Enunciado

52. Calcule a distância entre a reta r e o plano π .

(a) r : X = 1,9 , 4 + λ 3,3 , 3 ; π : X 5,7 , 9 + λ 1,0 , 0 + μ 0,1 , 0

Passo 1

Fala aii... belezinha??

Nessa questão vamos precisar lembrar que, sendo r um vetor diretor da reta e n um vetor normal ao plano, então temos duas possibilidades:

- r ⋅ n ≠ 0 , então r é transversal a π . Daí temos: d r , π = 0

- r ⋅ n = 0 , que aí temos duas possibilidades dentro dessa possibilidade:

- r pertence a π , então d r , π = 0 . Pra verificar isso escolhemos um ponto qualquer da reta e verificamos se ele pertence ao plano.

- r é paralela a π , aí essa vai ser a mais complicadinha. Vamos precisar escolher um ponto P x 0 , y 0 , z 0   qualquer da reta r e calcular a distância desse ponto até o plano π : a x + b y + c z + d = 0   com a fórmula:

d P , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

Então bora lá fazer essa marmota...

Passo 2

Pra nossa felicidade, a reta está na forma vetorial, então só a gente pegar o vetor que está multiplicando o parâmetro que esse vai ser um vetor diretor da reta:

r = 5,7 , 9

Maaas, em compensação, vamos ter que achar um vetor normal a esse plano. Como ele está na forma paramétrica, então vamos precisar fazer o produto vetorial dos dois vetores dos parâmetros (os vetores que estão acompanhando as letrinhas).

n = 1,0 , 0 × 0,1 , 0

n = i j k 1 0 0 0 1 0

n = 0 i + 0 j + k

n = 0,0 , 1

Passo 3

Fazendo o produto interno:

r ⋅ n = 5,7 , 9 ⋅ 0,0 , 1

r ⋅ n = 5 0 + 7 0 + 9 1

r ⋅ n = 9

Ohhh... o produto interno deu diferente de zero, então:

d r , π = 0

E acabamos essa questão. Bora pra próxima?

Resposta

d r , π = 0

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52. Calcule a distância entre a reta r e o plano π .(d) r é o eixo das abscissas ; π : y + z = 2
52. Calcule a distância entre a reta r e o plano π .(e) r : X = 1,1 , 1 + λ 1,0 , 2 ; π é paralelo a r e contém s : x + y = z + 2 y = 2