Enunciado

Sejam P e Q pontos distintos, pertencentes a uma elipse E . Prove que as retas tangentes a E em P e Q são paralelas se, e somente se, o centro da elipse é o ponto médio de P Q .

Passo 1

Visualmente o que temos é algo desse sentido.

Onde as retas r 1 e r 2 são paralelas por estarem colineares os pontos Q O P , sendo O o centro da elipse. Então para uma equação de elipse igual a :

x 2 p + y 2 q = 1

Nós teremos que o determinante dessa elipse seja zero para obtermos as retas tangentes, ou seja:

h m p + k n q = 0

Para um ponto P = ( h , k ) e um vetor direcional O P = m , n ≠ ( 0,0 ) . E note que essa condição independe se temos um vetor direção igual a O P = ( m , n ) ou O Q = ( - m , - n ) , o sinal se corta e a igualdade é mantida. E mesmo se Q = ( - h , - k ) e esse valor tanto para Q quanto a direção da reta O Q só acontece se tivermos uma reta colinear entre esses três pontos, ou seja:

O P = - O Q

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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