Lista de Exercícios Resolvidos de Distância entre Reta e Plano

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Ache os pontos da reta r : x - 1 = 2 y = z que equidistam dos planos

π 1 : 2 x - 3 y - 4 z - 3 = 0               e                 π 2 : 4 x - 3 y - 2 z + 3 = 0

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Calcule a distância entre a reta r : X = 1 ,   1 ,   1 + t ( 2,1   , 2 ) e o plano π :   x + y + z = 0 .

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Ache a distância entre a reta r : x = 1 + t y = 3 + t z = - 2 + 3 t e o plano π : 2 x + y - z + 3 = 0 , sabendo que a reta é a paralela ao plano.

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Determinar a distância da reta r : x = 3 y = 4

  1. Ao plano x O z
  2. Ao plano y O z

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Considere a reta r   =   { t ( - 1 ,   1 ,   2 ) | t   ∈   R } e o plano Π de equação x   +   y   +   z   =   1 .

a) Determine r   ∩   Π .  

b) Calcule a distância entre r   e   Π .

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Considere as seguintes retas em R 3 :

r 1 : 3 , - 1,0 + s 1,2 , 1 ,   s ∈ R

r 2 = { 0,2 , 3 + t 1,0 , - 1 ,   t ∈ R }

(b) Ache um vetor n ortogonal aos vetores 1,2 , 1 e ( 1,0 , - 1 ) .

(c) Encontre a equação cartesiana do plano Π que é ortogonal ao vetor n e contém o ponto P = ( 3 , - 1,0 ) de r 1 . Determine se a reta r 1 está contida no plano Π .

(d) Determine a distância d entre o plano Π e a reta r 2 .

(e) Determine explicitamente um ponto B do plano Π tal que a distância entre B e r 2 seja d.

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Dados o ponto P = ( 2,1 , 1 ) , a reta r : X = 2,1 , 1 + λ ( 1,0 , 1 ) e o plano π : X = 1 , - 2,0 + λ 0,1 , 1 + μ ( 1 , - 1,0 ) .

  1. P ∈ π ?
  2. Escreva a equação geral de π .
  3. Determine as coordenadas do ponto P ' , projeção ortogonal de P sobre π .
  4. Determine a posição relativa entre r e π .
  5. Calcule a distância de r a π .

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Considere o plano π : X = - 5 ,   - 5 ,   - 5 + λ 0 ,   1 ,   2 + t ( 1 ,   - 1 ,   0 ) e o ponto P = ( 2 ,   0 ,   1 ) .

a) Escreva uma equação vetorial para a reta l que passa pelo ponto P e é perpendicular ao plano π .

b) Determine o ponto Q ∈ π que está mais próximo do ponto P .

c) Determine o ponto P ' que é simétrico de P em relação ao plano π . (Obs: Q é o ponto médio de P P ' .

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Decida quais das afirmações é verdadeira e qual é falsa. Justifique.

  1. O lugar geométrico dos pontos P x , y , z , tais que 2 x + y = 1 , é uma reta.
  2. Os planos ∏ 1 : a x + 4 y + z = 0 e ∏ 2 : 2 x + 3 y + 5 z + 7 = 0 , são transversais para todo valor de a ∈ R .
  3. A distância do ponto 1,0 , 0 até a reta de interseção dos planos x = 1 , e y + z = 3 , é menor que 2,5.

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