Enunciado

Obtenha uma equação vetorial da reta r que contém A = ( 0 ,   0 ,   3 ) , está contida em π : x + z = 3 e dista 3 de O y .

Passo 1

Queremos obter uma equação vetorial da reta r , que contém o ponto A = ( 0 ,   0 ,   3 ) , está contida no plano π : x + z = 3 e dista 3 de O y , certo?

Então, vamos lá!

Passo 2

Para termos a equação vetorial de r , precisamos de um ponto que pertença a essa reta, bem como do vetor diretor dela. O ponto pode ser o A , que como dito no enunciado está contido em r . Para determinar o vetor diretor r → = ( m ,   n ,   p ) , podemos usar, primeiramente, o fato que r ⊂ π , de modo que r → . n → = 0 , sendo n → o vetor ortonormal de π .

r → . n → = 0

m ,   n ,   p   . 1 ,   0 ,   1 = 0

m + p = 0

Passo 3

Sabemos que a distância entre as retas r e O y é 3. Podemos então utilizar a fórmula para o cálculo da distância entre retas. Se resultar num absurdo, saberemos que r é paralela a O y , compartilhando do mesmo vetor diretor j → = ( 0 ,   1 ,   0 ) .

r → ∧ j → = m ,   n ,   p ∧ 0 ,   1 ,   0

r → ∧ j → = p ,   0 ,   - m

A = 0 ,   0 ,   0 ,   A ∈ j → ;

B = 0 ,   0 ,   3 ,   B ∈ r →

A B → = 0 ,   0 ,   3

d ( r , O y ) = A B → . r → ∧ j → r → ∧ j →

0 ,   0 ,   3 . ( p ,   0 , - m ) p 2 + 0 2 + m 2 = 3

9 p 2 + 9 m 2 = 9 m 2

p = 0

Passo 4

Vamos analisar o resultado do Passo 3...

O passo 3 acabou por resultar num absurdo, pois se p = 0 , e sabendo que m + p = 0 , então m = p = 0 , o que leva a A B → . r → ∧ j → = 0 e, na fórmula de distância entre retas, 3 = 0 , o que é nitidamente IMPOSSÍVEL. Desse modo, podemos afirmar que r e O y são paralelas, com o mesmo vetor diretor ( 1 ,   0 ,   1 ) .

Portanto, concluímos que a equação vetorial de r é:

r : X = 0 ,   0 ,   3 + λ ( 0 ,   1 ,   0 )

Resposta

r : X = 0 ,   0 ,   3 + λ ( 0 ,   1 ,   0 )

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