15. Seja lambda um autovalor de um operador linear T: T → V . Prove que os autovetores de T associados a lambda são os vetores não nulos no núcleo de lambda \* I - T .

Passo 1

E aí! tudo certo?

Nesse problema temos que mostrar que os autovetores de um operador linear T : T → V associados aos autovalores λ são os vetores não nulos do núcleo de λ I - T .

Tem ideia de como fazemos isso?

Para resolver esse problema, temos que lembrar de algumas definições importantes:

Se λ é um autovalor de T , então

T v → = λ v →

Em que v → é um vetor não nulo.

E o núcleo de λ I - T é o conjunto formado por:

ker ⁡ λ I - T = λ I - T v → = 0 →

Saca só!

Passo 2

Se v → é um autovetor de T associado ao autovalor λ , então v ∈ ker ⁡ λ I - T , correto?

Sabemos que:

T v → = λ v →

Fazendo algumas manipulações...

λ I - T v → = λ v → - T v → = λ v → - λ v → = 0

λ I - T v → = 0

Logo, v → ∈ ker ⁡ λ I - T e consequentemente v → ≠ 0 → .

Agora, se v → ∈ ker ⁡ λ I - T e v → ≠ 0 → , então v → é um autovetor de T associado a um autovalor λ .

E isso satisfaz a definição de um autovetor!

Logo, os autovetores de T associados a λ são exatamente os vetores não nulos do núcleo de λ I - T .

Bacana, não é? Responde Aí!

Resposta

Os autovetores de T associados a λ são exatamente os vetores não nulos do núcleo de λ I - T .

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