Enunciado

6.1.5. Determine a equação do lugar geométrico dos pontos P = (x, y, z) tais que o modulo da ´ diferença entre as distâncias de P = (x, y, z) aos dois pontos (2, 0, 0) e (−2, 0, 0) é igual a 3. Que lugar geométrico é este?

Passo 1

Sabendo que Lugar geométrico nada mais é do que um conjunto de pontos e, como todo conjunto, ele deve estar bem definido. Se um ponto possui uma propriedade podemos imaginar o conjunto de todas as posições que pode assumir. Podemos adotar como hipótese que o lugar geométrico nesse caso é uma quádrica.

O primeiro passo consiste em organizar em uma equação as informações dadas acima:

D i s t P , 2,0 , 0 - D i s t P , - 2,0 , 0 = 3

x - 2 2 + y 2 + z 2 - x + 2 2 + y 2 + z 2 = ± 3

x - 2 2 + y 2 + z 2 = ± 3 + x + 2 2 + y 2 + z 2

Passo 2

O segundo passo é expandir e simplificar a equação acima, de forma a encontrar qual quádrica ela pertence.

x - 2 2 + y 2 + z 2 = 9 ± 6 x + 2 2 + y 2 + z 2 + x + 2 2 + y 2 + z 2

- 9 - 8 x = ± 6 x + 2 2 + y 2 + z 2

- 63 = - 28 x 2 + 36 y 2 + 36 z 2

Passo 3

O Terceiro passo é encontrar a quádrica a qual essa equação pertence, e para isso, basta compará-la as equações gerais das quádricas. Nesse sentido, pode-se inferir que esta equação representa um HIBERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS que pode ser descrito pela seguinte equação geral:

x 2 a 2 - y 2 b 2 - z 2 c 2 = 1

Ressalto aqui, que o HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS pode também ser expresso pelas seguintes equações: - x 2 a 2 - y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 E - x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 c 2 = 1  

Resposta

O lugar geométrico a que a questão se refere, diz respeito a um HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS.

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