Superfície Esférica

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Teoria

Introdução

Todo mundo já jogou algum esporte seja vôlei, futebol, basquete, ou até outros! Então, você deve reconhecer a figura a seguir hehe

Sabemos o que é uma esfera na prática, mas a pergunta é:

Como definimos uma esfera na geometria analítica?

Relaxa Aí!! Vamos te ensinar tudo o que precisas saber sobre superfícies esféricas!!

Bora começar!!!

Superfície Esférica

No espaço, podemos ter lugares geométricos em formato esférico, tipo assim:

Essas esferas possuem equações próprias para defini-las assim como os lugares geométricos que já vimos beleza? O que precisamos para escrever a equação de uma esfera?

Para definir uma esfera precisamos conhecer as coordenadas do centro da esfera C = ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) e também o raio da esfera ρ . Assim, definido o centro e o raio, um ponto x = ( x , y , z ) pertencerá à esfera se satisfizer a seguinte equação:

( x - x 0 ) 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2 = ρ 2

A equação acima é chamada de equação reduzida da superfície esférica. Guarde com carinho essa expressão que ela será bastante usada!! ;)

Então deixa eu ver, se o centro de uma esfera for C = ( 3 ,   2 ,   4 ) e o raio dela for de tamanho 3, qual a equação dela? Essa aqui ó:

x - 3 2 + y - 2 2 + z - 4 2 = 9

E o esboço dessa esfera fica assim:

Mas calma!! E se eu tiver uma equação tipo assim:

x + 3 2 + y + 1 2 + z - 3 2 = 9

Que ao invés do centro ser subtraído ele é somado?? O que isso quer dizer?? :O

Caaalma, se o sinal dentro dos parênteses estiver positivo, só significa que aquela coordenada do centro é negativa tendeu? Então nesse caso, o centro seria C = ( - 3 ,   - 1 ,   3 ) sacou? E o raio dela é 9 = 3 .

Mas e aí, só tem essa forma de escrever a equação de uma superfície esférica? Nada disso!! Outra forma de se escrever é desenvolver os quadrados da expressão acima (por produtos notáveis), e assim obteremos a expressão chamada de equação geral de uma superfície esférica:

x 2 + y 2 + z 2 + a x + b y + c z + d = 0

Então no exemplo da esfera ali em cima, a equação geral dela é:

x - 3 2 + y - 2 2 + z - 4 2 = 9

Se abrirmos os quadrados da fórmula possuímos:

x 2 - 6 x + 9 + y 2 - 4 y + 4 + z 2 - 8 z + 16 = 9

x 2 + y 2 + z 2 - 6 x - 4 y - 8 z + 20 = 0

Já sabemos caracterizar uma superfície esférica com as duas expressões a seguir:

Sendo ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) as coordenadas do centro da esfera, ρ o raio da esfera e a ,   b ,   c e d constantes.

Se o exercício der a equação geral e pedir para encontrar a reduzida, basta completar os quadrados novamente ;)

Beleza, já sei caracterizar uma esfera, mas e se eu quiser saber se um ponto pertence à esfera? Ou, se uma reta passa pela esfera?

Vamos ver isso agora!!

Posição relativa de Ponto e Superfície Esférica

Por exemplo, se tivermos aquela esfera do item anterior

x + 3 2 + y + 1 2 + z - 3 2 = 9

E quisermos saber qual a posição relativa dessa esfera com o ponto P = ( - 2 ,   - 1 ,   2 ) , como fazemos?

Um ponto tem duas posições relativas:

  • Interior à Esfera: Isso ocorre se a distância entre o ponto P e o centro C da esfera for menor que o raio d P , C < ρ .
  • Exterior à Esfera: Já se o contrário ocorrer, ou seja, d P , C > ρ o ponto não pertence à esfera.
  • Nesses casos sempre vamos calcular a distância entre o ponto P e o centro C da esfera. No nosso caso, C = ( - 3 ,   - 1 ,   3 ) , então, pela fórmula da distância entre pontos:

    d P ,   C = - 2 - - 3 2 + - 1 - - 1 2 + 2 - 3 2

    d P ,   C = 1 2 + 0 2 + - 1 2 = 2

    Agora vamos ver, sabendo que nosso raio é ρ = 9 = 3 , temos que d P ,   C < ρ . Loogo, o ponto P é interior à esfera :D

    Interseção e Posição Relativa de Reta e Superfície Esférica

    Agora bora falar de reta relacionada à superfície esférica.

    Por exemplo, ainda falando da esfera de equação x + 3 2 + y + 1 2 + z - 3 2 = 9 .

    Se tivermos a reta r : X = - 3 ,   - 1 ,   3 + λ ( 3 ,   5 ,   4 )

    Se calcularmos a distância dessa reta até o centro da esfera obteremos uma distância menor que o raio! O que isso significa?

    Significa que essa reta r vai ser secante à esfera porque a distância dela até o centro vai ser menor que o raio ;)

    Quando analisamos posição relativa e interseções vemos que as duas estão conectadas. Mas, como?

    Bem, vamos analisar os casos a seguir, supondo r uma reta e S uma superfície esférica de centro C e raio ρ :

    • Se d C , r > ρ , então significa que a reta r não passa pela superfície esférica, logo, não temos interseção r ∩ S = ∅ . Na figura a seguir é a imagem a).
    • Se d C , r = ρ , então a interseção entre a reta e a esfera é um único ponto. Sendo que esse ponto é a projeção ortogonal de C sobre r como mostra imagem b) na figura a seguir.
    • Se d C , r < ρ então a interseção entre a reta e a esfera é formado por dois pontos distintos, A e B , sendo que o ponto médio entre esses dois pontos representa a projeção do ponto C sobre a reta r . Imagem c) a seguir.
    • Nos caso da figura b) a reta r ela é chamada como reta tangente a superfície esférica. Sendo T o ponto de tangência, ou seja, o único ponto em que a reta r e a superfície se tocam.

      Já na figura c) a reta r é chamada de secante, pois possui dois pontos distintos de interseção com a esfera.

      Vimos as posições relativas e as interseções! É bom salientar que como vocês podem notar para fazer essas análises precisamos calcular a distância entre ponto e reta. Então, se você não lembra direito como calcular essas distâncias dê uma olhada na teoria de Distâncias no Assunto “ Retas e Planos” ;)

      E para planos como ficam essas relações? Próximo tópico ;).

      Interseção e Posição Relativa de Plano e Superfície Esférica

      A ideia para plano é a mesma que usamos para reta, ou seja, vamos comparar o raio com a distância do plano ao centro da esfera. Assim, considerando o plano π e uma superfície esférica S   com centro C e raio ρ , teremos os seguintes casos:

    • Se d C , π > ρ significa que o plano e a esfera não se tocam, logo, a interseção entre eles é nula π ∩ S = ∅ (Figura A)
    • Se d C ,   π = ρ então o plano e a esfera se encontram num único ponto, sendo esse a projeção do centro da esfera no plano (Figura B).
    • Se d C , π < ρ , então a interseção, agora, será uma circunferência de raio σ = ρ 2 - d 2 ( C , π ) , contida em π , cujo o centro da circunferência é a projeção ortogonal de C sobre π (Figura C).
    • Na figura B) o ponto T é chamado de ponto de tangência entre a esfera e o plano π . E nesse caso π pode ser chamado como plano tangente à esfera. Na figura C) o plano π é chamado de plano secante.

      Mais uma vez, não custa lembrar, que agora estamos trabalhando com distância entre ponto e plano, então se você não se lembra como calcular essa distância vale a pena voltar na teoria de “Distâncias”!!

      Ufa!! Está quase acabando!! Para finalizar nosso estudo sobre superfícies esféricas só falta vermos a posição relativa e interseção entre esferas!! Haha

      Interseção e Posição Relativa de Superfícies Esféricas

      Vamos supor duas esferas distintas com C 1 e ρ 1 e a outra com C 2 e ρ 2 . Temos três possibilidades para a posição relativa:

    • S 1 ∩ S 2 é uma circunferência. Então, dizemos que S 1 e S 2 são SECANTES.
    • S 1 ∩ S 2 = ∅ . S 1 e S 2 são DISJUNTAS.
    • S 1 ∩ S 2 é um único ponto T . S 1 e S 2 são TANGENTES.
    • Para facilitar acharmos as interseções suporemos um plano π que será perpendicular ao vetor formado pelos centros das esferas C 1 C 2 → . Na figura a seguir temos as possibilidades:

      Assim, para obter a interseção S 1 ∩ S 2 ,podemos trabalhar com uma das superfícies e o plano π , ignorando a outra. Se escolhermos trabalhar com S 2 , temos:

    • S 1 e S 2 são SECANTES se d C 2 ,   π < ρ 2
    • S 1 e S 2 são TANGENTES se d C 2 ,   π = ρ 2
    • S 1 e S 2 são DISJUNTAS se d C 2 ,   π > ρ 2

    Mas, como encontro o plano π ? Realmente, nem sempre encontrar esse plano é uma tarefa fácil. Para isso, temos uma fórmula para facilitar nossa vida hehe. Considerando ρ 1 ≤ ρ 2 :

    Para terminar vamos ver que duas superfícies disjuntas ou tangentes possuem duas possibilidades como mostra a figura acima, ou seja:

    TANGENTE

  • TANGENTE INTERIORMENTE – se todo ponto de uma das superfícies, diferente de T , é interior à outra.
  • TANGENTE EXTERIORMENTE – se todo ponto de uma das superfícies, diferente de T , é exterior à outra.
  • DISJUNTA

  • DISJUNTA INTERIORMENTE – Uma das esferas é interior à outra
  • DISJUNTA EXTERIORMENTE – Cada uma das superfícies é exterior à outra.

Pronto!! A teoria terminou!!

Bora destruir nos exercícios?!

Superfície Esférica

Posição relativa de Ponto e Superfície Esférica

Interseção e Posição Relativa de Reta e Superfície Esférica

Interseção e Posição Relativa de Plano e Superfície Esférica

Interseção e Posição Relativa de Superfícies Esféricas

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determinar a equação reduzida e a equação geral da superfície esférica que tenha C = ( 2 ,   - 3 ,   1 ) e raio 4 .

Passo 1

O enunciado pede a equação da superfície que tenha C = ( 2 ,   - 3 ,   1 ) e raio 4 . E devemos encontrar a equação geral e a reduzida.

Passo 2

Pela teoria sabemos que a equação reduzida é da seguinte forma:

( x - x 0 ) 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2 = ρ 2

Sendo ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) as coordenadas do centro da esfera, ρ o raio da esfera.

Então, se temos que C = ( 2 ,   - 3 ,   1 ) e raio 4 :

( x - 2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 + ( z - 1 ) 2 = 4 2

Passo 3

A equação geral é da seguinte forma:

x 2 + y 2 + z 2 + a x + b y + c z + d = 0

Que na verdade nada mais é que a equação reduzida desenvolvida, então desenvolvendo a equação reduzida que encontramos temos:

( x - 2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 + ( z - 1 ) 2 = 4 2

x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 6 y - 2 z - 2 = 0

Já deu para pegar o jeito um pouco?! Mas, ainda temos mais exercícios hehe.. não deixe de fazê-los ;)

Resposta

( x - 2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 + ( z - 1 ) 2 = 4 2   -     E q u a ç ã o   R e d u z i d a

x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 6 y - 2 z - 2 = 0     -     E q u a ç ã o   G e r a l

Exercício Resolvido #2

Verifique se a equação x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 2 y + 8 z + 12 = 0 é a equação de uma superfície esférica. Caso seja, dê o centro e o raio.

Passo 1

Já estamos aquecendo os motores!! O enunciado nos fornece uma equação e pede para verificarmos se ela é ou não a equação de uma superfície esférica. Para isso, vamos completar quadrado e ver se chegamos numa expressão coerente.

Bora começar!!

Passo 2

Vamos começar completando os quadrados:

x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 2 y + 8 z + 12 = 0

( x 2 - 4 x ) + ( y 2 - 2 y ) + ( z 2 + 8 z ) + 12 = 0

( x - 2 ) 2 - 4 + ( y - 1 ) 2 - 1 + ( z + 4 ) 2 - 16 + 12 = 0

( x - 2 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z + 4 ) 2 = 9

Pronto chegamos numa expressão com o mesmo jeito da equação da teoria:

( x - x 0 ) 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2 = ρ 2

Passo 3

Agora que temos a equação, podemos retirar dela as coordenadas do centro e o raio. Assim, da expressão:

( x - 2 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z + 4 ) 2 = 9

Temos que:

C = 2 ,   1 ,   - 4

ρ = 3

Prontinho!! Terminamos!! Uhuuu

Resposta

C = 2 ,   1 ,   - 4

ρ = 3

Exercício Resolvido #3

Localize os pontos M = 1 ,   2 ,   1 ,   N = ( - 1 ,   - 1 ,   0 ) e Q = ( 1 ,   0 ,   - 1 ) em relação à superfície esférica S :   x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 4 y - z - 1 = 0

Passo 1

Temos agora a equação de uma superfície esférica S e queremos saber a posição relativa dos pontos M ,   N e Q , ou seja, se os pontos são internos ou externos à esfera. Como vimos na teoria para verificar a posição entre ponto e reta devemos calcular a distância entre o ponto e o centro da esfera e comparar o valor dessa distância com o raio. Então, primeira coisa que teremos que fazer é achar as coordenadas do centro da esfera e seu raio.

Passo 2

Como a equação que nos foi dada está no formato de equação geral vamos completar quadrados para achar a equação reduzida e então verificarmos as coordenadas do centro e o raio.

Completando quadrados temos:

  x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 4 y - z - 1 = 0

  ( x 2 - 2 x ) + ( y 2 + 4 y ) + ( z 2 - z ) - 1 = 0

  ( x - 1 ) 2 - 1 + y + 2 2 - 4 + z - 1 2 2 - 1 4 - 1 = 0

  ( x - 1 ) 2 + y + 2 2 + z - 1 2 2 = 25 4

Com a equação acima conseguimos achar o que precisamos, logo:

C = 1 ,   - 2 , 1 2

ρ = 5 2 = 2,5

Passo 3

Agora, o que temos que fazer é calcular a distância entre o ponto e o centro C e comparar com o raio.

Para M = 1 ,   2 ,   1 :

d M , C = ( 1 - 1 ) 2 + ( 2 + 2 ) 2 + 1 - 1 2 2 = 65 2 ≈ 4

Como d M , C > ρ , então o ponto M é externo à superfície S .

Para N = ( - 1 ,   - 1 ,   0 ) :

d N , C = ( - 1 - 1 ) 2 + ( - 1 + 2 ) 2 + 0 - 1 2 2 = 21 2 ≈ 2,2

Como d N , C < ρ , então o ponto N é interno à superfície S .

Para terminar!!

Para Q = ( 1 ,   0 ,   - 1 ) :

d Q , C = ( 1 - 1 ) 2 + ( 0 + 2 ) 2 + - 1 - 1 2 2 = 25 2 = 2,5

Como d Q , C = ρ , então o ponto Q pertence à superfície S .

Mais um exercícios se foi!!

Resposta

M = 1 ,   2 ,   1   e x t e r n o   à   S

N = - 1 ,   - 1 ,   0   i n t e r n o   à   S

Q = 1 ,   0 ,   - 1   p e r t e n c e   à   S

Exercício Resolvido #4

Obtenha equações gerais dos planos tangentes à superfície esférica

S :   x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 y - 1 = 0

Que são paralelos ao plano π 1 : x - y - 2 z - 2 = 0 .

Passo 1

O enunciado pede para obtermos as equações gerais dos planos que são:

  • Tangentes à superfície esférica S :   x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 y - 1 = 0
  • Paralelos ao plano π 1 : x - y - 2 z - 2 = 0 .

Passo 2

Vamos começar olhando para a segunda informação que nos foi dada!! Como vimos na teoria sobre planos, se dois planos são paralelos significa que seus vetores normais também são paralelos e como foi dada a expressão geral do plano π 1 e essa expressão é do formato:

a x + b y + c z + d = 0

Sendo ( a ,   b ,   c ) as coordenadas do vetor normal, então, a equação dos nossos planos que queremos encontrar será:

x - y - 2 z + d = 0

Passo 3

Falta, agora, determinarmos o valor de d . Para isso, vamos usar a informação em relação à superfície esférica. Sabemos que S é tangente aos planos que queremos encontrar e da teoria sabemos que para que um plano e uma esfera sejam tangentes devemos ter:

d C ,   π = ρ

Então, temos que achar as coordenadas do centro C e valor do raio ρ para calcularmos a distância d ponto C até o plano π que queremos determinar. Para achar C e ρ vamos completar quadrados:

x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 y - 1 = 0

( x 2 + 2 x ) + ( y 2 + 2 y ) + z 2 - 1 = 0

( x + 1 ) 2 - 1 + y + 1 2 - 1 + z 2 - 1 = 0

( x + 1 ) 2 + y + 1 2 + z 2 = 3

Portanto,

C = ( - 1 ,   - 1 ,   0 )

ρ = 3

Passo 4

Sabendo que C = - 1 ,   - 1 ,   0 ,     ρ = 3 e que x - y - 2 z + d = 0 , vamos usar aquela fórmula, lembra, para calcular distância entre ponto e plano, essa aqui oh:

Substituindo os valores, temos:

d C , π = 1 . - 1 - 1 . - 1 - 2 . 0 + d 1 2 + ( - 1 ) 2 + ( - 2 ) 2 = d 6

Como são tangentes:

d C ,   π = ρ → ρ = 3    

d 6 = 3

d = 18 = 3 2

Então,

d = ± 3 2

Chegamos então nas duas possibilidades de planos tangentes à S e paralelos ao plano π 1 :

x - y - 2 z + 3 2 = 0

x - y - 2 z - 3 2 = 0

Resposta

x - y - 2 z + 3 2 = 0

x - y - 2 z - 3 2 = 0

Exercício Resolvido #5

Ache uma equação geral do plano π , tangente à superfície esférica   S :   x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 1 = 0 pelo ponto T = ( 1 ,   - 1 ,   1 ) .

Passo 1

O enunciado nos fala que o plano π que devemos determinar é tangente à superfície S e que o ponto de tangência é T = ( 1 ,   - 1 ,   1 ) . Uma forma de terminar um plano é saber o seu vetor normal e um ponto que pertença ao plano. O ponto já temos que é o ponto T , o vetor normal podemos achar, pois se encontrarmos o centro C da esfera e fizermos o vetor C T → esse será o vetor normal ao plano π .

Bora começar!!

Passo 2

Temos que achar primeiro as coordenadas do centro da esfera. Para isso,vamos completar quadrados, mais uma vez!! Hehe

x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 1 = 0

( x 2 - 2 x ) + y 2 + z 2 - 1 = 0  

( x - 1 ) 2 - 1 + y 2 + z 2 - 1 = 0

( x - 1 ) 2 + y 2 + z 2 = 2

Assim, temos:

C = 1 ,   0 ,   0

ρ = 2

Passo 3

Vamos encontrar o vetor C T → :

C T → = T - C = 1 , - 1 ,   1 - 1 ,   0 ,   0 = ( 0 ,   - 1 ,   1 )

C T → = ( 0 ,   - 1 ,   1 )

Como C T → é normal ao plano π ,e ntão a equação do plano é:

- y + z + d = 0

Para encontrarmos o valor de d vamos susbtiutir o ponto T = ( 1 ,   - 1 ,   1 ) :

1 + 1 + d = 0 → d = - 2

Então, a equação do nosso plano π é:

- y + z - 2 = 0

Resposta

- y + z - 2 = 0

Exercício Resolvido #6

Ache λ real tal que as superfícies esféricas S 1 e S 2 sejam tangentes:

S 1 :   ( x - 1 ) 2 + ( y - 3 ) 2 + z 2 = 1

S 2 :   x 2 + y 2 + z 2 - 2 λ x + 4 λ y + 4 λ z = 0

Passo 1

Devemos determinar o valor de λ para que as superfícies dadas sejam tangentes vamos usar o que aprendemos na teoria. Bora colocar a teoria em prática!! ;)

Passo 2

Da teoria, sabemos que duas superfícies são tangentes, se considerando S 2 e π :

Da teoria também conseguimos calcular a distância d C 2 ,   π por meio da fórmula:

Então, para calcular essa distância precisamos de: ρ 1 ,   ρ 2 , C 1 ,   C 2   e   d C 1 ,   C 2 . Vamos, então, encontrar esses valores.

Para S 1 , temos:

( x - 1 ) 2 + ( y - 3 ) 2 + z 2 = 1

C 1 = 1 ,   3 ,   0

ρ 1 = 1

Para S 2 teremos que completar quadrado:

  x 2 + y 2 + z 2 - 2 λ x + 4 λ y + 4 λ z = 0

( x - λ ) 2 - λ 2 + y + 2 λ 2 - 4 λ 2 + z + 2 λ 2 - 4 λ 2 = 0

( x - λ ) 2 + y + 2 λ 2 + z + 2 λ 2 = 9 λ 2

C 2 = λ ,   - 2 λ ,   - 2 λ

ρ 2 = 3 λ

Já vamos aproveitar e calcular d C 1 ,   C 2 :

d C 1 ,   C 2 = ( 1 - λ ) 2 + ( 3 + 2 λ ) 2 + ( 0 + 2 λ ) 2 = 9 λ 2 + 10 λ + 10

Passo 3

Agora, que temos todos os valores que precisamos podemos calcular a distância d C 2 ,   π :

C 1 = 1 ,   3 ,   0

ρ 1 = 1

C 2 = λ ,   - 2 λ ,   - 2 λ

ρ 2 = 3 λ

d C 1 ,   C 2 = 9 λ 2 + 10 λ + 10

Susbtituindo na fórmula os valores:

d C 2 ,   π = ρ 2 + ρ 2 + ρ 1 - d C 1 ,   C 2 ρ 2 - ρ 1 - d C 1 ,   C 2 2 d C 1 ,   C 2

d C 2 ,   π = 3 λ + 3 λ + 1 - 9 λ 2 + 10 λ + 10 3 λ - 1 - 9 λ 2 + 10 λ + 10 2 9 λ 2 + 10 λ + 10

Como queremos que os planos sejam tangentes temos ainda que d C 2 ,   π = ρ 2 :

3 λ + 3 λ + 1 - 9 λ 2 + 10 λ + 10 3 λ - 1 - 9 λ 2 + 10 λ + 10 2 9 λ 2 + 10 λ + 10 = 3 λ

Resolvendo:

3 λ + 1 - 9 λ 2 + 10 λ + 10 3 λ - 1 - 9 λ 2 + 10 λ + 10 2 9 λ 2 + 10 λ + 10 = 0

3 λ + 1 - 9 λ 2 + 10 λ + 10 3 λ - 1 - 9 λ 2 + 10 λ + 10 = 0

Separando em dois casos:

3 λ + 1 - 9 λ 2 + 10 λ + 10 = 0     o u     3 λ - 1 - 9 λ 2 + 10 λ + 10 = 0      

Resolvendo 3 λ + 1 - 9 λ 2 + 10 λ + 10 = 0  

9 λ 2 + 6 λ + 1 - 9 λ 2 - 10 λ - 10 = 0

- 4 λ - 9 = 0

λ = - 9 4

Resolvendo 3 λ - 1 - 9 λ 2 + 10 λ + 10 = 0  

9 λ 2 - 6 λ + 1 - 9 λ 2 - 10 λ - 10 = 0

- 16 λ - 9 = 0

λ = - 9 16

Chegamos que para as superfícies S 1 e S 2 sejam tangentes devemos ter que:

λ = - 9 4       o u       λ = - 9 16

Resposta

λ = - 9 4       o u       λ = - 9 16

Exercício Resolvido #7

Dê equações na forma simétrica da reta perpendicular ao plano 10 x - 2 y + 4 z - 1 = 0 e que contém um diâmetro da superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 6 y + z - 11 = 0 .

Passo 1

Queremos determinar as equações simétricas da reta que possui as seguintes características:

  • Perpendicular ao plano 10 x - 2 y + 4 z - 1 = 0
  • Contém um diâmetro da superfície

Bora começar!!!

Passo 2

Quando estudamos “Retas e Planos” vimos que se uma reta é perpendicular a um plano isso significa que o vetor normal ao plano é paralelo ao vetor diretor da reta, logo, o possível vetor diretor da reta é:

10 x - 2 y + 4 z - 1 = 0 →   n → = ( 10 ,   - 2 ,   4 )

Vetor diretor da reta:

r → = n → = ( 10 ,   - 2 ,   4 )

Já sabemos o vetor diretor da reta que queremos determinar. Falta acharmos um ponto que pertença à reta.

Passo 3

Para encontrar o ponto que pertence à reta vamos usar a segunda dica: Contém um diâmetro da superfície. Com essa dica, podemos fazer o seguinte desenho:

Com o desenho percebe-se que o centro da esfera pertence à reta. Logo, se encontrarmos as coordenadas de C temos tudo o que precisamos para definir nossa reta.

Completando quadrado, temos:

x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 6 y + z - 11 = 0

( x + 1 ) 2 - 1 + y - 3 2 - 9 + z + 1 2 - 1 4 - 11 = 0

( x + 1 ) 2 + y - 3 2 + z + 1 2 = 85 4

Portanto,

C = - 1 ,   3 ,   - 1 2

Com r → = ( 10 ,   - 2 ,   4 ) e C = - 1 ,   3 ,   - 1 2 :

x + 1 10 = y - 3 - 2 = z + 1 2 4

Simplificando pra ficar bonitinho

x + 1 5 = y - 3 - 1 = z + 1 2 2

x + 1 5 = 3 - y = 2 z + 1 4

Pronto!! Terminamos!!

Resposta

x + 1 5 = 3 - y = 2 z + 1 4

Exercício Resolvido #8

Calcule a para que o plano x + y + z = a seja tangente a x 2 + y 2 + z 2 = 12 , e determine o ponto de tangência.

Passo 1

Temos duas informações para encontrar: o valor de a para que o plano seja tangente à esfera e determinar o ponto de tangência. Vamos começar determinando o valor de a .

Passo 2

Sabemos que para que um plano e uma esfera sejam tangentes, precisamos respeitar a relação:

d C , π = ρ

Para acharmos a e que respeita a relação acima, temos, primeiro, que encontrar as coordenadas de C e o raio ρ . Para isso, vamos analisar a equação da esfera:

x 2 + y 2 + z 2 = 12

( x - 0 ) 2 + ( y - 0 ) 2 + ( z - 0 ) 2 = 12

Temos, que:

C = 0 ,   0 ,   0

ρ = 12 = 2 3

Para calcular a distância d C , π vamos usar a fórmula:

Sendo que da expressão x + y + z = a , temos:

a = 1 ,   b = 1 ,   c = 1 ,   d = - a

Substiutindo temos:

d C ,   π = 1.0 + 1.0 + 1.0 - a 1 + 1 + 1 = 2 3

- a 3 = 2 3

- a = 6

Então,

x + y + z = 6       o u     x + y + z = - 6

Vamos fazer o passo a passo para:

x + y + z - 6 = 0

Para achar os outros valores é o mesmo esquema ;)

Passo 3

Falta encontrarmos o ponto T que é o ponto de tangência. Para achar T temos que lembrar da seguinte figura:

Temos que T = ( x ,   y ,   z ) pertence ao plano π , sabemos também que como o plano e a esfera são tangentes, se acharmos duas retas que possuem o ponto T essas duas retas serão perpendiculares à reta formada pelo vetor C T → . Se são perpendiculares, podemos usar que:

C T → ∙ v → = 0

Então, vamos encontrar dois pontos distintos de π e com eles construiremos dois vetores que passam por T e que são perpendiculares ao vetor C T → . Um ponto para pertencer à π deve satisfazer:

x + y + z - 6 = 0

Se escolhermos x = 0 ,   y = 0 , o valor de z = 6 . Temos, então nosso primeiro ponto A = ( 0 ,   0 ,   6 ) . O segundo ponto pode ser x = 1 ,   y = 0 , então z = 5 . Temos, B = ( 1 ,   0 ,   5 ) . Com esses dois pontos podemos construir os vetores:

A T → = x ,   y ,   z - 0 ,   0 ,   6 = x ,   y ,   z - 6

B T → = x ,   y ,   z - 1 ,   0 ,   5 = ( x - 1 ,   y ,   z - 5 )

O vetor C T → é:

C T → = x ,   y ,   z - 0 ,   0 ,   0 = ( x ,   y ,   z )

Vamos fazer os produtos internos:

A T → ∙ C T → = x ,   y ,   z - 6 ∙ x ,   y ,   z = 0 → x 2 + y 2 + z 2 - 6 z = 0

B T → ∙ C T → = x - 1 ,   y ,   z - 5 ∙ x ,   y ,   z = x 2 - x + y 2 + z 2 - 5 z = 0

Além disso temos que:

x 2 + y 2 + z 2 = 12

Obtemos um sistema:

x 2 + y 2 + z 2 - 6 z = 0       ( 1 ) x 2 - x + y 2 + z 2 - 5 z = 0     ( 2 ) x 2 + y 2 + z 2 = 12         ( 3 )

Substituindo ( 3 ) em ( 1 ) , temos:

- 6 z = - 12 → z = 2

Subsituindo ( 3 ) em ( 2 ) :

12 - x - 5 z = 0

Sendo z = 2

12 - x - 10 = 0 → x = 2

Por fim, sabendo que x = z = 2 , substuindo em ( 3 ) :

4 + 4 + y 2 = 12 → y = ± 2

Para saber qual y é o “correto”, como T pertence à π deve satisfazer:

x + y + z - 6 = 0

Se x = z = 2 , então:

y = 2

Encontramos o ponto T = ( 2 ,   2 ,   2 ) .

Ufa!! Terminamos!!

Resposta

x + y + z - 6 = 0 -   T = ( 2,2 ,   2 )

x + y + z + 6 = 0 - T = ( - 2 ,   - 2 ,   - 2 )

Exercício Resolvido #9

Dê uma equação da superfície esférica tangente aos planos

π 1 : x = 2 z + 8               e                   π 2 : 2 x - z + 5 = 0 ,

Cujo centro pertence à reta x + 2 = y = 0

Passo 1

Esse exercício é um pouco diferente do que vínhamos fazendo. Queremos novamente determinar a equação da superfície esférica. Mas, agora, as informações que nos são dadas para isso são:

  • Superfície tangente aos planos π 1 : x = 2 z + 8               e                   π 2 : 2 x - z + 5 = 0
  • Centro da superfície pertence à reta x + 2 = y = 0

Teremos que usar essas informações para achar as coordenadas do centro C e o raio ρ da esfera. Mas, como faremos isso?

Relaxa!! Vamos fazer o passo a passo!! ;)

Passo 2

Para resolver esse tipo de problema sempre bom fazer um esboço das informações que temos para tentar abstrair e ver como podemos chegar a uma solução!! Então, a figura a seguir seria um bom esboço!

Vamos começar determinando o centro C . Sabemos que C pertence à reta x + 2 = y = 0 . Com a relação que nos foi dada, chegamos que:

x = - 2

y = 0

Então, um ponto genérico da reta possui as seguintes coordenadas:

P ( x ,   y ,   z ) = ( - 2 ,   0 ,   z )

Então,

C = ( - 2 ,   0 ,   z )

Passo 3

Agora, vamos utilizar os planos. Sabemos que os planos são tangentes à esfera. Então, isso significa que a distância entre o plano π 1 e C é igual a distância entre π 2 e C , portanto:

d π 1 ,   C = d ( π 2 ,   C )

Como temos a distância entre um ponto e um plano usaremos a seguinte fórmula:

Para o plano π 1 : x = 2 z + 8 :

a = 1 ,   b = 0 ,   c = - 2 ,   d = - 8

Para o plano π 2 : 2 x - z + 5 = 0 :

a = 2 ,   b = 0 ,   c = - 1 ,   d = 5

Substituindo os valores acima na fórmula e considerando C = - 2 ,   0 ,   z = ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) :

1 . - 2 + 0.0 + - 2 . z - 8 ( 1 ) 2 + 0 2 + ( - 2 ) 2 = 2 . - 2 + 0.0 + - 1 . z + 5 ( 1 ) 2 + 0 2 + ( - 2 ) 2

Elevando os dois membros ao quadrado e resolvendo:

1 . - 2 + 0.0 + - 2 . z - 8 = 2 . - 2 + 0.0 + - 1 . z + 5

( - 2 z - 10 ) 2 = ( - z + 1 ) 2

4 z 2 + 40 z + 100 = z 2 - 2 z + 1

3 z 2 + 42 z + 99 = 0

z 2 + 1 4 z + 33 = 0

z = - 11       o u         z = - 3

Temos duas possibilidade para C :

z = - 11 → C = ( - 2 ,   0 ,   - 11 )

z = - 3 → C = ( - 2 ,   0 ,   - 3 )

Passo 4

Para determinar uma superfície esférica precisamos de C e do raio, então vamos calcular uma das distâncias d π 1 ,   C ou d ( π 2 ,   C ) , escolhendo d π 1 ,   C e calculando temos:

Para C = ( - 2 ,   0 ,   - 11 )

d π 1 ,   C = 1 . - 2 + 0.0 + - 2 . ( - 11 ) - 8 ( 1 ) 2 + 0 2 + ( - 2 ) 2 = 12 5

ρ = 12 5

Para C = ( - 2 ,   0 ,   - 3 )

d π 1 ,   C = 1 . - 2 + 0.0 + - 2 . ( - 3 ) - 8 ( 1 ) 2 + 0 2 + ( - 2 ) 2 = 4 5

Portanto, temos como solução duas superfícies esféricas possíveis:

( x + 2 ) 2 + y 2 + ( z + 11 ) 2 = 144 5

( x + 2 ) 2 + y 2 + ( z + 3 ) 2 = 16 5

Resposta

( x + 2 ) 2 + y 2 + ( z + 11 ) 2 = 144 5

( x + 2 ) 2 + y 2 + ( z + 3 ) 2 = 16 5

Exercício Resolvido #10

Obtenha as equações gerais das superfícies esféricas com centro ( 1 ,   0 ,   1 ) que tangenciam interiormente a superfície esférica S :   x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + y - 10 = 0 .

Passo 1

Mais uma vez queremos descobrir as superfícies esféricas que tangenciam interiormente a superfície S . Sabemos da teoria que para serem tangentes d C 2 ,   π = ρ 2 , mas e para serem tangentes interiormente? Bom, aí você precisa de uma informação que ainda não falamos que é a seguinte:

Supondo que ρ 1 ≤ ρ 2 :

  • Se   d C 1 ,   C 2 = ρ 1 + ρ 2 , S 1 e S 2 são tangentes exteriormente
  • Se   d C 1 ,   C 2 = | ρ 2 - ρ 1 | são tangentes interiormente

Sabendo disso conseguimos resolver o exercício!!

Passo 2

Precisamos determinar o valor de ρ 1 para determinarmos as superfícies tangentes à S , pois já temos que C 1 = ( 1 ,   0 ,   1 ) , então, falta determinarmos: ρ 2 ,   C 2   e   d C 1 ,   C 2 para então aplicarmos a fórmula. Lembrando que estamos assumindo que as superfícicies que queremos encontrar possuem ρ 1 ≤ ρ 2 , pois são internas à S .

Completando quadrado de S :

x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + y - 10 = 0

( x - 1 ) 2 - 1 + y + 1 2 2 - 1 4 + z 2 - 10 = 0

( x - 1 ) 2 + y + 1 2 2 + z 2 = 45 4

Portanto:

C 1 = 1 ,   - 1 2 ,   0

ρ 2 = 3 5 2

d C 1 ,   C 2 = 5 2

Passo 3

Usando a fórmula:

d C 2 ,   π = ρ 2 + ρ 2 + ρ 1 - d C 1 ,   C 2 ρ 2 - ρ 1 - d C 1 ,   C 2 2 d C 1 ,   C 2

E sabendo que para tangenciarem:

d C 2 ,   π = ρ 2

Então,

ρ 2 + ρ 1 - d C 1 ,   C 2 ρ 2 - ρ 1 - d C 1 ,   C 2 2 d C 1 ,   C 2 = 0

Subsituindo os valores:

3 5 2 + ρ 2 - 5 2 3 5 2 - ρ 2 - 5 2 = 0

Como estamos lidando com distâncias, vamos considerar que:

3 5 2 + ρ 2 - 5 2 = 0         o u         ρ 2 - 3 5 2 - 5 2 = 0

Assim, temos dois valores possíveis de ρ 2 :

ρ 2 = 5       e         ρ 2 = 2 5

Para verificar se os dois fazem sentido, vamos verificar se

d C 1 ,   C 2 = ρ 2 - ρ 1

Para ρ 2 = 5 :

d C 1 ,   C 2 = ρ 2 - ρ 1 → 5 2 = 5 - 3 5 2 → 5 2 = 5 2 → s a t i s f a z  

Para ρ 2 = 2 5 :

d C 1 ,   C 2 = | ρ 2 - ρ 1 | → 5 2 = 2 5 - 3 5 2   → 5 2 = 5 2 → s a t i s f a z  

Assim, nossas superfícies possíveis são:

( x - 1 ) 2 + y 2 + ( z - 1 ) 2 = 5

( x - 1 ) 2 + y 2 + ( z - 1 ) 2 = 20

Resposta

( x - 1 ) 2 + y 2 + ( z - 1 ) 2 = 5

( x - 1 ) 2 + y 2 + ( z - 1 ) 2 = 20

Exercícios de Livros Relacionados

Obtenha a equação geral da superfície esférica que contém o ponto A = - 1,6 , - 3 e tangencia o plano π : 4 x + 4 y + 7 z - 96 = 0 em T = 7,3 , 8 .
Determinar uma equação da superfície esférica de centro C ( 2 ,- 3 ,4 ) e:tangente ao plano y O z .
Determinar uma equação das superfícies esféricas nas condições dadas.Centro C ( 2 , - 3,1 ) e raio 4 .
Determinar uma equação das superfícies esféricas nas condições dadas.O segmento de extremos A ( - 1 , 3 , - 5 ) e B ( 5 , - 1 , - 3 ) é um de seus diâmetros.
Determinar uma equação das superfícies esféricas nas condições dadas.O centro C ( - 2 , 3,4 ) e tangente ao eixo O z .