Determinantes em Blocos

Teoria Completa

Vou mostrar agora mais um método para o cálculo de determinantes. É um pouco parecido com o determinante de matrizes triangulares, só que mais geral.

Primeiramente, o quer dizer Matrizes em blocos?

Bom, vamos supor uma matriz assim:

M = A B 0 D

o u

M = A 0 C D

o u

M = A 0 0 D

Sendo A ,   D matrizes quadradas. Ou seja, as matrizes da diagonal devem ser quadradas.

Pera deixa eu ver se eu entendi, então temos uma matriz M com varias outras matriz quadradas dentro dela???? Sim, e por isso serão matrizes um tanto grandes.

E o 0 ali em cima? Ele também é um bloco de zeros, e não o número zero em si??? Não necessariamente!!! O 0 ali em cima é um conjunto de zeros, pode ser uma linha de dois, três quatro zeros! Pode ser também um quadradinho que nem as matrizes A , D mas não é necessário! Vou dar uns exemplos pra você:

Essa é uma possível matriz em blocos

Primeiramente repare que não temos um quadrado de zeros! O que nós temos é uma linha de três zeros! Mas por que isso funciona?

Nós temos que separar a matriz de um jeito que fique igual aos três jeitos anteriores. Olha a imagem abaixo:

Esse é exatamente o caso:

M = A 0 C D

Hã??? Como assim??

Ué temos que achar matrizes A ,   D quadradas né?? Então, só fazer:

A = 1 3 7 1 4 8 1 5 9

D = [ 2 ]

Pera aiiii!!! A matriz A é quadrada, 3 × 3 tudo normal. Mas e a outra matriz D ??? Só tem um elemento!

Isso é verdade, mas não deixa de ser uma matriz quadrada, repare que ela é 1 × 1 e então satisfaz as condições que estipulamos antes.

E esta matriz?

1 2 3 0 5 6 7 0 1 2 5 5 4 4 3 3

Bom, vamos tentar separar em duas matrizes A ,   D quadradas!

Viu que não deu pra separar em duas matrizes quadradas?

Mas por que isso tudo é importante???

Porque o determinante dessas matrizes é fácil de calcular!

Se você reparar na forma dessas matrizes verão que se assemelham muito à matrizes triangulares! Elas são chamadas matrizes bloco-triangulares. Não por acaso, o determinante dessas matrizes vai ser sempre da forma:

det ⁡ M = det ⁡ A ⋅ d e t ⁡ ( D )

Assim, para calcular o determinante lá da matriz da letra ( a ) :

É só fazer:

det ⁡ M = det ⁡ A ⋅ det ⁡ B

Sendo:

A = 1 3 7 1 4 8 1 5 9 ⇒

det ⁡ A = 0

Repare que a primeira coluna multiplicada por 4 , somada a segunda dá a terceira:

C 3 = 4 ⋅ C 1 + C 2

Como a matriz B é 1 × 1 , só possui um único elemento e o determinante é ele mesmo.

Logo:

det ⁡ M = 0 ⋅ 2 = 0

Vale ressaltar que, apesar de ser a forma mais comum, você não precisa separá-la em apenas 4 blocos! O importante é transformá-la em uma matriz bloco-triangular. Veja o exemplo abaixo:

Essa matriz em blocos é dada por:

A D E 0 B F 0 0 C

Que é uma matriz triangular onde,

A = 2 1 3 2 ,   B = - 2 7 - 1 4 ,   C = 9

Portanto, temos que seu determinante vale:

det ⁡ A × det ⁡ B × det ⁡ C = 2 1 3 2 × - 2 7 - 1 4 × 9 = 4 - 3 ⏟ 1 × - 8 + 7 ⏟ - 1 × 9 = - 9

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Exercício Resolvido #1

Livro Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, Marco Cabral e Paulo Goldfeld, página 189 Problema 6.5

Divida em blocos para calcular o determinante das matrizes abaixo (trocando linhas ou colunas de lugar se necessário).

a   3 4 0 0 2 3 0 0 5 6 7 1 0 1 1 2

b   0 0 2 0 0 0 0 3 3 1 5 0 1 2 0 3

c   3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1

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Passo 1

a   Temos que dividir a matriz na forma:

M = A x y D

De modo que no lugar do x ou y tenha pelo menos um bloco de zeros. Assim, podemos ver que na letra ( a ) , podemos tomar x = 0 0 0 0 E assim podemos aplicar a propriedade do determinante de matriz em blocos!

det ⁡ M = det ⁡ A ⋅ d e t ⁡ ( D )

Como:

A = 3 4 2 3

D = 7 1 1 2

Podemos calcular o determinante da matriz original:

det ⁡ A = 1

det ⁡ D = 13

det ⁡ M = 1 ⋅ 13 = 13

Passo 2

b   Bom, essa matriz já é um pouco mais difícil de calcular, pois não se enquadra nestes tipos: A 0 C D ,   A B 0 D . O bloco de zeros está no lugar das matrizes A , D e assim não dá pra aplicar a propriedade que queremos. Entretanto podemos trocar a coluna 1 com a coluna 4 e a coluna 2 com a coluna 3 , lembrando que o determinante muda de sinal cada vez que fazemos isso e como fizemos isso duas vezes o sinal volta a ser o original.

0 2 0 0 3 0 0 0 0 5 1 3 3 0 2 1

Agora sim temos uma matriz do tipo A 0 C D e podemos aplicar as propriedades! Mas antes, vamos separar quem são as matrizes A , B :

A = 0 2 3 0

D = 1 3 2 1

Assim fica fácil de calcular o determinante da matriz original:

det ⁡ M = det ⁡ A ⋅ det ⁡ D

det ⁡ A = - 6

det ⁡ D = - 5

det ⁡ M = - 6 ⋅ - 5 = 30

Passo 3

c   Dessa vez não temos um grupo quadradinho de zeros, mas lembre-se que não precisamos disso! Basta dividirmos um grupo de zeros com a matriz A , D quadradas:

M = A 0 C D

M = A B 0 D

Assim, basta tomar:

A = 3 4 2 3

D = 1 1 1 1 0 1 0 1 1

Logo o determinante da nossa matriz é:

det ⁡ A = 1

det ⁡ D = 0 + 1 - 1 - 1 = - 1 ∴

det ⁡ M = det ⁡ A ⋅ det ⁡ D = - 1

Resposta

a   13

b   30

c - 1

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Calcule o determinante da matriz abaixo.

1 6 7 8 2 0 9 3 0 5 0 9 7 0 7 4 5 4 1 0 0 0 0 1 7 2 0 0 1 3 0 9 3 0 0 0 0 4 7 5 0 0 0 0 7 1 5 0 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a   Essa matriz parece muito grande né? Bom realmente ela é, mas podemos dar um jeito nisso. Repare que ela tem muitos zeros na 5 e 4 coluna, porém isso não é nada vantajoso para nós, pois precisamos de matrizes desse jeito:

M = A B 0 D

M = A 0 C D

Para podemos calcular o determinante por matrizes em blocos. Assim o que podemos fazer é trocar as duas últimas colunas com as duas primeiras:

M ' = 9 0 7 8 2 6 1 0 7 5 0 9 0 3 0 0 5 4 1 4 7 0 0 1 7 2 0 0 0 0 0 9 3 3 1 0 0 4 7 5 0 0 0 0 7 1 5 0 0

Lembrando que como trocamos duas colunas o sinal do determinante não altera.

det ⁡ M = det ⁡ M '

Passo 2

Agora sim podemos separar em blocos essa matriz:

Tomando:

A = 9 0 0 7

D = 5 4 1 4 7 1 7 2 0 0 0 9 3 3 1 4 7 5 0 0 7 1 5 0 0

E assim:

det ⁡ M ' = det ⁡ A ⋅ d e t ⁡ ( D )

Bom, chegamos de novo em uma matriz grande. Do jeito que ela está, não podemos dividir em blocos de zero do jeito que gostaríamos, o que podemos fazer é trocar a terceira linha com a segunda linha:

D ' = 5 4 1 4 7 0 9 3 3 1 1 7 2 0 0 4 7 5 0 0 7 1 5 0 0

Passo 3

Agora vamos trocar a coluna 5 com a 1 e a 4 com a 2 :

D ' ' = 7 4 1 4 5 1 3 3 9 0 0 0 2 7 1 0 0 5 7 4 0 0 5 1 7

E agora podemos separar a matriz em blocos:

Assim seu determinante vai ficar:

det ⁡ D = - - - det ⁡ D ' ' = - d e t ⁡ ( D ' ' )

det ⁡ D ' ' = det ⁡ E ⋅ d e t ⁡ ( H )

Sendo:

E = 7 4 1 3

H = 2 7 1 5 7 4 5 1 7

E assim podemos finalmente calcular o determinante da nossa matriz M :

det ⁡ M = det ⁡ M ' = det ⁡ A ⋅ d e t ⁡ ( D )

det ⁡ D = - d e t ⁡ ( D ' ' )

det ⁡ D ' ' = det ⁡ E ⋅ d e t ⁡ ( H )

Passo 4

Vamos começar calculando o determinante de D ' ' :

det ⁡ E = 17