Enunciado

49. Determinar uma equação das circunferências inscrita e circunscrita à elipse de equação dada.

b) 4 x 2 + 9 y 2 - 32 x + 36 y + 64 = 0

Passo 1

Então galera, inicialmente temos que lembrar que a equação da elipse pode aparecer em dois formatos, que são:

x - h 2 a 2 + y - k 2 b 2 = 1

Ou:

x - h 2 b 2 + y - k 2 a 2 = 1

No qual h e k é o centro da elipse. A equação que nos foi dada é:

4 x 2 + 9 y 2 - 32 x + 36 y + 64 = 0

Então vamos simplifica-la para escrever no formato padrão, saca só:

4 x 2 - 8 x + 9 y 2 + 4 y = - 64

1 9 x 2 - 8 x + 1 4 y 2 + 4 y = - 16 9

x - 4 2 9 + y + 2 2 4 = 1

x - 4 2 3 2 + y - - 2 2 2 2 = 1

Como a > b , então teremos uma elipse com eixo maior em x e com centro em 4 ,   - 2 , ok? Ademais, temos que:

a 2 = 9 ∴ a = 3

b 2 = 4 ∴ b = 2

Show!

Passo 2

Antes de determinarmos as equações das circunferências inscrita e circunscrita à elipse, devemos anotar aqui quem são os vértices da nossa elipse. Para o formato que encontramos, os vértices são dados da seguinte forma:

Para a circunferência inscrita: h + a ,   k   e   h - a ,   k . Logo:

A 1 7 ,   - 2   e   A 2 1 ,   - 2

Para a circunferência circunscrita: h ,   k + b   e   h ,   k - b . Logo:

B 1 4 ,   0   e   B 2 4 ,   - 4

Ademais, para encontrarmos a equação de uma circunferência precisamos determinar o raio da mesma, não é mesmo? O raio pode ser obtido a partir do cálculo da distância do vértice ao centro da elipse. Caso não se lembre, o cálculo é assim ó:

d V C = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2

Então bora aplicar essa ideia na nossa questão!

Passo 3

Para a circunferência inscrita temos que a distância é: d A 1 C , que pode ser calculada da seguinte forma:

d A 1 C = 4 - 7 2 + - 2 - - 2 2

d A 1 C = 9

∴ r = 3

Agora utilizando a equação da circunferência, teremos:

x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2

Como o centro da elipse é 4 ,   - 2 , então:

x - 4 2 + y + 2 2 = 9

x 2 - 8 x + 16 + y 2 + 4 y + 4 = 9

x 2 + y 2 - 8 x + 4 y + 11 = 0

E essa é a equação da circunferência inscrita!

Passo 4

Para a circunferência circunscrita temos que a distância é: d B 1 C , que pode ser calculada da seguinte forma:

d B 1 C = 4 - 4 2 + - 2 - 0 2

d B 1 C = 4

∴ r = 2

Agora utilizando a equação da circunferência, teremos:

x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2

Como o centro da elipse é 4 ,   - 2 , então:

x - 4 2 + y + 2 2 = 4

x 2 - 8 x + 16 + y 2 + 4 y + 4 = 4

x 2 + y 2 - 8 x + 4 y + 1 6 = 0

E essa é a equação da circunferência circunscrita!

Resposta

Circunferência inscrita: x 2 + y 2 - 8 x + 4 y + 11 = 0

Circunferência circunscrita: x 2 + y 2 - 8 x + 4 y + 16 = 0

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Sejam P e Q pontos distintos, pertencentes a uma elipse E . Prove que as retas tangentes a E em P e Q são paralelas se, e somente se, o centro da elipse é o ponto médio de P Q .
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Use a coroa fundamental em vez do retângulo fundamental para justificar porque, quanto mais próxima de 0 é a centralidade, mais alongada é a elipse, e quanto mais próximo de 1, mais arredondada. No tr