Enunciado

19. Complete a prova dada justificando cada passo.

Hipótese: A e B são matrizes semelhantes.

Conclusão: A e B têm o mesmo polinômio característico.

Prova:

  1. det ⁡ λ I - B = det ⁡ λ I - P - 1 A P
  2. = det ⁡ λ P - 1 P - P - 1 A P
  3. = det ⁡ P - 1 λ I - A P
  4. = det ⁡ P - 1 det ⁡ λ I - A det ⁡ P
  5. = det ⁡ P - 1 det ⁡ P det ⁡ λ I - A
  6. = det ⁡ λ I - A

Passo 1

Primeiro a gente começa interpretando a hipótese: Pra A e B serem semelhantes existe a matriz P , que é invertível, tal que:

B = P - 1 A P       i

Se a gente pegar:

λ I = λ I     i i

Fazendo i i - i :

λ I - B = λ I - P - 1 A P

E aplicando determinante dos dois lados:

det ⁡ λ I - B = det ⁡ λ I - P - 1 A P

E chegamos em (1).

Passo 2

Agora vamos fazer aparecer algumas coisas, mas sem mudar o resultado. Tipo I = P - 1 P ...

det ⁡ λ I - B = det ⁡ λ P - 1 P - P - 1 A P

E chegamos em (2).

Passo 3

Temos que tomar cuidado porque são matrizes e A B ≠ B A . Mas podemos colocar em evidência o P do final:

det ⁡ λ I - B = det ⁡ ( λ P - 1 - P - 1 A ) P

Como λ não é matriz, então é de boa trocar ele de lugar. E vamos fazer aparecer I , já que qualquer matriz multiplicada por I é a própria matriz:

det ⁡ λ I - B = det ⁡ ( P - 1 λ - P - 1 A ) P

det ⁡ λ I - B = det ⁡ ( P - 1 λ I - P - 1 A ) P

E agora colocando o   P - 1 em evidência:

det ⁡ λ I - B = det ⁡ P - 1 ( λ I - A ) P

E chegamos em (3).

Passo 4

E agora usando a propriedade do determinante da multiplicação:

det ⁡ λ I - B = det ⁡ P - 1 det ⁡ λ I - A det ⁡ P

E chegamos em (4)

Passo 5

Agora não temos mais matrizes, pois quando calculamos o determinante de uma matriz vira um escalar.

Então podemos mudar de lugar de boa:

det ⁡ λ I - B = det ⁡ P - 1 det ⁡ P det ⁡ λ I - A

E chegamos em (5).

Passo 6

Agora voltando à propriedade que já usamos, até...

det ⁡ P - 1 det ⁡ P = det ⁡ P - 1 P

E como P - 1 P = I e det ⁡ I = 1 , então:

det ⁡ P - 1 det ⁡ P = 1

E ficamos com:

det ⁡ λ I - B = det ⁡ λ I - A

E chegamos, finalmente, em (6). Amém

Que nos garante que têm o mesmo polinômio característico.

Resposta

det ⁡ λ I - B = det ⁡ λ I - A

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