Enunciado

52. Calcule a distância entre a reta r e o plano π .

(e) r : X = 1,1 , 1 + λ 1,0 , 2 ; π   é paralelo a r e contém s : x + y = z + 2 y = 2

Passo 1

Fala aii... belezinha??

Nessa questão vamos precisar lembrar que, sendo r um vetor diretor da reta e n um vetor normal ao plano, então temos duas possibilidades:

- r ⋅ n ≠ 0 , então r é transversal a π . Daí temos: d r , π = 0

- r ⋅ n = 0 , que aí temos duas possibilidades dentro dessa possibilidade:

- r pertence a π , então d r , π = 0 . Pra verificar isso escolhemos um ponto qualquer da reta e verificamos se ele pertence ao plano.

- r é paralela a π , aí essa vai ser a mais complicadinha. Vamos precisar escolher um ponto P x 0 , y 0 , z 0   qualquer da reta r e calcular a distância desse ponto até o plano π : a x + b y + c z + d = 0   com a fórmula:

d P , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

Então bora lá fazer essa marmota...

Passo 2

Como a reta r já está na forma vetorial, já podemos pegar um vetor diretor (pegando o que está multiplicando o parâmetro:

r = 1,0 , 2

E dessa vez não temos a equação do plano. Maaaas ele já disse que o plano contém a reta s : x + y = z + 2 y = 2 .

Vamos passar essa reta pra forma paramétrica:

Temos que:

x + y = 2

E

z + 2 y = 2

Se considerarmos como nosso parâmetro:

y = μ

Então, ficamos com:

x + μ = 2

x = 2 - μ

E com:

z + 2 μ = 2

z = 2 - 2 μ

Daí podemos pegar o vetor diretor da reta s :

s = - 1,1 , - 2

Vamos representar o plano de uma forma genérica:

π : a x + b y + c z + d = 0

Com o vetor normal:

n = a , b , c

Passo 3

Como o plano contém a reta s , então o produto interno entre o vetor diretor de s e o vetor normal ao plano tem que dar igual a zero, né?

s ⋅ n = - 1,1 , - 2 ⋅ a , b , c

0 = - 1 a + 1 b + - 2 c

0 = - a + b - 2 c

Outra informação que temos é que a reta r é paralela ao plano, então o produto interno com ela também vai ser zero:

r ⋅ n = 1,0 , 2 ⋅ a , b , c

0 = 1 a + 0 b + 2 c

0 = a + 2 c

Temos um empassezinho. Temos que achar 4 incógnitas ( a ,   b , c e d ) , mas só temos duas equações.

Agora temos que dar meio que um pulo do gato.

Pensa aqui comigo: se a o plano contém a reta s então toooodos os pontos de s estão contido no plano, certo?

Então vamos pegar diferentes valores de μ e achar pontos diferentes da reta e substituir na equação do plano.

Com μ = 0 :

x = 2 - μ y = μ z = 2 - 2 μ ⟹ x = 2 y = 0 y = 2

Substituindo em π :

a x + b y + c z + d = 0

2 a + 2 c + d = 0

Com μ = 1 :

x = 2 - μ y = μ z = 2 - 2 μ ⟹ x = 1 y = 1 z = 2

Substituindo em π :

a x + b y + c z + d = 0

a + b + 2 c + d = 0

Passo 4

Organizando as quatro equações num sisteminha:

- a + b - 2 c = 0 a + 2 c = 0 a + b + 2 c + d = 0 2 b - 2 c + d = 0

Repara que podemos somar a primeira com a segunda equação, daí:

b = 0

Substituindo na quarta equação:

- 2 c + d = 0

d = 2 c

Da segunda equação também temos:

a + 2 c = 0

a = - 2 c

Estranho, né?? Cadê os númeroooos? Hahaha

Calma...

Vamos substituir na equação do plano:

- 2 c x + 0 y + c z + 2 c = 0

- 2 c x + c z + 2 c = 0

Passo 5

Falta pouco pra acabar...

Vamos pegar um ponto qualquer P de r pra jogarmos na fórmula da distância.

Com λ = 0 :

P 1,1 , 1 .

E usando a fórmula pra calcular resposta do ponto P até o plano de equação estranha π : - 2 c x + c z + 2 c = 0 :

d P , π = - 2 c 1 + 0 1 + c 1 + 2 c - 2 c 2 + 0 + c 2

d P , π = c 5 c 2

d P , π = c c 5

d P , π = 1 5

Ufaaa... Acabamos. Essa deu um tabalhão, mas bora que bora.

Resposta

d P , π = 1 5

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Determinar a distância da reta r :x = 3 y = 4 d) ao plano π : x + y - 12 = 0
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Determinar a distância da reta r :x = 3 y = 4 b) ao plano y O z
Achar a distância da reta r ao plano π nos casos: r : x = 3 y = 4 π : x + y - 12 = 0