Enunciado

16.. Sendo M o ponto médio de A C , N o de BD e   x → = A B → + A D → + C B → + C D → , prove que x ∥ M N →

Passo 1

Vamos tentar reescrever a soma A B → + A D → .

E tentar tentar reescrever a soma C B → + C D → .

Passo 2

Vamos nos focar na primeira soma A B → + A D → e no primeiro fator dessa soma, o A B → ,

A B → pode ser escrito assim:

A B → = A N → + N B →

E o A D → também pode ser escrito assim:

A D → = A N → + N D →

Somando esses dois, temos:

A B → + A D → = 2 A N → + ( N B → + N D → )

Olha a figura:

Repare bem na figura e você vai perceber isso:

N B → + N D → = 0

Então A B → + A D → = 2 A N → + N B → + N D → = 2 A N →

Passo 3

Agora vamos focar na soma C B → + C D → .

Faremos exatamente do mesmo jeito

C B → = C N → + N B →

E o C D → :

C D → = C N → + N D →

Somando essas duas temos:

C B → + C D → = 2 C N → + N B → + N D →

Pelo que vimos no passo 3 a soma N B → + N D → = 0 → , então:

C B → + C D → = 2 C N →

Agora colocando as duas expressões e somando!

A B → + A D → = 2 A N →

C B → + C D → = 2 C N →

x → = A B → + A D → + C B → + C D → = 2 ( A N → + C N → )

O vetor   M N → pode ser escrito dessas duas formas:

  M N → = M A → + A N →

  M N → = M C → + C N →

Somando as duas temos:

2 M N → = M A → + M C → + A N → + C N →

Só que vamos desenhar os vetores M A →   e   M C → para você visualizar algo bacana!

A soma M A → + M C → = 0 → , já que esses vetores são opostos!

Então,

2 M N → = A N → + C N →

Substituindo essa expressão em x → , temos:

x → = A B → + A D → + C B → + C D → = 2 A N → + C N → = 2 2 M N → = 4 M N →

O que demostra que x → é paralelo a M N → .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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