15. Seja um autovalor de um operador linear . Prove que os autovetores de associados a são os vetores não nulos no núcleo de .
Passo 1
E aí! tudo certo?
Nesse problema temos que mostrar que os autovetores de um operador linear associados aos autovalores são os vetores não nulos do núcleo de .
Tem ideia de como fazemos isso?
Para resolver esse problema, temos que lembrar de algumas definições importantes:
Se é um autovalor de , então
Em que é um vetor não nulo.
E o núcleo de é o conjunto formado por:
Saca só!
Passo 2
Se é um autovetor de associado ao autovalor , então , correto?
Sabemos que:
Fazendo algumas manipulações...
Logo, e consequentemente .
Agora, se e , então é um autovetor de associado a um autovalor .
E isso satisfaz a definição de um autovetor!
Logo, os autovetores de associados a são exatamente os vetores não nulos do núcleo de .
Bacana, não é? Responde Aí!
Resposta
Os autovetores de associados a são exatamente os vetores não nulos do núcleo de .