Enunciado

Achar a distância entre r_1 e r_2 nos casos:

r_1 : x = t + 1 y = t + 2 z = - 2 t - 2

r_2 : y = 3 x + 1 z = - 4 x

Passo 1

Antes de qualquer coisa, temos que ver se nossas retas são concorrentes, paralelas ou reversas :O

Primeiro vamos encontrar suas equações vetoriais e facilitar nossa vida hehe

Para r_1 , temos

(x , y , z) = ( t + 1 , t + 2 , - 2 t - 2 )

(x , y , z) = (1 , 2 , - 2) + ( t , t , - 2 t )

Transformando x em parâmetro t :

r_1 : X = (1 , 2 , - 2) + t . ( 1 , 1 , - 2 )

Agora, para r_2 , temos que

(x , y , z) = ( x , 3 x + 1 , - 4 x )

(x , y , z) = (0 , 1 , 0) + ( x , 3 x , - 4 x )

Trocando x por um parâmetro t :

r_2 : X = (0 , 1 , 0) + t . ( 1 , 3 , - 4 )

O vetor diretor de r_1 é vec u = ( 1 , 1 , - 2 ) e o de r_2 é vec v = ( 1 , 3 , - 4 )

Além disso, um ponto de r_1 , pela sua equação, é A = ( 1 , 2 , - 2 ) e um ponto de r_2 é B = ( 0 , 1 , 0 ) .

Então já podemos colocar em jogo o vetor vec A B = B - A = ( - 1 , - 1 , 2 )

Belezinha, agora vamos analisar a posição relativa das nossas retas :)

Passo 2

Primeiro vamos ver se as retas são paralelas verificando se seus vetores diretores são múltiplos:

(1 , 1 , - 2) = alpha . ( 1 , 3 , - 4 )

(1 , 1 , - 2) = ( alpha , 3 alpha , - 4 alpha )

Igualando as coordenadas, não existe alpha que satisfaça a igualdade acima, então as retas já não são paralelas!!

Agora vamos calcular o determinante com linhas ( vec u , vec v , vec A B ) , se ele for 0 , nossas retas são concorrentes, se for diferente de 0 , elas são reversas. Lembrando que vec A B = (- 1 , - 1 , 2) , vec u = ( 1 , 1 , - 2 ) e vec v = ( 1 , 3 , - 4 ) , temos:

|[[1,1,-,2],[1,3,-,4],[-,1,-,1,2]]| = 0

Como nosso determinante deu 0 , as retas são concorrentes.

Opa, mas vimos que se as retas são concorrentes a distância entre elas vale quanto mesmo?? Isso mesmo, 0!! :)

Pois elas vão se cruzar em um ponto, e aí não tem distância não nula entre esses pontos né hehe

Resposta

0

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Calcule a distância entre as retas r e s .(a) r : X = 2,1 , 0 + λ 1 , - 1,1 s : x + y + z = 2 x - y - 1 = 0 (b) r : ( x + 4 ) / 3 = y / 4 = z + 5 / ( - 2 ) s : ( 21 , - 5,2 ) + λ ( 6 , - 4 , - 1 ) (c)
Calcular a distância entre as retas r e s nos seguintes casos:b) r passa pelos pontos A = ( 1 ,0 ,1 ) e B = ( - 1 ,- 1 ,0 ) e s pelos pontos C = ( 0 ,1 ,- 2 ) e D = ( 1 ,1 ,1 ) .
Calcular a distância entre as retas r e s nos seguintes casos:d) r :x = 1 - t y = 2 + 3 t z = - t e s : eixo dos x
Calcular a distância entre as retas r e s nos seguintes casos:c) r :x = 3 y = 2 e s :x = 1 y = 4
Calcular a distância entre as retas r e s nos seguintes casos:e) r :x = y = z - 2 e s :y = x + 1 z = x - 3