Lista de Exercícios Resolvidos de Volume e Área com Determinante

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Sejam os vértices de um triangulo 1,1 ,   2,5 ,   ( 3,1 ) . Calcule a área desse triângulo.

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Determine o volume do paralelepípedo:

a   6

b   4

c   9

d   8

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Calcule o volume do paralelepípedo abaixo, cujos vértices são:

A = 2,3 , 4 ,   B = 0,8 , 7 ,   C = - 1,5 , 9 ,   D = 2 , - 1,10 ,  

E = - 3,10,12 ,   F = 0,4 , 13 ,   G = - 1,1 , 15 ,   H = - 3,6 , 18 .

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À questão “Calcule a matriz em coordenadas homogêneas R ' da rotação em R 2 de π 2 no sentido trigonométrico em torno do ponto ( 1,0 ) .”, Breninho respondeu:

Sabemos que a imagem do centro de rotação 1,0 é ( 1,0 ) , mas ao aplicarmos a matriz R ' no ponto de coordenadas homogêneas ( 1 , 0,1 ) obtemos ( - 1,2 , 1 ) . Assim, podemos afirmar que Breninho errou.

a   Aponte e explique o erro de Breninho.

b   Dê uma explicação geométrica do por que det ⁡ R = 1 .

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Um tetraedro O A B C tem volume 12. Determine o volume do tetraedro O P Q R no qual O P → = O A → + O B → , O Q → = O A → + O C → e O R → = O B → + O C → .

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Sejam os pontos O 0 ,   0 ,   0 , A 1 ,   0 ,   0 , B 2 ,   3 ,   0 e C 0 ,   0 ,   2 .

  1. Ache a equação do plano A B C e prove que o ponto O não pertence a esse plano.
  2. Calcule o volume do tetraedro O A B C .
  3. Ache o simétrico do ponto O em relação ao plano A B C .
  4. Ache o (cosseno do) ângulo entre as arestas C A   e C B .

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Considere o paralelepípedo em R 3 abaixo,

onde A = 2,1 , 3 , B = 1,1 , 1 , C = 2,3 , - 1 e F = - 2,2 , 1 . O volume deste paralelepípedo é:

a   7

b   16

c   2

d   15

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Considere o paralelepípedo em R 3 abaixo,

onde A = 2,2 , 3 , B = 1,1 , 1 , C = 2,3 , - 1 e F = - 2,2 , 1 . O volume deste paralelepípedo é:

(a)   8

(b)   22

(c)   0

(d)   18

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Considere o paralelepípedo em R 3 abaixo:

Onde A = 2,1 , 3 ,   B = 1,1 , 1 ,   C = ( 2,3 , - 1 ) e F = - 3,0 , 3 . O volume deste paralelepípedo é:

(a) 15

(b) 16

(c) 17

(d) 18

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Em alguma base ortonormal são dados os vetores u → = ( 1 ,   1 ,   2 ) , v → = ( 0 ,   1 ,   1 ) e w → = ( 1 ,   1 ,   - 4 ) . Considere os pontos A , B , C e D tais que A B → = u → , B C → = v → e C D → = w → e determine:

a) A área do triângulo A B C

b) O volume do tetraedro A B C D

c) A altura do tetraedro A B C D relativa à face A B C

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Assinale a área do triângulo definido pelos pontos 2,2 , 3,1 e 5,3 :

( a ) 2

( b ) 1 2

( c ) 3

( d ) 3 2

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