Enunciado

6.1.2. Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes do plano   π : x = 2 e do ponto P= (−2, 0, 0). Que conjunto e este?

Passo 1

Sabendo que Lugar geométrico nada mais é do que um conjunto de pontos e, como todo conjunto, ele deve estar bem definido. Se um ponto possui uma propriedade podemos imaginar o conjunto de todas as posições que pode assumir. Podemos adotar como hipótese que o lugar geométrico nesse caso é uma quádrica.

O primeiro passo consiste em organizar em uma equação as informações dadas acima:

D i s t X , π = D i s t X , P

x - 2 = x + 2 2 + y 2 + z 2

Passo 2

O segundo passo é expandir e simplificar a equação acima, de forma a encontrar qual quádrica ela pertence.

x - 2 2 = x + 2 2 + y 2 + z 2

- 8 x = y 2 + Z 2

Passo 3

O Terceiro passo é encontrar a quádrica a qual essa equação pertence, e para isso, basta compará-la as equações gerais das quádricas. Nesse sentido, pode-se inferir que esta equação representa um PARABOLÓIDE ELÍPTICO que pode ser descrito pela seguinte equação geral:

c z = x 2 a 2 + y 2 b 2

Resposta

O lugar geométrico é um Paraboloide Elíptico.

Exercícios de Livros Relacionados

Dê a interpretação geométrica de cada família de planos.(a) x + y + z = c (b) x + y + c z = 1 (c) y cos ⁡ θ + zs e nθ = 1
Se a , b e c não são todos nulos, mostre que a equação a x + b y + c z + d = 0 representa um plano e a ,b ,c é o vetor normal ao plano.Sugestão: Suponha a ≠ 0 e reescreva a equação na forma a x + d a
Utilize a fórmula que aparece no exercício 43 da seção 12.4 para determinar a distância do ponto à reta dada. 4,1 , - 2 ; x = 1 + t , y = 3 - 2 t ,z = 4 - 3 t
Utilize a fórmula que aparece no exercício 43 da seção 12.4 para determinar a distância do ponto à reta dada. 0,1 , 3 ; x = 2 t , y = 6 - 2 t ,z = 3 + t
Determine a distância entre os planos paralelos dados 6 z = 4 y - 2 x ,9 z = 1 - 3 x + 6 y