Matrizes que Representam TL: Aplicação

Teoria Completa

Bom, vamos lá! Nós já vimos que toda transformação linear é uma matriz, certo?! E é possível encontrar essa matriz... Beleza! Mas qual a utilidade e a aplicação dessas matrizes?

Vamos pensar na seguinte analogia para nos ajudar a entender melhor a ideia:

B a s e   →   I d i o m a

V e t o r   → I d e i a

C o o r d e n a d a   → P a l a v r a

Se eu te disser que existe um animal que mia e toma leite, você pode associar essas características a um animal que seria um gatinho (ideia), certo?

Nós podemos expressar através de palavras essa ideia (animal que mia e toma leite) de várias formas diferentes de acordo com cada idioma, concorda? Por exemplo,

P o r t u g u ê s   → G a t o

I n g l ê s   → C a t

A l e m ã o   → K a t z e

Ou seja, nós podemos representar a nossa ideia em vários idiomas diferentes e para cada idioma teremos uma palavra diferente, mas no fundo a ideia é a mesma!! Só estamos usando a palavra de acordo com o idioma.

Voltando pro nosso mundo da matemática, cada base (idioma) terá uma coordenada (palavra) diferente para expressar o vetor (ideia). Show de bola?!

Então vamos ver como isso funciona na prática e com as continhas?!

Um dos exemplos que fizemos para encontrar a matriz que representa essa T L foi esse aí embaixo:

T : R 2 ⟶ R 3

T x , y = ( 2 x - y ,   x - 2 y ,   x + 2 y )

Usando como α como base do domínio e β como base do contra domínio:

α = 1,0 , 1,1

β = 1,0 , 0 , 0,1 , 1 , 0,0 , 1

A matriz encontrada foi:

T =   2 1 1 - 1 0 4

Uma coisa interessante que podemos reparar é que essa matriz leva um vetor x , y nas coordenadas da base α (domínio) no vetor T x , y nas coordenadas da base β (contradomínio).

Por exemplo, sendo x , y = - 2,3 , temos:

T x , y = ( 2 x - y ,   x - 2 y ,   x + 2 y )

T - 2,3 = - 4 - 3 , - 2 - 6 , - 2 + 6 = - 7 , - 8,4

Beleza, agora vamos escrever o nosso vetor - 2,3 na base α do nosso domínio. O que isso quer dizer?! Queremos encontrar os valores de a e b que satisfaça a relação abaixo:

- 2,3 = a 1,0 + b 1,1

Se você reparar, os vetores da combinação linear são os vetores do nosso domínio   α . Assim, resolvendo o sisteminha linear ficamos com:

- 2,3 = - 5 1,0 + 3 1,1

Ou seja, as coordenadas do vetor   - 2,3 escrito na base α é - 5,3 :

- 2,3 α = - 5,3

E aplicando ele na matriz:

2 1 1 - 1 0 4 - 5 3 = - 7 - 8 12

Obtemos o vetor - 7 , - 8,12 , que é exatamente o resultado de T ( - 2,3 ) na base β ! Rs

Para entendermos melhor, vamos fazer as continhas na base β para visualizarmos que teremos o mesmo resultado:

T - 2,3 = - 7 , - 8,4

Escrevendo o vetor - 7 , - 8,4 como combinação linear dos vetores da base β , teremos

- 7 , - 8,4 = - 7 1,0 , 0 - 8 0,1 , 1 + 12 0,0 , 1

- 7 , - 8,4 β = - 7 , - 8,12

Que é o mesmo valor que encontramos na base α . Viu só! Estávamos querendo expressar a mesma ideia (vetor) só que em bases diferentes!

Sendo assim, podemos interpretar que T leva o vetor ( x , y ) em ( 2 x - y ,   x - 2 y ,   x + 2 y ) , enquanto a matriz

T =   2 1 1 - 1 0 4

leva as coordenadas de ( x , y ) na base α para as coordenadas de T ( x , y ) na base β .

Se chamarmos:

x , y = u e 2 1 1 - 1 0 4 = T β ← α

Podemos esquematizar a relação matricial acima como:

T u β = T β ← α ∙ u α

E isso nos leva a um teorema:

Assim, chamamos a matriz T β ⟵ α de matriz de representação de T , nas bases α e β .

Vamos fazer mais um exemplo?

Exemplo 2: Seja

T : R 3 ⟶ R 2

T x , y , z = ( x + y ,   2 z )

Encontre a matriz da Transformação Linear usando α como base do domínio e β como base do contra domínio:

α = 1,0 , 0 , 0,1 , 1 , 0,0 , 1

β = 1,0 , 0,1

Vamos escrever os elementos da base α como combinação linear dos elementos de β :

T 1,0 , 0 = ( 1 + 0,2 * 0 ) = ( 1,0 )

T 0,1 , 1 = ( 0 + 1,2 * 1 ) = ( 1,2 )

T 0,0 , 1 = ( 0 + 0,2 * 1 ) = ( 0,2 )

Agora escrevendo esses vetores como combinação linear dos vetores da base β temos

T 1,0 , 0 = ( 1 + 0 ,   2 * 0 ) = ( 1,0 ) = 1 ( 1,0 ) + 0 ( 0,1 )

T 0,1 , 0 = ( 0 + 1 ,   2 * 1 ) = ( 1,2 ) = 1 ( 1,0 ) + 2 ( 0,1 )

T 0,0 , 1 = ( 0 + 0 ,   2 * 1 ) = ( 0,2 ) = 0 ( 1,0 ) + 2 ( 0,1 )

Então, a nossa matriz será

T β ← α =   1 1 0 0 2 2

Assim, dependendo do vetor que formos utilizar, representaremos ele de formas diferentes dependendo da base! É só ter na cabeça que no final a ideia (o vetor) é a mesma só que representada em bases (idiomas) diferentes, rs!

Beleza?! Vamos praticar então?!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Lista 2 de monitoria para a p2, Álgebra Linear I, exercícios 1-c),d),e),f), 2015.1, PUC-rio, Adaptado.

Sabendo que:

α = 1,0 , 0 , 1,1 , 0 , 0,1 , 1

v = 2 , - 1,3

E que T foi gerada a partir de:

T 1,0 , 0 = - 2,0 , 0

T 1,1 , 0 = 3,3 , 0

  T 0,1 , 1 = ( 0 , - 1 , - 1 )

E que:

T x , y , z = - 2 x + 5 y - 5 z , 3 y - 4 z , - z

a   Calcule T α v α

b   Calcule T v α

c   Compare os dois resultados.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a   Primeiramente, vamos calcular a matriz que representa T na base α :

T α = ↑ ↑ ↑ T 1,0 , 0 α T 1,1 , 0 α T 0,1 , 1 α ↓ ↓ ↓

Pelo enunciado sabemos que:

T 1,0 , 0 = ( - 2,0 , 0 )

T 1,1 , 0 = 3,3 , 0

T 0,1 , 1 = ( 0 , - 1 , - 1 )

Escrevendo cada um dos vetores nas coordenadas da base α :

- 2,0 , 0 = - 2 1,0 , 0 + 0 1,1 , 0 + 0 0,1 , 1

3,3 , 0 = 0 1,0 , 0 + 3 1,1 , 0 + 0 0,1 , 1

0 , - 1 , - 1 = 0 1,0 , 0 + 0 1,1 , 0 - 1 0,1 , 1

Repare que não tivemos trabalho algum para construir a matriz desta vez. Tudo depende da base que você escolhe para fazer a matriz!

Passo 2

Assim concluímos que:

- 2,0 , 0 α = - 2 0 0

3,3 , 0 α = 0 3 0

0 , - 1 , - 1 α = 0 0 - 1

E a matriz que representa T na base α fica assim:

T α = - 2 0 0 0 3 0 0 0 - 1

Passo 3

Agora falta escrever v nas coordenadas da base α . Com uma simples conta, vemos que:

2 , - 1,3 = 6 1,0 , 0 - 4 1,1 , 0 + 3 0,1 , 1

Portanto:

[ 2 , - 1,3 ] α = 6 - 4 3

Passo 4

Multiplicando as matrizes temos:

  T α v α = - 2 0 0 0 3 0 0 0 - 1 ∙ 6 - 4 3 = - 12 - 12 - 3

Passo 5

b   Para calcular a imagem de v , vamos usar a fórmula dada:

T 2 , - 1,3 = - 2.2 + 5 - 1 - 5.3 ,   3 - 1 - 4.3 , - 3 ⇒

T 2 , - 1,3 = ( - 24 , - 15 , - 3 )

Agora, não tem jeito! Temos que montar um sistema para calcular suas coordenadas na base α .

- 24 , - 15 , - 3 = a 1,0 , 0 + b 1,1 , 0 + c 0,1 , 1 = ( a + b , b + c , c )

a + b = - 24 ⇒ a = - 12 b + c = - 15 ⇒ b = - 12 c = - 3

T v α = - 12 - 12 - 3

Passo 6

c   Os resultados deram iguais devido ao teorema abaixo:

Resposta

a   T α v α = - 12 - 12 - 3

b   T v α = - 12 - 12 - 3

c   São iguais

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 216. – 30

Seja

T = 1 - 2 2 0 - 1 3

a matriz canônica de uma transformação linear T : R 2 → R 3 . Se T v = 2,4 , - 2 , calcular v .

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Passo 1

Como tudo está na base canônica não precisamos nos preocupar com mudanças de base. Então, temos que:

T v = 1 - 2 2 0 - 1 3 v 1 v 2 = 2 4 - 2

Onde v = v 1 , v 2

Passo 2

Calculando o produto temos:

v 1 - 2 v 2 = 2 2 v 1 = 4 - v 1 + 3 v 2 = - 2       1 2 3

De 2 :

v 1 = 2

Substituindo em 1 :

2 - 2 v 2 = 2

v 2 = 0

Calma que não terminou ainda não, temos que substituir em 3 pra ver se as equações são incompatíveis. Lembre que é possível que não exista solução ;)

- 2 + 3 v 2 = - 2

v 2 = 0

Os resultados foram iguais, então encontramos nosso vetor v :

v = 2 0

Resposta

v = 2 0

Exercício Resolvido #3

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 217. – 31

Seja T : R 2 → R 3 uma transformação linear com matriz

T B ' B = 1 - 1 0 1 - 2 3

Para B = { e 1 , e 2 } , base canônica do R 2 , e B ' = 1,0 , 1 , - 2,0 , 1 , 0,1 , 0 , base do R 3 . Qual a imagem do vetor 2 , - 3 pela T ?

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Passo 1

Pelo nosso teorema, temos:

T v B ' = T B ' ← B ∙ v B

Ou seja, nossa matriz pega um vetor v do R 2 na base canônica, e leva ele em T v na base B ' dada. O que o exercício pede é T v na base canônica do R 3 !

Passo 2

Vamos encontrar quem é T v B ' :

T v B ' = T B ' ← B ∙ v B = 1 - 1 0 1 - 2 3 ∙ 2 - 3 = 5 - 3 - 13

Passo 3

Agora temos que passar ele para a base canônica. Para isso é só aplicarmos o vetor em sua base:

B ' = 1,0 , 1 , - 2,0 , 1 , 0,1 , 0

T v B ' = 5 , - 3 , - 13

T v = 5 1,0 , 1 - 3 - 2,0 , 1 - 13 0,1 , 0

T v = 5,0 , 5 + 6,0 , - 3 + 0 , - 13,0 = 11 , - 13,2

Logo,

T v = 11 - 13 2

Resposta

T v = 11 - 13 2

Exercício Resolvido #4

Matrizes que Representam TL’s

Sejam T : E ⟶ F uma transformação linear, β = { v 1 , v 2 , v 3 , v 4 } uma base de E e γ = { w 1 , w 2 , w 3 } uma base de F . Suponha que:

T γ ← β = 1 2 0 0 2 1 2 0 0 0 0 1

Supondo que E = P 3 ,   F = R 3 ,   β = { 1 - x ,   1 + x ,   x 2 ,   x 3 } e que γ seja a base canônica de R 3 , encontre T ( 2 - π x 3 ) .

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Passo 1

Como não possuímos a expressão da T e apenas a sua matriz, vamos utilizá-la. Entretanto, antes precisamos escrever o polinômio 2 - π x 3 nas coordenadas da base β indicada:

Podemos perceber que para gerar o polinômio 2 basta fazer 1 ( 1 - x ) + 1 ( 1 + x ) = 2 e que para gerar o polinômio - π x 3 , basta multiplicar o polinômio x 3 da base por – π , e assim as coordenadas ficam:

2 - π x 3 β = 1 1 0 - π

Passo 2

Mas agora como vamos achar T ( 2 - π x 3 ) ??? Basta usar a relação:

T 2 - π x 3 γ = T γ ← β ⋅ 2 - π x 3 β

T 2 - π x 3 γ = 1 2 0 0 2 1 2 0 0 0 0 1 ⋅ 1 1 0 - π = 3 3 - π

Agora basta achar T 2 - π x 3 :

T 2 - π x 3 = 3 1,0 , 0 + 3 0,1 , 0 - π 0,0 , 1 = 3,3 , - π ⇒

T 2 - π x 3 = 3,3 , - π

Resposta

T 2 - π x 3 = 3,3 , - π

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