Enunciado

12.Dados os pontos distintos A e B, seja X = A + α A B → . Em cada um dos casos, descreva o conjunto dos valores que α deve tomar para que X percorra todo o conjunto especificado.

a )   O segmento A B

b ) A semi-reta de origem A que contém B

c) A semi-reta de origem B que contém A

d) A reta A B

e) O segmento C B , que tem A como ponto médio.

Passo 1

A questão pede que X percorra todo o conjunto especificado.

Para a letra a), temos que X deve percorrer o segmento AB, que é assim.

Então X tem de ir de A até B .

Para X ser o ponto A , temos que ter α = 0 e para X ser ponto B   ?

B = A + α A B →

B - A = α A B →

A B → = α A B →

Então, α = 1 .

Ele vai percorrer todos os pontos de A até B , portanto α está entre 0 e 1 .

Podemos escrever assim:

O intervalo 0,1

Passo 2

Para a letra b), temos que X deve percorrer a semi-reta de origem A que contém B, que é assim.

Então X tem de ir de A até + ∞

Para X ser o ponto A , temos que ter α = 0 e para X ser ponto no infinito precisamos que α = + ∞ .

Ele vai percorrer todos os pontos de A até , portanto α está entre 0 e .

Podemos escrever assim:

O intervalo [ 0 , + ∞ [

Para a letra c), temos que X deve percorrer a semi-reta de origem B que contém A , que é assim.

Então X tem de ir de -   ∞ até B

Para X ser o ponto B , temos que ter α = 1 , vimos na letra a) e para X ser ponto no -   ∞ precisamos que α = -   ∞ .

Ele vai percorrer todos os pontos de -   ∞ até B , portanto α está entre -   ∞ e 1 .

Podemos escrever assim:

O intervalo ] - ∞ , 1 ]

Passo 3

Para a letra d), temos que X deve percorrer a reta AB, que é assim.

Então X tem de ir de -   ∞ até + ∞ .

Para X ser ponto no -   ∞ , temos que ter α = -   ∞ e para X ser ponto no + ∞ . precisamos que α + ∞ .

Ele vai percorrer todos os pontos de -   ∞ até + ∞ ., portanto α está entre -   ∞ e + ∞ ..

Podemos escrever assim:

O intervalo ] - ∞ , + ∞ [

Só que de ] - ∞ , + ∞ [ é o conjunto dos Reais.

Para a letra e), temos que X deve percorrer o segmento C B , que tem A como ponto médio. É assim:

Então X tem de ir de -   ∞ até + ∞ .

Para X ser ponto no C , devemos descobrir qual o α . Se A é o ponto médio do segmento C B , então a relação entra A , B   e   C é:

A = B + C 2

Isolando C, temos:

C = 2 A - B

C = A - B + A

C = B A → + A

Só que B A → = - A B →

Então C = - A B → + A

Voltando a expressão de X = A + α A B →

- A B → + A = A + α A B →

Então α = - 1 .

E para X = B , temos α = + 1 como já calculamos nas letras anteriores.

Então X deve percorrer todos os pontos entre C e B , todos os valores de α entre - 1 e 1

O intervalo - 1,1

Resposta

a ) 0,1

b) [ 0 , + ∞ [

c) ] - ∞ , 1 ]

d) O conjunto R

e)   - 1,1

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