Enunciado

Achar a distância entre r_1 e r_2 nos casos:

r_1 : x = 2 - t y = 3 + t z = 1 - 2 t

r_2 : x = t y = - 1 - 3 t z = 2 t

Passo 1

Antes de qualquer coisa, temos que ver se nossas retas são concorrentes, paralelas ou reversas :O

Primeiro vamos encontrar suas equações vetoriais e facilitar nossa vida hehe

Para r_1 , temos

(x , y , z) = ( 2 - t , 3 + t , 1 - 2 t )

(x , y , z) = (2 , 3 , 1) + ( - t , t , - 2 t )

r_1 : X = (2 , 3 , 1) + t . ( - 1 , 1 , - 2 )

Agora, para r_2 :

(x , y , z) = ( t , - 1 - 3 t , 2 t )

(x , y , z) = (0 , - 1 , 0) + ( t , - 3 t , 2 t )

r_2 : X = (0 , - 1 , 0) + t . ( 1 , - 3 , 2 )

O vetor diretor de r_1 é vec u = ( - 1 , 1 , - 2 ) e o de r_2 é vec v = ( 1 , - 3 , 2 )

Além disso, um ponto de r_1 , pela sua equação, é A = ( 2 , 3 , 1 ) e um ponto de r_2 é B = ( 0 , - 1 , 0 ) .

Então já podemos colocar em jogo o vetor vec A B = B - A = ( - 2 , - 4 , - 1 )

Belezinha, agora vamos analisar a posição relativa das nossas retas :)

Passo 2

Primeiro vamos ver se as retas são paralelas verificando se seus vetores diretores são múltiplos:

(- 1 , 1 , - 2) = alpha . ( 1 , - 3 , 2 )

(- 1 , 1 , - 2) = ( alpha , - 3 alpha , 3 alpha )

Igualando as coordenadas, não existe alpha que satisfaça a igualdade acima, então as retas já não são paralelas!!

Agora vamos calcular o determinante com linhas ( vec A B , vec u , vec v ) , se ele for 0 , nossas retas são concorrentes, se for diferente de 0 , elas são reversas. Lembrando que vec A B = (- 2 , - 4 , - 1) , vec u = ( - 1 , 1 , - 2 ) e vec v = ( 1 , - 3 , 2 ) , temos:

|[[-,2,-,4,-,1],[-,1,1,-,2],[1,-,3,2]]| = 6

Como nosso determinante deu diferente de 0 , as retas são reversas, agora sim vamos calcular a distância entre elas :)

Passo 3

Vamos lá pra parte de encontrar a distância entre duas retas reversas (não desanima não, vai ser facinho :P)

Vamos lembrar que:

O vetor diretor de r_1 é vec u = ( - 1 , 1 , - 2 ) e o de r_2 é vec v = ( 1 , - 3 , 2 )

Um ponto de r_1 , pela sua equação, é A = ( 2 , 3 , 1 ) e um ponto de r_2 é B = ( 0 , - 1 , 0 ) .

Então vec A B = B - A = ( - 2 , - 4 , - 1 )

Vimos que a distância entre duas retas reversas é a altura do paralelepípedo formado por vec u , vec v , vec A B , ou seja:

d (r_1 , r_2) = (| ( vec u , vec v , vec A B ) |)/(| vec u xx vec v |)

Então vamos fazer essa continha beleza?

Lá no passo 2, vimos que (vec u , vec v , vec A B) = 6 , então:

d (r_1 , r_2) = (| 6 |)/(| ( - 1 , 1 , - 2 ) xx ( 1 , - 3 , 2 ) |)

d (r_1 , r_2) = (6)/(| ( - 4 , 0 , 2 ) |)

d (r_1 , r_2) = (6)/(sqrt((- 4)^2 + 2 ²))

d (r_1 , r_2) = (6)/(sqrt(20))

Fatorando sqrt(20) , temos sqrt(20) = 2 sqrt(5)

d (r_1 , r_2) = (6)/(2 sqrt(5))

d (r_1 , r_2) = (3)/(sqrt(5))

Resposta

(3)/(sqrt(5))

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