Enunciado

17.Sejam ABCD um quadrilátero, O ponto qualquer e P o ponto médio que une os pontos médios da diagonais A C e B D .Prove que 4 O P → = O A → + O B → + O C → + O D →

Passo 1

Vamos reescrever todos os vetores:

O A → , O B → , O C → e   O D →

Passo 2

Vamos começar reescrevendo O A → .

O A → = O P → + P A →

Vamos reescrever O B → , da mesma forma que O A → .

O B → = O P → + P B →

Vamos reescrever O C → , da mesma forma que O A → .

O C → = O P → + P C →

Vamos reescrever O D → , da mesma forma que O A → .

O D → = O P → + P D →

Agora vamos somar todos esses vetores.

O A → + O B → + O C → + O D → = O P → + P A → + O P → + P B → + O P → + P C → + O P → + P D →

O A → + O B → + O C → + O D → = 4 O P → + P A → + P B → + P C → + P D →

Passo 3

Paramos nessa expressão.

O A → + O B → + O C → + O D → = 4 O P → + P A → + P B → + P C → + P D →

Vamos desenhar esse quadrilátero com as diagonais.

O ponto P é o ponto médio.

P B → + P D → = 0 → , já que esses vetores são opostos.

P A → + P D → = 0 → , já que esses vetores são opostos.

Então:

O A → + O B → + O C → + O D → = 4 O P → + ( 0 → ) + ( 0 → )

O A → + O B → + O C → + O D → = 4 O P →

Prontoo! Demonstramos aquilo do enunciado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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22. Seja o vetor v → = 2 ,- 1 ,1 . Obter:b) Um vetor unitário ortogonal a v → ;
Sejam u → = m , - 1 , m 2 + 1 , v → = ( m 2 + 1 , m , 0 ) e w → = m , 1,1 . Mostre que C = ( u → , v → , w → ) é uma base de V , independentemente do valor de m .
Seja E = e → 1 , e → 2 , e → 3 uma base . Sejam f 1 → = e → 1 - e → 2 + e → 3 , f 2 → = e → 2 + e → 3 e f 3 → = - 2 e → 3 (a)Mostre que F = ( f 1 → , f 2 , → f 3 → ) também é uma base.
Dados os pontos A - 1 ,0 ,5 , B 2 ,- 1 ,4 e C 1 ,1 ,1 , determinar x tal que A C → e B P → sejam ortogonais, sendo P x ,0 ,x - 3 .
Dados os vetores a → = 2 ,1 ,α , b → = α + 2 ,- 5 ,2 e c → = 2 α ,8 ,α , determinar o valor de α para que o vetor a → + b → seja ortogonal ao vetor c → - a → .