a interseção S 1 ∩ S 2 ,podemos trabalhar com uma das superfícies e o plano π , ignorando a outra. Se escolhermos trabalhar com S 2 , temos:

    • S 1 e S 2 são SECANTES se d C 2 ,   π < ρ 2
    • S 1 e S 2 são TANGENTES se d C 2 ,   π = ρ 2
    • S 1 e S 2 são DISJUNTAS se d C 2 ,   π > ρ 2

    Mas, como encontro o plano π ? Realmente, nem sempre encontrar esse plano é uma tarefa fácil. Para isso, temos uma fórmula para facilitar nossa vida hehe. Considerando ρ 1 ≤ ρ 2 :

    Para terminar vamos ver que duas superfícies disjuntas ou tangentes possuem duas possibilidades como mostra a figura acima, ou seja:

    TANGENTE

  • TANGENTE INTERIORMENTE – se todo ponto de uma das superfícies, diferente de T , é interior à outra.
  • TANGENTE EXTERIORMENTE – se todo ponto de uma das superfícies, diferente de T , é exterior à outra.
  • DISJUNTA

  • DISJUNTA INTERIORMENTE – Uma das esferas é interior à outra
  • DISJUNTA EXTERIORMENTE – Cada uma das superfícies é exterior à outra.

Pronto!! A teoria terminou!!

Bora destruir nos exercícios?!

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Determinar a equação reduzida e a equação geral da superfície esférica que tenha C = ( 2 ,   - 3 ,   1 ) e raio 4 .

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Passo 1

O enunciado pede a equação da superfície que tenha C = ( 2 ,   - 3 ,   1 ) e raio 4 . E devemos encontrar a equação geral e a reduzida.

Passo 2

Pela teoria sabemos que a equação reduzida é da seguinte forma:

( x - x 0 ) 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2 = ρ 2

Sendo ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) as coordenadas do centro da esfera, ρ o raio da esfera.

Então, se temos que C = ( 2 ,   - 3 ,   1 ) e raio 4 :

( x - 2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 + ( z - 1 ) 2 = 4 2

Passo 3

A equação geral é da seguinte forma:

x 2 + y 2 + z 2 + a x + b y + c z + d = 0

Que na verdade nada mais é que a equação reduzida desenvolvida, então desenvolvendo a equação reduzida que encontramos temos:

( x - 2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 + ( z - 1 ) 2 = 4 2

x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 6 y - 2 z - 2 = 0

Já deu para pegar o jeito um pouco?! Mas, ainda temos mais exercícios hehe.. não deixe de fazê-los ;)

Resposta

( x - 2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 + ( z - 1 ) 2 = 4 2   -     E q u a ç ã o   R e d u z i d a

x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 6 y - 2 z - 2 = 0     -     E q u a ç ã o   G e r a l

Exercício Resolvido #2

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 295-2.

Verifique se a equação x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 2 y + 8 z + 12 = 0 é a equação de uma superfície esférica. Caso seja, dê o centro e o raio.

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Passo 1

Já estamos aquecendo os motores!! O enunciado nos fornece uma equação e pede para verificarmos se ela é ou não a equação de uma superfície esférica. Para isso, vamos completar quadrado e ver se chegamos numa expressão coerente.

Bora começar!!

Passo 2

Vamos começar completando os quadrados:

x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 2 y + 8 z + 12 = 0

( x 2 - 4 x ) + ( y 2 - 2 y ) + ( z 2 + 8 z ) + 12 = 0

( x - 2 ) 2 - 4 + ( y - 1 ) 2 - 1 + ( z + 4 ) 2 - 16 + 12 = 0

( x - 2 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z + 4 ) 2 = 9

Pronto chegamos numa expressão com o mesmo jeito da equação da teoria:

( x - x 0 ) 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2 = ρ 2

Passo 3

Agora que temos a equação, podemos retirar dela as coordenadas do centro e o raio. Assim, da expressão:

( x - 2 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z + 4 ) 2 = 9

Temos que:

C = 2 ,   1 ,   - 4

ρ = 3

Prontinho!! Terminamos!! Uhuuu

Resposta

C = 2 ,   1 ,   - 4

ρ = 3

Exercício Resolvido #3

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 298-7.

Localize os pontos M = 1 ,   2 ,   1 ,   N = ( - 1 ,   - 1 ,   0 ) e Q = ( 1 ,   0 ,   - 1 ) em relação à superfície esférica S :   x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 4 y - z - 1 = 0

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Passo 1

Temos agora a equação de uma superfície esférica S e queremos saber a posição relativa dos pontos M ,   N e Q , ou seja, se os pontos são internos ou externos à esfera. Como vimos na teoria para verificar a posição entre ponto e reta devemos calcular a distância entre o ponto e o centro da esfera e comparar o valor dessa distância com o raio. Então, primeira coisa que teremos que fazer é achar as coordenadas do centro da esfera e seu raio.

Passo 2

Como a equação que nos foi dada está no formato de equação geral vamos completar quadrados para achar a equação reduzida e então verificarmos as coordenadas do centro e o raio.

Completando quadrados temos:

  x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 4 y - z - 1 = 0

  ( x 2 - 2 x ) + ( y 2 + 4 y ) + ( z 2 - z ) - 1 = 0

  ( x - 1 ) 2 - 1 + y + 2 2 - 4 + z - 1 2 2 - 1 4 - 1 = 0

  ( x - 1 ) 2 + y + 2 2 + z - 1 2 2 = 25 4

Com a equação acima conseguimos achar o que precisamos, logo:

C = 1 ,   - 2 , 1 2

ρ = 5 2 = 2,5

Passo 3

Agora, o que temos que fazer é calcular a distância entre o ponto e o centro C e comparar com o raio.

Para M = 1 ,   2 ,   1 :

d M , C = ( 1 - 1 ) 2 + ( 2 + 2 ) 2 + 1 - 1 2 2 = 65 2 ≈ 4

Como d M , C > ρ , então o ponto M é externo à superfície S .

Para N = ( - 1 ,   - 1 ,   0 ) :

d N , C = ( - 1 - 1 ) 2 + ( - 1 + 2 ) 2 + 0 - 1 2 2 = 21 2 ≈ 2,2

Como d N , C < ρ , então o ponto N é interno à superfície S .

Para terminar!!

Para Q = ( 1 ,   0 ,   - 1 ) :

d Q , C = ( 1 - 1 ) 2 + ( 0 + 2 ) 2 + - 1 - 1 2 2 = 25 2 = 2,5

Como d Q , C = ρ , então o ponto Q pertence à superfície S .

Mais um exercícios se foi!!

Resposta

M = 1 ,   2 ,   1   e x t e r n o   à   S

N = - 1 ,   - 1 ,   0   i n t e r n o   à   S

Q = 1 ,   0 ,   - 1   p e r t e n c e   à   S

Exercício Resolvido #4

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 303-3.

Obtenha equações gerais dos planos tangentes à superfície esférica

S :   x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 y - 1 = 0

Que são paralelos ao plano π 1 : x - y - 2 z - 2 = 0 .

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Passo 1

O enunciado pede para obtermos as equações gerais dos planos que são:

  • Tangentes à superfície esférica S :   x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 y - 1 = 0
  • Paralelos ao plano π 1 : x - y - 2 z - 2 = 0 .

Passo 2

Vamos começar olhando para a segunda informação que nos foi dada!! Como vimos na teoria sobre planos, se dois planos são paralelos significa que seus vetores normais também são paralelos e como foi dada a expressão geral do plano π 1 e essa expressão é do formato:

a x + b y + c z + d = 0

Sendo ( a ,   b ,   c ) as coordenadas do vetor normal, então, a equação dos nossos planos que queremos encontrar será:

x - y - 2 z + d = 0

Passo 3

Falta, agora, determinarmos o valor de d . Para isso, vamos usar a informação em relação à superfície esférica. Sabemos que S é tangente aos planos que queremos encontrar e da teoria sabemos que para que um plano e uma esfera sejam tangentes devemos ter:

d C ,   π = ρ

Então, temos que achar as coordenadas do centro C e valor do raio ρ para calcularmos a distância d ponto C até o plano π que queremos determinar. Para achar C e ρ vamos completar quadrados:

x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 y - 1 = 0

( x 2 + 2 x ) + ( y 2 + 2 y ) + z 2 - 1 = 0

( x + 1 ) 2 - 1 + y + 1 2 - 1 + z 2 - 1 = 0

( x + 1 ) 2 + y + 1 2 + z 2 = 3

Portanto,

C = ( - 1 ,   - 1 ,   0 )

ρ = 3

Passo 4

Sabendo que C = - 1 ,   - 1 ,   0 ,     ρ = 3 e que x - y - 2 z + d = 0 , vamos usar aquela fórmula, lembra, para calcular distância entre ponto e plano, essa aqui oh:

Substituindo os valores, temos:

d C , π = 1 . - 1 - 1 . - 1 - 2 . 0 + d 1 2 + ( - 1 ) 2 + ( - 2 ) 2 = d 6

Como são tangentes:

d C ,   π = ρ → ρ = 3    

d 6 = 3

d = 18 = 3 2

Então,

d = ± 3 2

Chegamos então nas duas possibilidades de planos tangentes à S e paralelos ao plano π 1 :

x - y - 2 z + 3 2 = 0

x - y - 2 z - 3 2 = 0

Resposta

x - y - 2 z + 3 2 = 0

x - y - 2 z - 3 2 = 0

Exercício Resolvido #5

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 302-1.

Ache uma equação geral do plano π , tangente à superfície esférica   S :   x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 1 = 0 pelo ponto T = ( 1 ,   - 1 ,   1 ) .

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Passo 1

O enunciado nos fala que o plano π que devemos determinar é tangente à superfície S e que o ponto de tangência é T = ( 1 ,   - 1 ,   1 ) . Uma forma de terminar um plano é saber o seu vetor normal e um ponto que pertença ao plano. O ponto já temos que é o ponto T , o vetor normal podemos achar, pois se encontrarmos o centro C da esfera e fizermos o vetor C T → esse será o vetor normal ao plano π .

Bora começar!!

Passo 2

Temos que achar primeiro as coordenadas do centro da esfera. Para isso,vamos completar quadrados, mais uma vez!! Hehe

x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 1 = 0

( x 2 - 2 x ) + y 2 + z 2 - 1 = 0  

( x - 1 ) 2 - 1 + y 2 + z 2 - 1 = 0

( x - 1 ) 2 + y 2 + z 2 = 2

Assim, temos:

C = 1 ,   0 ,   0

ρ = 2

Passo 3

Vamos encontrar o vetor C T → :

C T → = T - C = 1 , - 1 ,   1 - 1 ,   0 ,   0 = ( 0 ,   - 1 ,   1 )

C T → = ( 0 ,   - 1 ,   1 )

Como C T → é normal ao plano π ,e ntão a equação do plano é:

- y + z + d = 0

Para encontrarmos o valor de d vamos susbtiutir o ponto T = ( 1 ,   - 1 ,   1 ) :

1 + 1 + d = 0 → d = - 2

Então, a equação do nosso plano π é:

- y + z - 2 = 0

Resposta

- y + z - 2 = 0

Exercício Resolvido #6

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 310-10.

Ache λ real tal que as superfícies esféricas S 1 e S 2 sejam tangentes:

S 1 :   ( x - 1 ) 2 + ( y - 3 ) 2 + z 2 = 1

S 2 :   x 2 + y 2 + z 2 - 2 λ x + 4 λ y + 4 λ z = 0

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Passo 1

Devemos determinar o valor de λ para que as superfícies dadas sejam tangentes vamos usar o que aprendemos na teoria. Bora colocar a teoria em prática!! ;)

Passo 2

Da teoria, sabemos que duas superfícies são tangentes, se considerando S 2 e π :

Da teoria também conse