Matriz que Representa uma TL: Aplicação

Teoria Completa

Lembra de quando vimos como construir uma T L ?

Um dos exemplos que fizemos foi encontrar a matriz que representa essa T L aí em baixo:

T : R 2 ⟶ R 3

T x , y = ( 2 x - y ,   x - 2 y ,   x + 2 y )

Usando como α como base do domínio e β como base do contra domínio:

α = 1,0 , 1,1

β = 1,0 , 0 , 0,1 , 1 , 0,0 , 1

E a matriz encontrada foi:

T = 2 1 1 - 1 0 4

Uma coisa interessante que podemos reparar é que essa matriz leva um vetor x , y nas coordenadas da base α (domínio) no vetor T x , y nas coordenadas da base β (contra comínio).

Por exemplo, sendo x , y = - 2,3 , temos:

T - 2,3 = - 4 - 3 , - 2 - 6 , - 2 + 6 = - 7 , - 8,4

Por outro lado, escrevendo nosso vetor - 2,3 na base α :

- 2,3 = - 5 1,0 + 3 1,1

- 2,3 α = - 5,3

E aplicando ele na matriz:

2 1 1 - 1 0 4 - 5 3 = - 7 - 8 12

Obtemos o vetor - 7 , - 8,12 , que é exatamente o resuldado de T ( - 2,3 ) na base β ! Olha aí:

- 7 , - 8,4 = - 7 1,0 , 0 - 8 0,1 , 1 + 12 0,0 , 1

- 7 , - 8,4 β = - 7 , - 8,12

Sendo assim, podemos interpretar que T leva o vetor ( x , y ) em ( 2 x - y ,   x - 2 y ,   x + 2 y ) , enquanto a matriz 2 1 1 1 0 4 leva as coordenadas de ( x , y ) na base α para as coordenadas de T ( x , y ) na base β .

Se chamarmos x , y = u e 2 1 1 - 1 0 4 = T β ⟵ α , podemos esquematizar a relação matricial acima como:

T u β = T β ⟵ α ∙ u α

E isso nos leva a um teorema:

Assim, chamamos a matriz 2 1 1 - 1 0 4 = T β ⟵ α de matriz de representação de T , nas bases α e β .

Notação: Quando temos uma T L com mesmo domínio e contradomínio T : U ⟶ U , ambos possuem a mesma base, já que são iguais. Então se α é uma base do domínio, também é do contradomínio. Então podemos denotar a matriz que representa T como:

T α ⟵ α = T α

Mas cuidado! Uma coisa que muitas pessoas confundem é que T α = T u α ! Mas não caia neste erro! Uma notação é diferente da outra!

Repare que se, por exemplo, tivermos T : R 3 ⟶ R 3 , a matriz T α seria uma matriz 3 × 3 !

Já a matriz T u α será sempre uma matriz coluna! Por quê??? Pelo simples fato de T u α ser as coordenadas do vetor T ( u ) na base α . (Lembre-se da definição!)

Portanto, lembre-se que:

T β ≠ T u β

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Exercício Resolvido #1

Lista 2 de monitoria para a p2, Álgebra Linear I, exercícios 1-c),d),e),f), 2015.1, PUC-rio, Adaptado.

Sabendo que:

α = 1,0 , 0 , 1,1 , 0 , 0,1 , 1

v = 2 , - 1,3

E que T foi gerada a partir de:

T 1,0 , 0 = - 2,0 , 0

T 1,1 , 0 = 3,3 , 0

  T 0,1 , 1 = ( 0 , - 1 , - 1 )

E que:

T x , y , z = - 2 x + 5 y - 5 z , 3 y - 4 z , - z

a   Calcule T α v α

b   Calcule T v α

c   Compare os dois resultados.

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Passo 1

a   Primeiramente, vamos calcular a matriz que representa T na base α :

T α = ↑ ↑ ↑ T 1,0 , 0 α T 1,1 , 0 α T 0,1 , 1 α ↓ ↓ ↓

Pelo enunciado sabemos que:

T 1,0 , 0 = ( - 2,0 , 0 )

T 1,1 , 0 = 3,3 , 0

T 0,1 , 1 = ( 0 , - 1 , - 1 )

Escrevendo cada um dos vetores nas coordenadas da base α :

- 2,0 , 0 = - 2 1,0 , 0 + 0 1,1 , 0 + 0 0,1 , 1

3,3 , 0 = 0 1,0 , 0 + 3 1,1 , 0 + 0 0,1 , 1

0 , - 1 , - 1 = 0 1,0 , 0 + 0 1,1 , 0 - 1 0,1 , 1

Repare que não tivemos trabalho algum para construir a matriz desta vez. Tudo depende da base que você escolhe para fazer a matriz!

Passo 2

Assim concluímos que:

- 2,0 , 0 α = - 2 0 0

3,3 , 0 α = 0 3 0

0 , - 1 , - 1 α = 0 0 - 1

E a matriz que representa T na base α fica assim:

T α = - 2 0 0 0 3 0 0 0 - 1

Passo 3

Agora falta escrever v nas coordenadas da base α . Com uma simples conta, vemos que:

2 , - 1,3 = 6 1,0 , 0 - 4 1,1 , 0 + 3 0,1 , 1

Portanto:

[ 2 , - 1,3 ] α = 6 - 4 3

Passo 4

Multiplicando as matrizes temos:

  T α v α = - 2 0 0 0 3 0 0 0 - 1 ∙ 6 - 4 3 = - 12 - 12 - 3

Passo 5

b   Para calcular a imagem de v , vamos usar a fórmula dada:

T 2 , - 1,3 = - 2.2 + 5 - 1 - 5.3 ,   3 - 1 - 4.3 , - 3 ⇒

T 2 , - 1,3 = ( - 24 , - 15 , - 3 )

Agora, não tem jeito! Temos que montar um sistema para calcular suas coordenadas na base α .

- 24 , - 15 , - 3 = a 1,0 , 0 + b 1,1 , 0 + c 0,1 , 1 = ( a + b , b + c , c )

a + b = - 24 ⇒ a = - 12 b + c = - 15 ⇒ b = - 12 c = - 3

T v α = - 12 - 12 - 3

Passo 6

c   Os resultados deram iguais devido ao teorema abaixo:

Resposta

a   T α v α = - 12 - 12 - 3

b   T v α = - 12 - 12 - 3

c   São iguais

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 216. – 30

Seja

T = 1 - 2 2 0 - 1 3