Volume e Área com Determinante

Teoria Completa

É isso mesmo que você leu no título, vamos aprender a calcular áreas e volumes com determinantes!!

Pois é, determinante serve pra tudo haha, normal você ficar assustado! Na verdade, essa foi uma das motivações da definição do determinante. O que acontece é que o determinante de uma matriz quadrada é uma generalização de área e volume! Vamos ver uns exemplos.

Determinante de matriz 2 × 2

O determinante de uma matriz 2 × 2 pode ser definido como a área de um paralelogramo. Nesse caso, temos algo do tipo:

Para acharmos a área A , basta jogarmos os vetores v e u nas colunas de uma matriz 2 × 2 e calcular seu determinante! Então, teremos:

A = ↑ ↑ u v ↓ ↓ = x 1 x 2 y 1 y 2 = x 1 y 2 - x 2 y 1

Note que, dependendo da ordem que você ordenar os vetores na matriz você pode encontrar uma área negativa. Portanto, para fins práticos de área e volume basta você ignorar esse sinal ;)

Beleza, e se tivéssemos a seguinte situação:

Cuidado que não podemos jogar as coordenadas x 2 , y 2 e x 3 , y 3 direto! Antes precisamos deslocar os vetores u e v para origem, dessa forma:

u ¯ = x 2 , y 2 - x 1 , y 1 = x 2 - x 1 , y 2 - y 1

v ¯ = x 3 , y 3 - x 1 , y 1 = x 3 - x 1 , y 3 - y 1

A área do paralelogramo é dada então por:

A = ↑ ↑ u ¯ v ¯ ↓ ↓ = x 2 - x 1 x 3 - x 1 y 2 - y 1 y 3 - y 1

Por último, vamos ver como ficaria a área de um triângulo formado pelos 2 vetores:

Essa imagem matou o problema né haha? Está claro que A 1 = A 2 . Então basta acharmos a área do paralelogramo e dividirmos por 2 :

A 1 = 1 2 ↑ ↑ u v ↓ ↓ = 1 2 x 1 x 2 y 1 y 2 = x 1 y 2 - x 2 y 1 2

Determinante de matriz 3 × 3

Finalmente vamos ao volume! A ideia é 100 % análoga. Se temos 3 vetores no espaço u ,   v   e w , gerando um paralelepípedo como o da figura abaixo:

O volume do paralelepípedo gerado por esses vetores é dado por:

V = ↑ ↑ ↑ v u w ↓ ↓ ↓ = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3

Da mesma forma, podemos ter um paralelepípedo deslocado. Nesse caso basta deslocarmos os vetores para a origem assim como fizemos no R 2 ;)

Volume e Área nulos

A parte mais legal de área e volume começa agora haha. Preparem-se para sentir aquela iluminação de quando tudo de repente se encaixa e passa a fazer sentido!

Bom, vamos pensar no R 3 . Lembra que o determinante de uma matriz com linhas ou colunas L D era zero? No R 3 vetores serem L D significa que os 3 vetores estão no mesmo plano ou na mesma reta. Tipo assim:

E agora eu te pergunto qual o volume de um plano ou de uma reta? É zero obviamente!! Por isso que o determinante de matrizes L D será sempre 0 !!! Se liga:

No R 2 vetores L D fazem parte da mesma reta. E a área de uma reta é zero! Fica difícil imaginar isso acima do R 3 já que não temos uma medida de “volume” para 4 ou mais dimensões, mas o raciocínio seria análogo!

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Sejam os vértices de um triangulo 1,1 ,   2,5 ,   ( 3,1 ) . Calcule a área desse triângulo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para fazer isso, precisamos pegar dois vetores que sejam os lados desse triângulo e depois botar esses vetores em colunas numa matriz 2 × 2 e fazer o determinante.

Sendo assim, sejam u , v dois vetores desse triângulo. Vamos tomar a origem como ( 1,1 ) :

u = 2,5 - 1,1 = 1,4

v = 3,1 - 1,1 = ( 2,0 )

Seja

A = 1 2 4 0

Passo 2

Agora basta achar o determinante da matriz:

det ⁡ A = 1 2 4 0 = 0 - 8 = - 8

E como sabemos que a área de um triangulo é:

S = 1 2 | d e t ⁡ ( A ) | = 1 2 . 8 = 4

Resposta

S = 4

Exercício Resolvido #2

UFRJ-P3-2012.1

Determine o volume do paralelepípedo:

a   6

b   4

c   9

d   8

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Determinar o volume do paralelepípedo é o mesmo que calcular o módulo do determinante da matriz cujas colunas são os vetores que se encontram num vértice qualquer.

Escolhendo o vértice B , por exemplo. O vértice B está ligado aos vértices A , C e F .

Calculando os vetores nas arestas, fica assim:

B A → = A → - B → = 2,2 , 2 - 4,4 , 2 = ( - 2 ,   - 2 ,   0 )

B C → = C → - B → = 7 ,   9 ,   4 - 4 ,   4 ,   2 = ( 3 ,   5 ,   2 )

B F → = F → - B → = 8 ,   8 ,   4 - 4 ,   4 ,   2 = ( 4 ,   4 ,   2 )

Então o volume do paralelepípedo é dado por:

V = det ⁡ - 2 3 4 - 2 5 4 0 2 2

Passo 2

Usando a regra de Sarrus, temos:

- 2 3 4 - 2 5 4 0 2 2 = - 20 + 0 - 16 - 0 + 12 + 16 = - 8

Então:

V = - 8 = 8

Resposta

Letra ( d )

Exercício Resolvido #3

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 189 – Prob 6.6

Calcule o volume do paralelepípedo abaixo, cujos vértices são:

A = 2,3 , 4 ,   B = 0,8 , 7 ,   C = - 1,5 , 9 ,   D = 2 , - 1,10 ,  

E = - 3,10,12 ,   F = 0,4 , 13 ,   G = - 1,1 , 15 ,   H = - 3,6 , 18 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiro vamos escolher um vértice para usar como origem. Tomando o G como origem temos:

G H → = H → - G → = - 3,6 , 18 - - 1,1 , 15 = ( - 2 ,   5 ,   3 )

G D → = D → - G → = 2 , - 1,10 - - 1,1 , 15 = ( 3 ,   - 2 ,   - 5 )

G C → = C → - G → = - 1,5 , 9 - - 1,1 , 15 = ( 0 ,   4 ,   - 6 )

Então o volume do paralelepípedo é dado por:

V = det ⁡ - 2 3 0 5 - 2 4 3 - 5 - 6

Passo 2

Usando a regra de Sarrus, temos:

- 2 3 0 5 - 2 4 3 - 5 - 6 = - 2 4 + 36 + 0 - 0 + 90 - 40 = 62

Então:

V = 62 = 62

Resposta

V = 62

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