Enunciado

19. Calcule o determinante da matriz do Exercício 13 usando uma expansão de cofatores ao longo

(a) da primeira linha(b) da primeira coluna

(c) da segunda linha(d) da segunda coluna

(e) da terceira linha(f) da terceira coluna

      3     0       0       2 - 1       5       1       9 - 4

Passo 1

Para calcular o determinante dessa matriz vamos usar o método de Expansão de Cofatores, para matrizes quadradas, no caso na questão, uma matriz 3 x 3 .

det ⁡ A = a 1 j C 1 j + a 2 j C 2 j + … + a n j C n j

[expansão de cofatores ao longo da coluna j ]

det ⁡ A = a i 1 C i 1 + a i 2 C i 2 + … + a i n C i n

[expansão de cofatores ao longo da linha i ]

Passo 2

(a) da primeira linha

det ⁡ A = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13

Vamos calcular o cofator correspondente a cada entrada da primeira linha:

C 11 = - 1 1 + 1   M 11 = 1 × - 1       5       9 - 4 = - 1 × - 4 - 5 × 9 = 4 - 45 = - 41

C 12 = - 1 1 + 2   M 12 = - 1 × 2       5 1 - 4 = - 2 × - 4 - 5 × 1 = - ( - 8 - 5 ) = 13

C 13 = - 1 1 + 3   M 13 = 1 × 2 - 1 1       9 = 2 × 9 - - 1 × 1 = 18 + 1 = 19

det ⁡ A = 3 × - 41 + 0 × 13 + 0 × 19

det ⁡ A = - 123

Passo 3

(b) da primeira coluna

det ⁡ A = a 11 C 11 + a 21 C 21 + a 31 C 31

Vamos calcular o cofator correspondente a cada entrada da primeira coluna:

C 11 = - 1 1 + 1   M 11 = 1 × - 1       5       9 - 4 = - 1 × - 4 - 5 × 9 = 4 - 45 = - 41

C 21 = - 1 2 + 1   M 21 = - 1 × 0       0 9 - 4 = - 0 × - 4 - 0 × 9 = - ( 0 - 0 ) = 0

C 31 = - 1 3 + 1   M 31 = 1 ×       0 0 - 1 5 = 0 × 5 - 0 × - 1 = 0 - 0 = 0

det ⁡ A = 3 × - 41 + 2 × 0 + 1 × 0

det ⁡ A = - 123

Passo 4

(c) da segunda linha

det ⁡ A = a 21 C 21 + a 22 C 22 + a 23 C 23

Vamos calcular o cofator correspondente a cada entrada da segunda linha:

C 21 = - 1 2 + 1   M 21 = - 1 × 0       0 9 - 4 = - 0 × - 4 - 0 × 9 = - ( 0 - 0 ) = 0

C 22 = - 1 2 + 2   M 22 = 1 × 3       0 1 - 4 = 3 × - 4 - 0 × 1 = - 12 - 0 = - 12

C 23 = - 1 2 + 3   M 23 = - 1 × 3       0 1       9 = - 3 × 9 - 0 × 1 = - 27 - 0 = - 27

det ⁡ A = 2 × 0 + - 1 × - 12 + 5 × - 27 = 12 - 135

det ⁡ A = - 123

Passo 5

(d) da segunda coluna

det ⁡ A = a 12 C 12 + a 22 C 22 + a 32 C 32

Vamos calcular o cofator correspondente a cada entrada da segunda coluna:

C 12 = - 1 1 + 2   M 12 = - 1 × 2       5 1 - 4 = - 2 × - 4 - 5 × 1 = - ( - 8 - 5 ) = 13

C 22 = - 1 2 + 2   M 22 = 1 × 3       0 1 - 4 = 3 × - 4 - 0 × 1 = - 12 - 0 = - 12

C 32 = - 1 3 + 2   M 32 = - 1 × 3 0 2 5 = - 3 × 5 - 0 × 2 = - 15 - 0 = - 15

det ⁡ A = 0 × 13 + - 1 × - 12 + 9 × - 15 = 12 - 135

det ⁡ A = - 123

Passo 6

(e) da terceira linha

det ⁡ A = a 31 C 31 + a 32 C 32 + a 33 C 33

Vamos calcular o cofator correspondente a cada entrada da terceira linha:

C 31 = - 1 3 + 1   M 31 = 1 ×       0 0 - 1 5 = 0 × 5 - 0 × - 1 = 0 - 0 = 0

C 32 = - 1 3 + 2   M 32 = - 1 × 3 0 2 5 = - 3 × 5 - 0 × 2 = - 15 - 0 = - 15

C 33 = - 1 3 + 3   M 33 = 1 × 3       0 2 - 1 = 3 × - 1 - 0 × 2 = - 3 - 0 = - 3

det ⁡ A = 1 × 0 + 9 × - 15 + - 4 × - 3 = - 135 + 12

det ⁡ A = - 123

Passo 7

(f) da terceira coluna

det ⁡ A = a 13 C 13 + a 23 C 23 + a 33 C 33

Vamos calcular o cofator correspondente a cada entrada da terceira coluna:

C 13 = - 1 1 + 3   M 13 = 1 × 2 - 1 1       9 = 2 × 9 - - 1 × 1 = 18 + 1 = 19

C 23 = - 1 2 + 3   M 23 = - 1 × 3       0 1       9 = - 3 × 9 - 0 × 1 = - 27 - 0 = - 27

C 33 = - 1 3 + 3   M 33 = 1 × 3       0 2 - 1 = 3 × - 1 - 0 × 2 = - 3 - 0 = - 3

det ⁡ A = 0 × 19 + 5 × - 27 + - 4 × - 3 = - 135 + 12

det ⁡ A = - 123

Resposta

- 123 para todas as alternativas.

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