Enunciado

Conhecendo o vértice P = ( 2,3 ) de um paralelogramo circunscrito a elipse E : 4 x 2 + y 2 = 20 , determine os outros três.

Passo 1

Basicamente queremos formar uma imagem como essa aqui.

E como vimos na questão 61 , se um ponto ( a , b ) é pertencente a uma reta tangente a elipse então existe um ponto ( - a , - b ) que também será tangente a essa elipse. Pois forma-se uma reta colinear entre esses dois pontos e o ponto de origem do sistema cartesiano. Portanto um dos vértices desse paralelogramo será:

( - 2 , - 3 )

Mesmo que o ponto ( 2,3 ) só esteja na reta tangente e não seja um ponto de tangência em si.

Passo 2

Essa equação de elipse se dividindo tudo por 20 pode ser escrita como:

x 2 5 + y 2 20 = 1

E como podemos ver na figura um ponto de vértice do paralelogramo se liga a duas retas tangentes a elipse e dizendo que temos pontos de tangencia em ( h , k ) logo:

h x 5 + k y 20 = 1

Para:

h 2 5 + k 2 20 = 1

Então se substituímos o ponto ( 2,3 ) na primeira equação nós teremos uma equação de reta igual a:

2 5 h + 3 20 k = 1

Por esse sistema nós vemos que teremos pontos de tangência em :

h , k = ( 1,4 )

h , k = ( 2.2 ; 0.8 )

Esses dois pontos de tangência nos darão duas equações de reta tangentes a elipse

Passo 3

Essas retas tangentes serão iguais a:

Δ y = m Δ x

y = m x + c

Para os pontos ( 2,3 ) e ( 1,4 ) teremos a reta com coeficiente angular igual a:

4 - 3 = m 1 - 2 → m = - 1

E coeficiente linear c igual a:

3 = 2 ⋅ - 1 + c → c = 5

Portanto temos uma reta tangente igual a y = - x + 5

E a outra reta tangente entre ( 2,3 ) e ( 2.2 ; 0.8 ) terá coeficiente angular em:

3 - 0.8 = m ( 2 - 2.2 )

m = - 11

E coeficiente linear igual a:

3 = - 11 ⋅ 2 + c → c = 25

Logo teremos uma equação de reta tangente em:

y = - 11 x + 25

Essas retas terão como ponto de encontro o ponto 2,3 tal como pode ser visto na imagem a baixo:

Passo 4

Então para encontrarmos um dos pontos de vértice que faltam basta encontrarmos a equação de uma das retas do paralelogramo que faltam e que será oposta e simétrica a uma das outras retas previamente já encontradas, por exemplo pegando a reta:

y = - 11 x + 25

Nós temos que a outra reta paralela a ela será dada por:

y = - 11 x - 25

Nos dando a figura abaixo

E o ponto de união entre:

y = - 11 x - 25

E

y = - x + 5

Será:

( - 3,8 )

Então o outro vértice que falta será a parte espelhada em x e y desse último ponto e que será:

( 3 , - 8 )

Resposta

- 2 , - 3

( 3 , - 8 )

( - 3,8 )

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