Enunciado

Achar a distância entre r_1 e r_2 nos casos:

r_1 : x = y = z

r_2 : y = x + 1 z = 2 x - 1

Passo 1

Antes de qualquer coisa, temos que ver se nossas retas são concorrentes, paralelas ou reversas :O

Primeiro vamos encontrar suas equações vetoriais e facilitar nossa vida hehe

Para r_1 , temos

(x , y , z) = ( x , x , x )

(x , y , z) = (0 , 0 , 0) + ( x , x , x )

Transformando x em parâmetro t :

r_1 : X = (0 , 0 , 0) + t . ( 1 , 1 , 1 )

Agora, para r_2 :

(x , y , z) = ( x , x + 1 , 2 x - 1 )

(x , y , z) = (0 , 1 , - 1) + ( x , x , 2 x )

Transformando x em parâmetro t :

r_2 : X = (0 , 1 , - 1) + t . ( 1 , 1 , 2 )

O vetor diretor de r_1 é vec u = ( 1 , 1 , 1 ) e o de r_2 é vec v = ( 1 , 1 , 2 )

Além disso, um ponto de r_1 , pela sua equação, é A = ( 0 , 0 , 0 ) e um ponto de r_2 é B = ( 0 , 1 , - 1 ) .

Então já podemos colocar em jogo o vetor vec A B = B - A = ( 0 , 1 , - 1 )

Belezinha, agora vamos analisar a posição relativa das nossas retas :)

Passo 2

Primeiro vamos ver se as retas são paralelas verificando se seus vetores diretores são múltiplos:

(1,1 , 1) = alpha . ( 0 , 1 , - 1 )

(1,1 , 1) = ( 0 , alpha , - alpha )

Igualando as coordenadas, não existe alpha que satisfaça a igualdade acima, então as retas já não são paralelas!!

Agora vamos calcular o determinante com linhas ( vec u , vec v , vec A B ) , se ele for 0 , nossas retas são concorrentes, se for diferente de 0 , elas são reversas. Lembrando que vec A B = (0 , 1 , - 1) , vec u = ( 1,1 , 1 ) e vec v = ( 1 , 1 , 2 ) , temos:

|[[1,1,1],[1,1,2],[0,1,-,1]]| = - 1

Como nosso determinante deu diferente de 0 , as retas são reversas, agora sim vamos calcular a distância entre elas :)

Passo 3

Vamos lá pra parte de encontrar a distância entre duas retas reversas (não desanima não, vai ser facinho :P)

Vamos lembrar que:

O vetor diretor de r_1 é vec u = ( 1 , 1 , 1 ) e o de r_2 é vec v = ( 1 , 1 , 2 )

Um ponto de r_1 , pela sua equação, é A = ( 0 , 0 , 0 ) e um ponto de r_2 é B = ( 0 , 1 , - 1 ) .

Então vec A B = B - A = ( 0 , 1 , - 1 )

Vimos que a distância entre duas retas reversas é a altura do paralelepípedo formado por vec u , vec v , vec A B , ou seja:

d (r_1 , r_2) = (| ( vec u , vec v , vec A B ) |)/(| vec u xx vec v |)

Então vamos fazer essa continha beleza?

Lá no passo 2, vimos que (vec u , vec v , vec A B) = - 1 , então:

d (r_1 , r_2) = (| - 1 |)/(| ( 1 , 1 , 1 ) xx ( 1 , 1 , 2 ) |)

d (r_1 , r_2) = (1)/(| ( 1 , - 1 , 0 ) |)

d (r_1 , r_2) = (1)/(sqrt(1^2 + ( - 1 ) ²))

d (r_1 , r_2) = (1)/(sqrt(2))

Resposta

(1)/(sqrt(2))

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Seja o triângulo A B C de vértices A - 3,1 , 4 ,B - 4 , - 1,0eC ( - 4,3 , 5 ) . Calcular a medida da altura relativa ao lado B C .
Calcular a distância entre as retas r e s nos seguintes casos: r :x = 0 y = zes :y = 3 z = 2 x
Achar a distância entre r 1 e r 2 nos casos: r 1 : x = t + 1y = t + 2z = - 2 t - 2 r 2 : y = 3 x + 1z = - 4 x
Achar a distância entre r_1 e r_2 nos casos:r_1 : x = 2 - t y = 3 + t z = 1 - 2 t r_2 : x = t y = - 1 - 3 t z = 2 t