Matriz Rotação

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Uma matriz de rotação, como o próprio nome já diz, é uma matriz que roda um vetor no espaço em que está contido. Vamos nos limitar, no entanto, à rodar um vetor de um ângulo θ no R 2 ou rodá-lo e torno de um eixo no R 3 .

Rotação no R 2

Temos então uma transformação R : R 2 → R 2 , tal que R v = u . Onde u é o vetor v rotacionado de θ graus.

Para descobrirmos a matriz que faz isso, precisamos primeiro descobrir qual a equação de R . Para isso precisamos saber R 1,0 e R 0,1 . Vamos começar visualizando o que acontece quando rodamos esses vetores:

Com essas imagens fica fácil né! Temos que:

R 1,0 = cos ⁡ θ , sen ⁡ θ

R 0,1 = - sen ⁡ θ , cos ⁡ θ

Logo,

R = cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Obs: Lembrando que essa é a matriz que representa a rotação no sentido trigonométrico (anti-horário)! A matriz rotação no sentido horário ficaria assim (resolve aí):

R ' = cos ⁡ θ sen ⁡ θ - sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Rotação no R 3

Vamos agora para a rotação no R 3 !

Note que agora temos que especificar o eixo de rotação. Então, como você já deve ter imaginado, teremos 6 matrizes possíveis, já que temos 2 sentidos possíveis de rotação em torno de 3 eixos! Vamos ver um exemplo:

Temos R y : R 3 → R 3 , tal que R y v = u . Onde u é o vetor v rotacionado de θ graus em torno do eixo y .

Para encontrarmos a matriz que representa R y precisamos descobrir quanto vale R y 1,0 , 0 , R y 0,1 , 0 e R y 0,0 , 1 . Bom, como a rotação é em torno de y , os vetores que estão no eixo y permanecem inalterados:

R y 0,1 , 0 = 0,1 , 0

Já para os vetores 1,0 , 0 e 0,0 , 1 , teremos:

Logo, teremos:

R 1,0 , 0 = cos ⁡ θ , 0 , - sen ⁡ θ

R 0,0 , 1 = sen ⁡ θ , 0 , cos ⁡ θ

Portanto,

R y = cos ⁡ θ 0 sen ⁡ θ 0 1 0 - sen ⁡ θ 0 cos ⁡ θ

Se quiséssemos rodar para o outro lado:

R y ' = cos ⁡ θ 0 - sen ⁡ θ 0 1 0 sen ⁡ θ 0 cos   ⁡ θ

Analogamente, podemos achar a matriz de rotação em torno do eixo x :

R x = 1 0 0 0 cos ⁡ θ - sen ⁡ θ 0 sen ⁡ θ cos ⁡ θ ; R x ' = 1 0 0 0 cos ⁡ θ sen ⁡ θ 0 - sen ⁡ θ cos ⁡ θ

E em torno do eixo z :

R z = cos ⁡ θ - sen ⁡ θ 0 sen ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 ; R z ' = cos ⁡ θ sen ⁡ θ 0 - sen ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1

É claro que não vamos gravar todas essas matrizes né! Se olharmos com atenção podemos ver um padrão nas rotações do R 3 . Fora que elas são construídas usando a matriz rotação do R 2 ! Então, gravando a do R 2 , praticamente já temos as do R 3 prontas.

Você pode também deduzir na hora a matriz como fizemos aqui haha xD

Rotação fora da Origem

Bom, até aqui vimos como girar vetores em tornos dos eixos coordenados certo? Bom e se quisermos girá-los em torno de um eixo deslocado?

Po como assim? Vou te dar um exemplo prático pra ficar melhor de entender:

Os pontos A 2 , - 1 , B 6,1 e C x , y são vértices de um triângulo equilátero. Determinar o vértice C , utilizando a matriz rotação.

Sabemos que um triângulo equilátero possui os 3 lados iguais e os 3 ângulos de 60 ° . Então, temos duas opções para continuar o problema:

Podemos rodar B em torno de A no sentido horário ou no sentido anti-horário. Vamos usar o sentido trigonométrico e girar o vetor no sentido anti-horário.

Bom, temos um problema então, pois não sabemos fazer isso! Bom, vamos aprender né. Se liga, que é mais fácil do que aparenta. Temos que:

A C → = T 60 ° A B →

E sabemos que:

A C → = C - A = x - 2 , y + 1

A B → = B - A = 4,2

T 60 ° = cos ⁡ 60 ° - sen ⁡ 60 ° sen ⁡ 60 ° cos ⁡ 60 °

Agora resolvemos o sistema:

x - 2 y + 1 = 1 2 - 3 2 3 2 1 2 4 2

Dessa igualdade, chegamos ao sistema:

x - 2 = 2 - 3 y + 1 = 2 3 + 1

Logo,

x = 4 - 3

y = 2 3

O ponto então é C 4 - 3 , 2 3 :

Rotação no R 3

Rotação fora da Origem

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Qual das alternativas apresenta a matriz que roda os vetores do R 2 por um ângulo θ (no sentido trigonométrico, isto é, anti-horário):

a   cos ⁡ θ sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

b   cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

c   sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ cos ⁡ θ

d   cos ⁡ θ sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Passo 1

Como vimos na teoria, temos:

Portanto,

R 1,0 = cos ⁡ θ , sen ⁡ θ

R 0,1 = - sen ⁡ θ , cos ⁡ θ

Logo,

R = cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Resposta

Letra b

Exercício Resolvido #2

Os pontos A 2 , - 1 e B - 1,4 são vértices consecutivos de um quadrado. Calcular os outros dois vértices, utilizando a matriz rotação.

Passo 1

Antes de começarmos, é bom frizar que não é necessário nenhum conhecimento especial pra fazer esse problema haha. Vou botar as imagens pra vocês verem o que tá acontecendo mas não seria necessário!

Bom, temos o seguinte:

Para acharmos outro vértice através da rotação podemos girar A em torno de B de 90 ° ! Então, temos que:

B C → = T 90 ° B A →

Onde,

B C → = C - B = x + 1 , y - 4

B A → = A - B = 3 , - 5

T 90 ° = cos ⁡ 90 ° sen ⁡ 90 ° - sen ⁡ 90 ° cos ⁡ 90 °  

Obs: Cuidado com o sinal dos senos! Nesse caso estamos girando no sentido horário, então o sinal fica no seno de baixo.

Chegamos na equação:

x + 1 y - 4 = 0 1 - 1 0 3 - 5

Temos então:

x + 1 = - 5 y - 4 = - 3

O que implica que:

x = - 6

y = 1

Encontramos o ponto C - 6,1

Passo 2

Agora vamos achar o vértice D x , y do quadrado! Para isso, vamos girar B em torno de A no sentido anti-horário:

A D → = T 90 ° A B →

Onde,

A D → = x - 2 , y + 1

A B → = - 3,5

T 90 ° = cos ⁡ 90 ° - sen ⁡ 90 ° sen ⁡ 90 ° cos ⁡ 90 °

Resolvendo a equação:

x - 2 y + 1 = 0 - 1 1 0 - 3 5

Dessa forma,

x - 2 = - 5 y + 1 = - 3

Logo,

x = - 3

y = - 4

Portanto, temos D - 3 , - 4

Passo 3

E está pronto nosso quadrado ;)

Alternativamente, poderíamos rodado para o outro lado, de forma que encontraríamos o quadrado:

Resposta

( 4,7 ) e 7,2 ou - 6,1 e - 3 , - 4

Exercício Resolvido #3

Os pontos A - 1 , - 1 , B 4,1 e C a , b são vértices de um triângulo retângulo isósceles, reto em A . Determinar o vértico C fazendo uso da matriz rotação.

Passo 1

Beleza, temos esses pontos:

Bom, sabemos que o ângulo em A vale 90 ° e que o triângulo é isósceles! Isso quer dizer que os lados A B ¯ e A C ¯ são iguais! Então, basta girarmos B em torno de A de um ângulo de 90 ° :

A C → = T 90 ° A B →

Onde,

A C → = C - A = a + 1 , b + 1

A B → = B - A = 5,2

T 90 ° = cos ⁡ 90 ° - sen ⁡ 90 ° sen ⁡ 90 ° cos ⁡ 90 °  

Chegamos na equação:

a + 1 b + 1 = 0 - 1 1 0 5 2

Temos então:

a + 1 = - 2 b + 1 = 5

O que implica que:

a = - 3

b = 4

Encontramos o ponto C - 3,4

Passo 2

Chegamos ao nosso triângulo:

Poderíamos também ter rodado para o outro lado, chegando ao triângulo:

Resposta

C ( - 3,4 ) ou C 1 , - 6

Exercício Resolvido #4

Em um triângulo A B C , os ângulos B e C medem 75 ° cada. Sendo A 1,1 e B - 1,5 , determinar o vértice C .

Passo 1

Beleza, temos esses pontos:

Bom, sabemos que o ângulo em B e em C valem 75 ° . Logo, temos um triângulo isósceles com os lados A B ¯ e A C ¯ iguais.

Além disso como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 ° , o ângulo em A vale 30 ° . Logo, basta rodarmos B em torno de A de um ângulo de 30 ° :

A C → = T 30 ° A B →

Onde,

A C → = C - A = x - 1 , y - 1

A B → = B - A = - 2,4

T 90 ° = cos ⁡ 30 ° - sen ⁡ 30 ° sen ⁡ 30 ° cos ⁡ 30 °  

Chegamos na equação:

x - 1 y - 1 = 3 2 - 1 2 1 2 3 2 - 2 4

Temos então:

x - 1 = - 3 - 2 y - 1 = - 1 + 2 3

O que implica em:

x = - 3 - 1

y = 2 3

Encontramos o ponto C - 3 - 1,2 3

Passo 2

Chegamos assim ao nosso triângulo:

Se tivéssemos rodado para o outro lado, chegaríamos ao triângulo:

Resposta

C - 3 - 1,2 3 ou C 3 - 3 , 2 + 2 3

Exercícios de Livros Relacionados

Os pontos A ( 2 , - 1 ) e B ( - 1 ,4 ) são vértices consecutivos de um quadrado. Calcular os outros dois vértices, utilizando a matriz-rotação.
O vetor v = ( 3 ,2 ) experimenta sequencialmente:1) Uma reflexão em torno da reta y = x ;2) Um cisalhamento horizontal da fetor 2 ;3) Uma contração na direção O y de fator 1 3 ;4) Uma rotação de 90 °
Determinar, em cada caso, a matriz da transformação linear de R 2 em R 2 que representa a sequência de transformações dadas.Rotação de 30 ° no sentido horário, seguida de uma duplicação dos módulos e
Determinar, em cada caso, a matriz da transformação linear de R 2 em R 2 que representa a sequência de transformações dadas.Reflexão em torno da reta y = - x , seguida de uma dilatação de fator 2 na d
Determinar, em cada caso, a matriz da transformação linear de R 2 em R 2 que representa a sequência de transformações dadas.Rotação de 60 ° , seguida de uma reflexão em relação ao eixo dos y .