Enunciado

6. Achar uma função que esteja no núcleo do operador D 2 , cujo valor para t = 0 seja 3 e tal que o valor de sua derivada em t = 0 seja 1. Fazer o gráfico dessa função.

Passo 1

- pra uma função f t estar no núcleo do operador, devemos ter:

L f t = D 2 f t = 0

Passo 2

Vamos agora pensar numa função que satisfaça as condições que ele disse no enunciado:

f ' t = 1

f 0 = 3

Hmmmm... e se a gente integrar a derivada? (calma que é beeem simpleszinho)

f t = ∫ f ' t d t

= ∫ 1 d t

= t + C

Onde C é a constante de integração.

Perfeito... e agora:

f 0 = 0 + C

3 = 0 + C

C = 3

Então a função vai ser:

f t = t + 3

Passo 3

Vamos ver agora se ela está no núcleo do operador, ne... (e rezar para que sim, senão vamos precisar achar outra)

D 2 t + 3 = 0

D 2 t + D 2 3 = 0

0 + 0 = 0

0 = 0

Amém

Passo 4

Agora só falta o gráfico, que pra nossa alegria é uma reta , né..... E sabemos que ela corta o eixo y em 3, pois f 0 = 3 ...

Resposta

f t = t + 3

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Ache uma solução da equação diferencial que satisfaça a condição dada. d y d x = 1 + 2 y cotg ⁡ x ; y = 2 quando x = 1 4 π .