Enunciado

Sejam E = e → 1 ,   e → 2 ,   e → 3 e F = f → 1 ,   f → 2 ,   f → 3 duas bases tais que f → 1 = 2 e → 1 - e → 3 , f → 2 = e → 2 + 2 e → 3 e f → 3 = 7 e → 3 . Exprima o vetor u → = e → 1 + e → 2 + e → 3 na base F .

Passo 1

A questão forneceu duas bases E = e → 1 ,   e → 2 ,   e → 3 e F = f → 1 ,   f → 2 ,   f → 3 , sendo que

f → 1 = 2 ,   0 ,   - 1 E

f → 2 = 0 ,   1 ,   2 E

f → 3 = 0 ,   0 ,   7 E

Foi dado também o vetor u → = 1 ,   1 ,   1 E e queremos representa-lo na base F . Para isso, o primeiro passo é escrever a matriz M E F cujas colunas são os vetores f → 1 , f → 2 e f → 3 , escritos na base E :

M E F = 2 0 0 0 1 0 - 1 2 7

Passo 2

Sabemos que

x 1 x 2 x 3 E = M E F   y 1 y 2 y 3 F

Nesse caso, temos que x 1 ,   x 2 ,   x 3 = ( 1 ,   1 ,   1 ) , e queremos achar ( y 1 ,   y 2 ,   y 3 ) . Assim,

2 0 0 0 1 0 - 1 2 7 ⋅ y 1 y 2 y 3 = 1 1 1

Uma forma de resolver esse problema é achar a inversa de M E F e multiplicar os dois lados da equação por ela. Mas calcular inversa é um saco, eu pelo menos odeio, então prefiro usar o bom e velho sistema!

Passo 3

Multiplicando as matrizes, obtemos

2 y 1 = 1 y 2 = 1 - y 1 + 2 y 2 + 7 y 3 = 1

Das primeiras equações já tiramos:

y 1 = 1 2           e           y 2 = 1

Substituindo na última:

- 1 2 + 2 + 7 y 3 = 1 ⇒ 7 y 3 = - 1 + 1 2 = - 1 2

Logo,

y 3 = - 1 14

Portanto,

u → = 1 2 ,   1 ,   - 1 14 F = 1 2 f → 1 + f → 2 - 1 14 f → 3

Resposta

u → = 1 2 f → 1 + f → 2 - 1 14 f → 3

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