Matriz Rotação

Teoria Completa

Uma matriz de rotação, como o próprio nome já diz, é uma matriz que roda um vetor no espaço em que está contido. Vamos nos limitar, no entanto, à rodar um vetor de um ângulo θ no R 2 ou rodá-lo e torno de um eixo no R 3 .

Rotação no R 2

Temos então uma transformação R : R 2 → R 2 , tal que R v = u . Onde u é o vetor v rotacionado de θ graus.

Para descobrirmos a matriz que faz isso, precisamos primeiro descobrir qual a equação de R . Para isso precisamos saber R 1,0 e R 0,1 . Vamos começar visualizando o que acontece quando rodamos esses vetores:

Com essas imagens fica fácil né! Temos que:

R 1,0 = cos ⁡ θ , sen ⁡ θ

R 0,1 = - sen ⁡ θ , cos ⁡ θ

Logo,

R = cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Obs: Lembrando que essa é a matriz que representa a rotação no sentido trigonométrico (anti-horário)! A matriz rotação no sentido horário ficaria assim (resolve aí):

R ' = cos ⁡ θ sen ⁡ θ - sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Rotação no R 3

Vamos agora para a rotação no R 3 !

Note que agora temos que especificar o eixo de rotação. Então, como você já deve ter imaginado, teremos 6 matrizes possíveis, já que temos 2 sentidos possíveis de rotação em torno de 3 eixos! Vamos ver um exemplo:

Temos R y : R 3 → R 3 , tal que R y v = u . Onde u é o vetor v rotacionado de θ graus em torno do eixo y .

Para encontrarmos a matriz que representa R y precisamos descobrir quanto vale R y 1,0 , 0 , R y 0,1 , 0 e R y 0,0 , 1 . Bom, como a rotação é em torno de y , os vetores que estão no eixo y permanecem inalterados:

R y 0,1 , 0 = 0,1 , 0

Já para os vetores 1,0 , 0 e 0,0 , 1 , teremos:

Logo, teremos:

R 1,0 , 0 = cos ⁡ θ , 0 , - sen ⁡ θ

R 0,0 , 1 = sen ⁡ θ , 0 , cos ⁡ θ

Portanto,

R y = cos ⁡ θ 0 sen ⁡ θ 0 1 0 - sen ⁡ θ 0 cos ⁡ θ

Se quiséssemos rodar para o outro lado:

R y ' = cos ⁡ θ 0 - sen ⁡ θ 0 1 0 sen ⁡ θ 0 cos   ⁡ θ

Analogamente, podemos achar a matriz de rotação em torno do eixo x :

R x = 1 0 0 0 cos ⁡ θ - sen ⁡ θ 0 sen ⁡ θ cos ⁡ θ ; R x ' = 1 0 0 0 cos ⁡ θ sen ⁡ θ 0 - sen ⁡ θ cos ⁡ θ

E em torno do eixo z :

R z = cos ⁡ θ - sen ⁡ θ 0 sen ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 ; R z ' = cos ⁡ θ sen ⁡ θ 0 - sen ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1

É claro que não vamos gravar todas essas matrizes né! Se olharmos com atenção podemos ver um padrão nas rotações do R 3 . Fora que elas são construídas usando a matriz rotação do R 2 ! Então, gravando a do R 2 , praticamente já temos as do R 3 prontas.

Você pode também deduzir na hora a matriz como fizemos aqui haha xD

Rotação fora da Origem

Bom, até aqui vimos como girar vetores em tornos dos eixos coordenados certo? Bom e se quisermos girá-los em torno de um eixo deslocado?

Po como assim? Vou te dar um exemplo prático pra ficar melhor de entender:

Os pontos A 2 , - 1 , B 6,1 e C x , y são vértices de um triângulo equilátero. Determinar o vértice C , utilizando a matriz rotação.

Sabemos que um triângulo equilátero possui os 3 lados iguais e os 3 ângulos de 60 ° . Então, temos duas opções para continuar o problema:

Podemos rodar B em torno de A no sentido horário ou no sentido anti-horário. Vamos usar o sentido trigonométrico e girar o vetor no sentido anti-horário.

Bom, temos um problema então, pois não sabemos fazer isso! Bom, vamos aprender né. Se liga, que é mais fácil do que aparenta. Temos que:

A C → = T 60 ° A B →

E sabemos que:

A C → = C - A = x - 2 , y + 1

A B → = B - A = 4,2

T 60 ° = cos ⁡ 60 ° - sen ⁡ 60 ° sen ⁡ 60 ° cos ⁡ 60 °

Agora resolvemos o sistema:

x - 2 y + 1 = 1 2 - 3 2 3 2 1 2 4 2

Dessa igualdade, chegamos ao sistema:

x - 2 = 2 - 3 y + 1 = 2 3 + 1

Logo,

x = 4 - 3

y = 2 3

O ponto então é C 4 - 3 , 2 3 :

Expandir

Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 126 – Fix 4.4

Qual das alternativas apresenta a matriz que roda os vetores do R 2 por um ângulo θ (no sentido trigonométrico, isto é, anti-horário):

a   cos ⁡ θ sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

b   cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

c   sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ cos ⁡ θ

d   cos ⁡ θ sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

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Passo 1

Como vimos na teoria, temos:

Portanto,

R 1,0 = cos ⁡ θ , sen ⁡ θ

R 0,1 = - sen ⁡ θ , cos ⁡ θ

Logo,

R = cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Resposta

Letra b

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 222. – 46

Os pontos A 2 , - 1 e B - 1,4 são vértices consecutivos de um quadrado. Calcular os outros dois vértices, utilizando a matriz rotação.

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Passo 1

Antes de começarmos, é bom frizar que não é necessário nenhum conhecimento especial pra fazer esse problema haha. Vou botar as imagens pra vocês verem o que tá acontecendo mas não seria necessário!

Bom, temos o seguinte:

Para acharmos outro vértice através da rotação podemos girar A em torno de B de 90 ° ! Então, temos que:

B C → = T 90 ° B A →

Onde,

B C → = C - B = x + 1 , y - 4

B A → = A - B = 3 , - 5

T 90 ° = cos ⁡ 90 ° sen ⁡ 90 ° - sen ⁡ 90 ° cos ⁡ 90 °  

Obs: Cuidado com o sinal dos senos! Nesse caso estamos girando no sentido horário, então o sinal fica no seno de baixo.

Chegamos na equação:

x + 1 y - 4 = 0 1 - 1 0 3 - 5

Temos então:

x + 1 = - 5 y - 4 = - 3

O que implica que:

x = - 6

y = 1

Encontramos o ponto C - 6,1

Passo 2

Agora vamos achar o vértice D x , y do quadrado! Para isso, vamos girar B em torno de A no sentido anti-horário: