Enunciado

Achar a distância entre r 1 e r 2 nos casos:

r 1 : y = 2 x       z = 3

r 2 : x ,   y ,   z = 2 ,   - 1 ,   2 + t . ( 1 ,   - 1 ,   3 )

Passo 1

Antes de qualquer coisa, temos que ver se nossas retas são concorrentes, paralelas ou reversas :O

Primeiro vamos encontrar suas equações vetoriais e facilitar nossa vida hehe

Para r 1 , temos

x ,   y ,   z = ( x ,   2 x ,   3 )

x ,   y ,   z = 0 ,   0 ,   3 + ( x ,   2 x ,   0 )

Transformando x em parâmetro t :

r 1 : X = 0 ,   0 ,   3 + t . ( 1 ,   2 ,   0 )

Agora, para r 2 , já temos que

r 2 : X = 2 ,   - 1 ,   2 + t . ( 1 ,   - 1 ,   3 )

O vetor diretor de r 1 é u → = ( 1 ,   2 ,   0 ) e o de r 2 é v → = ( 1 ,   - 1 ,   3 )

Além disso, um ponto de r 1 , pela sua equação, é A = ( 0 ,   0 ,   3 ) e um ponto de r 2 é B = ( 2 ,   - 1 ,   2 ) .

Então já podemos colocar em jogo o vetor A B → = B - A = ( 2 ,   - 1 ,   - 1 )

Belezinha, agora vamos analisar a posição relativa das nossas retas :)

Passo 2

Primeiro vamos ver se as retas são paralelas verificando se seus vetores diretores são múltiplos:

1 ,   2 ,   0 = α . ( 1 ,   - 1 ,   3 )

1 ,   2 ,   0 = ( α ,   - α ,   3 α )

Igualando as coordenadas, não existe α que satisfaça a igualdade acima, então as retas já não são paralelas!!

Agora vamos calcular o determinante com linhas ( u → ,   v → ,   A B → ) , se ele for 0 , nossas retas são concorrentes, se for diferente de 0 , elas são reversas. Lembrando que A B → = 2 ,   - 1 ,   - 1 ,   u → = ( 1 ,   2 ,   0 ) e v → = ( 1 ,   - 1 ,   3 ) , temos:

1 2 0 1 - 1 3 2 - 1 - 1 = 18

Como nosso determinante deu diferente de 0 , as retas são reversas, agora sim vamos calcular a distância entre elas :)

Passo 3

Vamos lá pra parte de encontrar a distância entre duas retas reversas (não desanima não, vai ser facinho :P)

Vamos lembrar que:

O vetor diretor de r 1 é u → = ( 1 ,   2 ,   0 ) e o de r 2 é v → = ( 1 ,   - 1 ,   3 )

Um ponto de r 1 , pela sua equação, é A = ( 0 ,   0 ,   3 ) e um ponto de r 2 é B = ( 2 ,   - 1 ,   2 ) .

Então A B → = B - A = ( 2 ,   - 1 ,   - 1 )

Vimos que a distância entre duas retas reversas é a altura do paralelepípedo formado por u → ,   v → ,   A B → , ou seja:

d r 1 ,   r 2 = | ( u → ,   v → ,   A B → ) | | u → × v → |

Então vamos fazer essa continha beleza?

Lá no passo 2, vimos que u → ,   v → ,   A B → = 18 , então:

d r 1 ,   r 2 = | 18 | | ( 1 ,   2 ,   0 ) × ( 1 ,   - 1 ,   3 ) |

d r 1 ,   r 2 = 1 8 | ( 6 ,   - 3 ,   - 3 ) |

d r 1 ,   r 2 = 1 8 6 2 + - 3 2 + ( - 3 ) ²

d r 1 ,   r 2 = 1 8 54

Fatorando 54 , temos 54 = 3 6

d r 1 ,   r 2 = 18 3 6

d r 1 ,   r 2 = 6 6

Racionalizando:

d r 1 ,   r 2 = 6 6 6

d r 1 ,   r 2 = 6

Resposta

6

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Calcule a distância do segmento A B à reta s , nos casos(a) A = 2 ,3 ,0B = - 1 ,0 ,6s : X = 0 , - 3 ,- 1 + λ ( 1 ,- 1 ,0 )
Obtenha uma equação vetorial da reta que dista 2 6 de s : X = - 1 ,2 ,3 + λ ( - 1 ,1 ,1 ) , é concorrente r : X = 1 ,1 ,3 + λ 0 ,1 ,1 e está contida em π : x - z + 1 = 0 .
Determine a reta r que contém o ponto A , é paralela ao plano π e dista d da reta s .(b) A = 1 ,3 ,- 1π : x + z = 2s : x - z = y + 2 = z - x + 4 d = 3
Obtenha uma equação vetorial da reta r que contém A = ( 0 ,0 ,3 ) , está contida em π : x + z = 3 e dista 3 de O y .
Determine a reta r que contém o ponto A , é paralela ao plano π e dista d da reta s .(b) A = 1 ,2 ,0π : x + y + z = 1s : X = 0 ,3 ,2 + λ ( 1 ,1 ,0 ) d = 2