Enunciado

Achar a distância da reta r ao plano pi nos casos:

r : {[[x = 3],[y = 4]])

pi : x + y - 12 = 0

Passo 1

Antes de qualquer coisa, temos que conferir se a reta r e o plano pi são paralelos ou transversais.

Para isso, vamos encontrar o vetor diretor de r e o vetor normal de pi e verificar o produto escalar entre eles: se for 0, r e pi são paralelos (já que r será ortogonal ao vetor que também é ortogonal ao plano); se for diferente de 0, r e pi são transversais ;)

Passo 2

Das equações planares de r , temos

(x , y , z) = ( 3 , 4 , z )

(x , y , z) = (3 , 4 , 0) + ( 0 , 0 , z )

Transformando z em um parâmetro t e colocando em evidência:

r : X = (3 , 4 , 0) + t . ( 0 , 0 , 1 )

Então, um vetor diretor de r é ( 0 , 0 , 1 ) .

Agora vamos encontrar o vetor normal de pi , sabemos que dada uma equação geral de um plano:

a x + b y + c z + d = 0

O seu vetor normal é dado pelos coeficientes que multiplicam x , y e z na sua equação, ou seja, ( a , b , c ) . No nosso caso, a equação do plano é

pi : x + y - 12 = 0

Então, o vetor normal de pi é ( 1 , 1 , 0 ) hehe

Passo 3

Agora vamos verificar quanto vale o produto escalar entre o vetor diretor de r e o vetor normal de pi :

(0 , 0 , 1) . ( 1 , 1 , 0 )

0.1 + 0.1 + 1.0

0

Opa, o produto escalar deu 0!! Então a reta r e o plano pi são paralelos!!

Para calcular a distância entre uma reta e um plano, sendo eles paralelos, vamos encontrar um ponto da reta e calcular sua distância até o plano utilizando a fórmula que conhecemos :)

Passo 4

Sabemos que a equação de r é

r : X = (3 , 4 , 0) + t . ( 0 , 0 , 1 )

Para encontrarmos um ponto de r , basta arbitrarmos um valor para t . Por exemplo, se t = 0 (você pode arbitrar outros valores, no final a distância vai dar a mesma ok?):

X = (3 , 4 , 0) + 0 . ( 0 , 0 , 1 )

E aí temos o ponto

P = ( 3 , 4 , 0 )

Então já achamos um ponto pertencente a r uhuuu! Agora vamos calcular a distância desse ponto até o plano pi !!

Passo 5

Sabemos que a distância entre um ponto A = ( x , y , z ) e um plano pi ' : a x + b y + c z + d = 0 é dada por

d (A , pi ') = (|a x + b y + c z + d|)/(sqrt(a^2 + b^2 + c^2))

No nosso caso, temos o ponto P ( 3 , 4 , 0 ) e o plano pi : x + y - 12 = 0 , logo, a distância entre eles vai ser

d (P , pi) = (|3.1 + 4.1 + 0.0 - 12|)/(sqrt(1^2 + 1^2 + 0^2))

d (P , pi) = (|- 5|)/(sqrt(2))

d (P , pi) = (5)/(sqrt(2))

E essa é a distância entre r e pi :D

Resposta

(5)/(sqrt(2))

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Determine a equação do plano x que intercepta a, o plano que intercepta b e o plano z que intercepta c.
Determinar a distância da reta r :x = 3 y = 4 d) ao plano π : x + y - 12 = 0
Determinar a distância da reta r :x = 3 y = 4 a) ao plano x O z
Determinar a distância da reta r :x = 3 y = 4 c) ao eixo dos z
Determinar a distância da reta r :x = 3 y = 4 b) ao plano y O z