Enunciado

14. Use o resultado no Exercício 10 para mostrar que o conjunto de pontos (x,y,z) em R 3 com os quais a matriz

x y z 1 x y

Tem posto 1 é a curva de equações paramétricas x = t , y = t 2 , z = t 3 .

Passo 1

Bem... vamos lembrar o que o exercício 10 diz... (já aplicando no nosso exercício)

A nossa matriz:

x y z 1 x y

Só teria posto 2, se, e somente se, um ou mais do determinantes:

x y 1 x     ,       x z 1 y   o u     y z x y

Fosse diferente de zero.

Como tem esse “se, e somente se” a gente pode só fazer o contrário que não dá nenhum BO.

Vamos mostrar que algum desses determinantes é zero, e então, o posto não vai ser 2, e consequentemente, vai ser 1.

Passo 2

Se a gente fizer:

x y 1 x = 0

x 2 - y = 0

y = x 2

O segundo determinantes:

x z 1 y = 0

x y - z = 0

z = x y

E o terceiro:

y z x y = 0

y 2 = x z

Vamos passar para equações paramétricas. Vamos chamar x = t , então:

x = t

Pelo primeiro determinantes:

y = t 2

E pelo segundo:

z = t 3

O terceiro determinantes só usamos pra confirmar essas coisas:

t 2 2 = t × t 3

Ok.

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Demonstração

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