Propriedades dos Determinantes

Teoria Completa

Até aqui foi tudo muito prático, várias contas e tals. Agora finalmente vamos ver o resto das propriedades do Determinante e entender porque ele é tão especial.

A primeira vocês já conhecem:

  1. Determinante e dependência ou independência linear
  2. det ⁡ A = 0 se, e somente se, A possui linhas ou colunas L D .

    Então já sabe, se A for L D , seu determinante é zero. E se seu determinante for zero, ela é L D .

  3. Linearidade do Determinante
  4. Temos que o determinante é linear em cada coluna. Assim:

    det ⁡ ↑ ↑ k u + v w ↓ ↓ = k det ⁡ ↑ ↑ u w ↓ ↓ + det ⁡ ↑ ↑ v w ↓ ↓

  5. Determinante da matriz identidade
  6. O determinante da matriz identidade vale 1 :

    det ⁡ I = 1

    Bom, é fácil ver isso se lembrarmos que o determinante de uma matriz triangular superior é o produto dos elementos de sua diagonal principal. A matriz identidade só possui 1 na diagonal, então seu determinante tem que valer 1

  7. Determinante da matriz transposta
  8. Lembra da matriz transposta?

    É aquela em que você pega os vetores nas colunas da matriz original e os coloca nas linhas de outra matriz. Então, o determinante da matriz transposta é igual ao da matriz original:

    det ⁡ A = det ⁡ ( A T )

    Olha esse exemplo aqui:

    A = 2 - 2 1 3 ,   A T = 2 1 - 2 3

    det ⁡ A = 3 ⋅ 2 - 1 ⋅ - 2 = 8 = det ⁡ A T

  9. Determinante do produto
  10. Por mais incrível que pareça, o determinante do produto é o produto dos determinantes!

    det ⁡ A ∙ B = det ⁡ A × det ⁡ B

    Quer ver? Um exemplo:

    A = 1 2 1 3 ,   B = 1 1 2 4

    Multiplicando:

    A ∙ B = 1 2 1 3 ⋅ 1 1 2 4 = 5 9 7 13

    Calculando os determinantes de cada matriz:

    det ⁡ A = 1 ⋅ 3 - 1 ⋅ 2 = 1

    det ⁡ B = 1 × 4 - 2 × 1 = 2

    det ⁡ A ⋅ B = 5 ⋅ 13 - 7 ⋅ 9 = 65 - 63 = 2

    E, de fato, 2 = 2 ⋅ 1 :P

    Obs: Muito cuidado agora, o determinante do produto é o produto dos determinantes, mas o determinante da soma NÃO é necessariamente igual à soma dos determinantes!!

  11. Determinante da matriz inversa
  12. Esse é o mais incrível. O determinante da matriz inversa dá o inverso do determinante.

    Afinal:

    A ⋅ A - 1 = I

    Mas sabemos que det ⁡ I = 1 , então:

    det ⁡ A ⋅ A - 1 = 1

    Mas, pela propriedade do determinante do produto, que acabamos de ver:

    det ⁡ A × det ⁡ A - 1 = 1

    det ⁡ A - 1 = 1 det ⁡ A

    Ou seja, você não precisa calcular a inversa para achar o determinante dela. =D

    Repare também que se o determinante de uma matriz for igual a zero, ela não será invertível! Caso contrário, o determinante de sua inversa seria 1 0 !!

  13. Determinante de uma matriz ortogonal

Lembra de quando falamos de matrizes ortogonais? São matrizes cuja transposta é igual a inversa! Eu até dei alguns exemplos, como a matriz identidade, a matriz rotação ou a matriz reflexão.

Então, o que acontece é que nessas matrizes o determinante será sempre 1 ou - 1 ! Por que isso? Bom se a matriz transposta é igual à inversa, seus determinantes também tem que ser iguais. Então:

det ⁡ A T = det ⁡ A - 1

Mas sabemos que:

det ⁡ A T = det ⁡ A

det ⁡ A - 1 = 1 det ⁡ A

Juntando essas informações temos:

det ⁡ A = 1 det ⁡ A ⇒ det ⁡ A 2 = 1 ⇒ det ⁡ A = ± 1

Além dessas propriedades aí, existe um teorema muito útil que podemos juntar com o resto todo da matéria de Álgebra Linear! Se liga no bizu:

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Calcule o determinante de M - 1 , se

M = 4 11 - 7 - 1 - 3 - 2 2 1 0 3 2 7 0 0 - 2 0 3 0 0 0 3 - 1 6 0 5

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Passo 1

Pô, que droga... inverter matriz 5 × 5 é o fim do mundo! E ainda calcular o determinante depois? Putz!

A minha sorte é que eu sei que eu não preciso inverter a matriz, pois det ⁡ M - 1 = 1 det ⁡ M .

O primeiro passo é você se lembrar disso!

Passo 2

Como a matriz tem muitos zeros, vamos usar o teorema de Laplace para calcular.

Podemos escolher a 4 ª linha ou a 4 ª coluna, pois ambas tem 4 zeros.

Vamos usar a 4 ª linha, então.

O único cofator que precisamos calcular é o do elemento m 42 = 3 .

Fica assim:

Δ 42 = - 1 4 + 2   4 - 7 - 1 - 3 - 2 1 0 3 2 0 0 - 2 3 6 0 5 = + 4 - 7 - 1 - 3 - 2 1 0 3 2 0 0 - 2 3 6 0 5

Então temos:

det ⁡ M = 3 Δ 42

Agora falta calcular o menor principal, que é esse determinante 4 × 4 .

Passo 3

Esse determinante 4 × 4 também possui muitos zeros, então podemos aplicar Laplace nele.

A fila com mais zeros é a terceira coluna:

Nessa coluna só precisaremos calcular o cofator do - 1 , pois o resto é zero:

Δ 13 = - 1 1 + 3 - 2 1 3 2 0 - 2 3 6 5 = + - 2 1 3 2 0 - 2 3 6 5

O valor do determinante 4 × 4 é o seu cofator multiplicado pelo elemento - 1 , então o determinante de M fica:

det ⁡ M = 3 Δ 42 = 3 × - 1 × - 2 1 3 2 0 - 2 3 6 5 = - 3 - 2 1 3 2 0 - 2 3 6 5

Passo 4

Agora falta só calcular esse determinante 3 × 3 . Você pode calculá-lo como quiser, mas vou usar a regra de Sarrus:

- 2 1 3 2 0 - 2 3 6 5 - 2 1 2 0 3 6 = + 0 + - 6 + 36 - 0 - 24 - 10 = - 4

Aí fica:

det ⁡ M = - 3 × - 4 = 12

Passo 5

Só que não queremos saber o determinante de M , e sim o de sua inversa!

Aí é usar a relação do passo 1 :

det ⁡ M - 1 = 1 det ⁡ M = 1 12

Resposta

det ⁡ M - 1 = 1 12

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

As afirmativas abaixo tratam da matriz quadrada A e da identidade I . Qual das afirmativas é verdadeira?

a   Se a matriz A é inversível, então det ⁡ A = 0

b   Se det ⁡ A ≠ 0 , então d i m ⁡ ( N u c A ) = 0

c   Se I é a matriz identidade de ordem 3 , então det ⁡ 3 I = 3

d   Se A é 3 × 3 , então det ⁡ 2 A = 2 det ⁡ A

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Passo 1

a   Pra resolver essa, é só lembrar do bizu!

Logo, se A é inversível, implica que o d e t ⁡ ( A ) ≠ 0 . E portanto a afirmativa é falsa.

Passo 2

b   Se dim ⁡ N u c A = 0 , então N u c A = 0 .

É só pensar no contário de novo. Se o N u c A = { 0 } , implica que o d e t ⁡ ( A ) ≠ 0 . Então a afirmativa é verdadeira.

Passo 3

c   Bom, se I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 , então 3 I = 3 0 0 0 3 0 0 0 3 .

Repare que 3 I é uma matriz diagonal, e em especial uma matriz triangular, então é só multiplicar os elementos da diagonal principal:

3 0 0 0 3 0 0 0 3 = 3 × 3 × 3 = 27

Então det ⁡ 3 I = 27 . Falsa.

Passo 4

Bom, na ( d ) ele fala que A é 3 × 3 . Ou seja, A é desse tipo:

A = a b c d e f g h i

Vamos ver o que acontece com 2 A :

2 A = 2 a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 f 2 g 2 h 2 i

O que eu posso dizer sobre o determinante?

O que a gente sabe é que se eu multiplico uma linha ou uma coluna por um escalar, o determinante é multiplicado uma vez por esse escalar.

Agora se eu multiplico três linhas por 2 , o determinante vai ser multiplicado três vezes por 2 .

Então, nesse caso:

det ⁡ 2 A = 2 × 2 × 2 det ⁡ A = 8 det ⁡ A

A ( d ) é falsa então.

Resposta

Letra ( b )

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Diga se as alternativas abaixo são verdadeiras ou falsas:

  1. Se det ⁡ A 3 × 3 = a e det ⁡ B 3 × 3 = b então det ⁡ 3 A B 2 T = 3 b 2 a
  2. Se det ⁡ M = c 4 e det ⁡ D = 6 c ,   c ∈ R * então det ⁡ M - 1 D T = 24

a   Ambas são verdadeiras

b